2023-2024學年廣東省深圳實驗學校高中園高一上學期期中數學試題及答案

試題PAGE1試題深圳實驗學校高中園2023-2024學年度第一學期期中考試高一數學第一卷一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“，都有”否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得3.“”是“關于x的方程有實數解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.5.函數的圖象是（）A. B.C. D.6.已知函數，有，則實數（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或47.以下結論正確的是（）A.若且，則B.正實數滿足，則的最小值是C.的最小值是D.函數的最小值是8.已知定義在上的函數滿足，其圖象經過點，且對任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數中，既是奇函數又是增函數是（）A. B. C. D.10.下列命題為真命題的是()A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11.關于函數的性質描述，正確的是（）A.的定義域為B.的值域為C.在定義域上是增函數D.的圖象關于軸對稱12.設函數，其中表示中最小者，下列說法正確的有（）A.函數為偶函數 B.不等式解集為C.當時， D.當時，第二卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數，則__________．14.已知冪函數在區(qū)間上是減函數，則的值為__________．15.若正數、滿足，則的最小值為______.16.設函數，若存在最大值，則實數的取值范圍為_________．四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍．19.已知定義域為的奇函數，且時，.（1）求當時，函數的解析式；（2）求證：在上為增函數.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經調研發(fā)現．某珍稀水果樹的單株產量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應求記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?21.設函數（，且）是定義域為的奇函數，且的圖象過點．（1）求t和a的值；（2）若，求實數k的取值范圍；22.設函數，．（1）對于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當時對任意，恒有，求實數的取值范圍；（3）若存在，使得與同時成立，求實數的取值范圍．深圳實驗學校高中園2023-2024學年度第一學期期中考試高一數學第一卷一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、補集運算,即可求解.【詳解】解：，,故選:A2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.【詳解】命題“，都有”的否定是“，使得”.故選：D.3.“”是“關于x方程有實數解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析】解出不等式，然后判斷即可【詳解】因為關于x方程有實數解所以，即或所以“”是“關于x的方程有實數解”的充分不必要條件故選：A【點睛】本題考查的是充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎題.4.設，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數，的單調性比較大小即可【詳解】解：因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以，即，因為函數在上單調遞減，所以，即，所以故選：D5.函數的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化函數為分段函數，再根據各段函數式的特點即可判斷作答.【詳解】依題意，原函數化為：，其定義域為，顯然當時，圖象是經過點的直線在y軸右側部分，當時，圖象是是經過點的直線在y軸左側部分，根據一次函數圖象知，符合條件的只有選項B.故選：B.6.已知函數，有，則實數（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或4【答案】D【解析】【分析】由分段函數求值運算可得方程，求解即可詳解】，，即，解得或.故選：D7.以下結論正確的是（）A.若且，則B.正實數滿足，則的最小值是C.的最小值是D.函數的最小值是【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式的知識逐一判斷即可.【詳解】當時，，當時，，故A錯誤；因為，所以，因為，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，所以的最小值為，故B正確；因為與不能相等，所以的最小值不是，故C錯誤；因為，當且僅當，即時等號成立，所以，，故D錯誤故選：B8.已知定義在上的函數滿足，其圖象經過點，且對任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得知，函數的圖象關于直線對稱，且函數在上單調遞增，由此可得出該函數在上單調遞減，，由分類討論即可.【詳解】，函數的圖象關于直線對稱，該函數圖象經過點，則，且有，對任意，且，恒成立，可設，則，，即.所以，函數在上單調遞增，由此可得該函數在上單調遞減，當時，符合題意；當時，即時，則有，由于函數在上單調遞減，由，得，此時；當時，即時，則有，由于函數在上單調遞增，由，得，此時，綜上所述，不等式的解集為.故選：D.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數中，既是奇函數又是增函數的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據奇函數的定義和增函數的定義逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，定義域為，因為，所以此函數為偶函數，所以A不符合題意，對于B，定義域為，因為，所以此函數為奇函數，在上為增函數，所以B符合題意，對于C，定義域為，因為，所以此函數為奇函數，因為在上為增函數，所以C符合題意，對于D，定義域為，因為，所以此函數為奇函數，因為，所以函數在不是增函數，所以D不符合題意，故選：BC10.下列命題為真命題的是()A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據不等式性質逐一判斷命題真假即可.【詳解】對于選項A：因為，顯然，由不等式可知，，故A正確；對于選項B：因為，由不等式性質可知，，故B正確；對于選項C：因為，由不等式性質可知，，故C錯誤；對于選項D：因為，由不等式性質可知，，故D錯誤.故選：AB.11.關于函數的性質描述，正確的是（）A.的定義域為B.的值域為C.在定義域上增函數D.的圖象關于軸對稱【答案】AB【解析】【分析】先求出函數的定義域，再求值域，然后利用函數單調性以及奇偶性定義即可求解.【詳解】對于A中，由，解得即為函數的定義域，故A正確；對于B中，由定義域可化簡函數得，當時，；當時，，所以，故B正確；對于C中，因為，所以函數不是增函數，故C錯誤；對于D中，因為定義域關于原點對稱，且對任意，，所以函數是奇函數，故D錯誤，故選：AB.12.設函數，其中表示中的最小者，下列說法正確的有（）A.函數為偶函數 B.不等式的解集為C.當時， D.當時，【答案】AC【解析】【分析】作出函數的圖象，易判斷AB，然后分類討論確定、和的表達式，判斷CD．【詳解】作出函數的圖象，如圖實線部分．由圖可知其圖象關于軸對稱，函數為偶函數，A正確；，再計算得，解集為，B錯；時，即為，即，成立時，即為，即，成立，時，即為，即，成立，時，，，由在上遞增，得成立．C正確；由B選項知時，，成立，時，，，不等式為，，不成立．D錯誤．故選：AC．第二卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數，則__________．【答案】【解析】【分析】利用換元法求出的解析式，代入數字即可求解.【詳解】，令，則，，即，.故答案為：.14.已知冪函數在區(qū)間上是減函數，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】根據冪函數的定義和性質得，由此即可得解.【詳解】因為是冪函數，

所以，即，

解得或，

又冪函數在區(qū)間上是減函數，

所以，故，

故答案為：．15.若正數、滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據題意得，進而利用基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因為正數、滿足，所以，且所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為故答案為：16.設函數，若存在最大值，則實數的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】當時，由二次函數性質可知無最大值；當時，，無最大值；當時，分別在兩段區(qū)間內求得的取值范圍，根據有最大值可構造不等式求得結果.【詳解】當時，開口方向向上，此時無最大值，不合題意；當時，，此時，無最大值，不合題意；當時，若，；若，在上單調遞增，在上單調遞減，則；若存在最大值，則，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．【答案】（1）7；（2）7【解析】【分析】（1）根據指數冪運算即可；（2）利用平方關系求解即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】，等號兩邊同時平方，得，所以.18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合，由并集定義可得結果；（2）根據補集定義和并集結果得，結合可知，由此可解得結果.【小問1詳解】當時，；由得：，解得：，則；.【小問2詳解】由（1）知：，；，；由得：，若，則，解得：，即實數的取值范圍為.19.已知定義域為的奇函數，且時，.（1）求當時，函數的解析式；（2）求證：在上為增函數.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)結合已知條件，首先求出當時，的解析式，然后結合奇函數性質求的解析式，最后利用奇函數定義求出即可；(2)結合已知條件，利用單調性定義證明即可.【小問1詳解】由題意，當時，，①當時，則，故，又因為為奇函數，從而，故；②因為為奇函數，所以，即，綜上所述，當時，.【小問2詳解】不妨設、，且，，又因為，，，即，所以，即，從而在上為增函數.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經調研發(fā)現．某珍稀水果樹的單株產量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應求記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）（2）4千克時，利潤最大480元.【解析】【分析】（1）利用銷售額減去成本投入可得出利潤解析式；（2）利用分段函數的單調性及基本不等式計算最值即可.【小問1詳解】由已知；【小問2詳解】由（1）得，即由二次函數的單調性可知，當時，，由基本不等式可知當時，，當且僅當時取得最大值，綜上，當時取得最大利潤，最大利潤為480元.21.設函數（，且）是定義域為的奇函數，且的圖象過點．（1）求t和a的值；（2）若，求實數k的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用奇函數性質可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函數的條件，由函數過點代入求a.(2)利用奇函數的性質可得，再由函數單調性脫去“”，轉化為二次不等式恒成立求解即可.【小問1詳解】因為函數（，且）是定義域為的奇函數，所以，所以，所以，解得，所以，因為函數的定義域為關于原點對稱，且，所以函數是奇函數，故滿足題意，又因為的圖象過點，所以，，且，解得或（舍去），綜上t和a的值分別為2，2.【小問2詳解】由（1）可知函數是奇函數，所以不等式等價于，因為指數函數在上單調遞增，所以由復合函數單調性可知在上單調遞增，所以不等式等價于，即，不等式恒成立，當且僅當，解得，所以實數k的取值范圍為.22.設函數，．（1）對于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當時對任意，恒有，求實數的取值范圍；（3）若存在，使得與同時成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）或；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）轉化條件為對于任意恒成立，設，由一次函數的性質即可得解；（2）轉化條件為在區(qū)間上，，結合二次函數、一次函數的性質求得函數最值后即可得解；（3）按照、、討論，由一