2023學年宜春市豐城九中高三數(shù)學上學期期末考試卷附答案解析

學年宜春市豐城九中高三數(shù)學上學期期末考試卷考試時間：120分鐘滿分：150分2024.1一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若方程表示一個圓，則m可取的值為（）A0 B.1 C.2 D.33.設內(nèi)角A，B，C對邊分別為，若，，，則（）A. B. C. D.4.已知，則“”是“”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A.1 B. C. D.6.已知圓錐的底面積為π，側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.7.為了研究我國男女性的身高情況，某地區(qū)采用分層隨機抽樣的方式抽取了100萬人的樣本，其中男性約占?女性約占，統(tǒng)計計算樣本中男性的平均身高為，女性的平均身高為，則樣本中全體人員的平均身高約為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若方程有三個不同的根，則（）A.4 B.3 C.2 D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）9.甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)從小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，則（）A.甲、乙的第70百分位數(shù)相等B.甲的極差比乙的極差小C.甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)大D.甲的方差比乙的方差大10.已知橢圓：（）和：（），則（）A.與的長軸長相等 B.的長軸長與的短軸長相等C.與的離心率相等 D.與有4個公共點11.如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段上的動點，下列說法正確的是（）A.對任意點，平面B.三棱錐與正方體的體積比為1：3C.線段長度的最小值為D.存在點P，使得DP與平面所成角大小為12.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數(shù)有90個B.四位回文數(shù)有45個C.（）位回文數(shù)有個D.（）位回文數(shù)有個三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若拋物線上一點到焦點的距離為，則____．14.已知與具有相關關系，且利用關于回歸直線方程進行預測，當時，，當時，，則關于的回歸直線方程中的回歸系數(shù)為__________.15.若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是___________.16.已知復平面上一個動點Z對應復數(shù)z，若，其中i是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為____________．四、解答題（共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共60分）17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19.2020年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標．2020年也是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年（總書記2020年新年賀詞）．某貧困地區(qū)截至2019年底，按照農(nóng)村家庭人均年純收入8000元的小康標準，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康．現(xiàn)從這些尚未實現(xiàn)小康的家庭中隨機抽取50戶，得到這50戶家庭2019年的家庭人均年純收入的頻率分布直方圖．（1）求出頻率分布直方圖中的a的值，并求出這50戶家庭人均年純收入的平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）2020年1月，統(tǒng)計了該地一個家庭2019年7~12月的該家庭人均月純收入如下表：月份/2019（時間代碼x）123456人均月純收入入y（元）275365415450470485由散點圖發(fā)現(xiàn)：家庭人均月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關關系，求出回歸直線方程；并估計2020年3月份（即時間代碼x取9）該家庭人均月純收入為多少元？參考數(shù)據(jù)：；；線性回歸方程中，，．20.如圖，在平行六面體中，，，，，點為中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．21.已知橢圓經(jīng)過點，左焦點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作任意直線與橢圓交于，兩點，軸上是否存在定點使得直線，的斜率之和為？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.22已知函數(shù)．（1）設是函數(shù)的極值點，求m的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意的恒成立，求m的取值范圍．2023學年宜春市豐城九中高三數(shù)學上學期期末考試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對集合化簡，然后求出即可.【詳解】因為，解得，因為，解得，所以，，所以,故選：D.2.若方程表示一個圓，則m可取的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】將題設中的一般式方程經(jīng)配方化成標準方程，依題須使右式大于零，求得的范圍，對選項進行判斷即可.【詳解】由方程分別對進行配方得：，依題意它表示一個圓，須使，解得：或，在選項中只有D項滿足.故選：D.3.設的內(nèi)角A，B，C對邊分別為，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】因，所以，由，得，所以.故選：B.4.已知，則“”是“”成立的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分析“”和“”范圍的包含關系，由此得出正確選項.【詳解】由可知，而由“”得；故“”的范圍是“”范圍的真子集，所以是充分不必要條件.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查分數(shù)分母不為零，屬于基礎題.5.已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量減法的坐標表示公式，結(jié)合投影向量的定義進行求解即可.【詳解】由，向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：D.6.已知圓錐底面積為π，側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件求出圓錐的底面半徑r，母線長，從而求得圓錐外接球的半徑及球的表面積.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意得，所以，因為圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，得，易知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其外接圓的半徑R即圓錐外接球的半徑，所以，故該圓錐外接球的表面積，故選：B7.為了研究我國男女性的身高情況，某地區(qū)采用分層隨機抽樣的方式抽取了100萬人的樣本，其中男性約占?女性約占，統(tǒng)計計算樣本中男性的平均身高為，女性的平均身高為，則樣本中全體人員的平均身高約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】樣本中全體人員的平均身高約，故選：C8.已知函數(shù)，若方程有三個不同的根，則（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意，易知為奇函數(shù)，由函數(shù)向右平移一個單位長度，再向上平移4個單位長度而得到的，所以的圖象關于點對稱，再根據(jù)直線也關于點對稱，即可得答案.【詳解】由題意，因為，所以為奇函數(shù)，由函數(shù)向右平移一個單位長度，再向上平移4個單位長度而得到的，所以的圖象關于點對稱.而所表示的直線也關于點對稱，所以方程的三個實根中必有一個為1，另外兩個關于對稱，所以.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）9.甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)從小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，則（）A.甲、乙的第70百分位數(shù)相等B.甲的極差比乙的極差小C.甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)大D.甲的方差比乙的方差大【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)、極差、平均數(shù)和方差相關概念直接求解即可.【詳解】對于A，因為，所以甲的環(huán)數(shù)的70百分位數(shù)是，乙的環(huán)數(shù)的70百分位數(shù)是，故A正確；對于B，甲的極差為，乙的極差為，故B正確；對于C，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)小，故C錯誤；對于D，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知，甲數(shù)據(jù)分布更集中，而乙數(shù)據(jù)分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D錯誤.故選：AB10.已知橢圓：（）和：（），則（）A.與的長軸長相等 B.的長軸長與的短軸長相等C.與的離心率相等 D.與有4個公共點【答案】BC【解析】【分析】化為標準方程，求出相關長軸和短軸長以及離心率一一分析即可.【詳解】橢圓：（），即，橢圓（），，則的長軸長為，短軸長為，的長軸為，短軸為，故A錯誤，B正確；的離心率為，的離心率，故C正確；因為的長軸長與的短軸長相等，且的焦點在軸上，的焦點在軸上，則與有2個公共點，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段上的動點，下列說法正確的是（）A.對任意點，平面B.三棱錐與正方體的體積比為1：3C.線段長度的最小值為D.存在點P，使得DP與平面所成角大小為【答案】ACD【解析】【分析】證明平面平面判斷A正確；直接求出棱錐的體積判斷B；當時，為中點，此時線段長度取最小值，求出最小值判斷C；求出與平面所成角的正弦值的范圍判斷D．【詳解】解：連接，，由，且，得四邊形為平行四邊形，，由平面，平面，得平面，同理平面，又，可得平面平面，平面，對任意點，平面，故A正確；，，所以，故B錯誤；線段在△中，當時，最小，此時點為的中點，在中，，故的最小值為，故C正確；當在線段上運動時，長度的最小值為，最大值為，在正方體中，平面平面，平面，則即為DP與平面所成角，在中，，則與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，則存在點，使得與平面所成角的大小為，故D正確．故選：ACD．12.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數(shù)有90個B四位回文數(shù)有45個C.（）位回文數(shù)有個D.（）位回文數(shù)有個【答案】AC【解析】【分析】按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】根據(jù)題意，對于四位回文數(shù)，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和個位有種選法，第二為和第三位有種選法，故共有個，則A正確，B錯誤；對于位回文數(shù)，首位和個位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第個數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有種選法，即（）位回文數(shù)有個，故C正確，D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若拋物線上一點到焦點的距離為，則____．【答案】【解析】【分析】利用焦半徑公式求解.【詳解】點到焦點的距離為,則，解得故答案為：14.已知與具有相關關系，且利用關于的回歸直線方程進行預測，當時，，當時，，則關于的回歸直線方程中的回歸系數(shù)為__________.【答案】5【解析】【分析】由題意設出回歸直線方程，由待定系數(shù)法即可得解.【詳解】設關于的回歸直線方程為，由題意得，解得，即回歸系數(shù)為5.故答案為：5.15.若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】(0，)【解析】【分析】對函數(shù)求導后，由題意可知在有2個不同的零點，從而可得方程在上有兩個不同的實根，再結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】解：因為函數(shù)有兩個不同的極值點，所以在有2個不同的零點，所以方程在上有兩個不同的實根，所以，解得，故答案為：(0，)16.已知復平面上一個動點Z對應復數(shù)z，若，其中i是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復數(shù)的幾何意義，得到復數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，過原點作圓的切線，切點為，結(jié)合三角形和扇形的面積公式，即可求解.【詳解】因為，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，可得復數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，如圖所示，過原點作圓的切線，切點為，在直角中，可得，所以，且，所以，所以復數(shù)向量掃過的面積為.故答案為：.四、解答題（共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共60分）17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.【答案】（1）（2）2【解析】分析】（1）利用降冪公式及兩角和正弦公式化簡得，根據(jù)最小正周期公式即得.（2）由（1）得，利用正弦面積公式與余弦定理得到，再借助正弦定理得結(jié)果.【小問1詳解】，的最小正周期；【小問2詳解】由，可得，又，，，，由，得，由余弦定理得：，得，由正弦定理得外接圓的半徑.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解；（2）分組求和方法求解.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以的通項公式.【小問2詳解】由（1）知，所以.19.2020年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標．2020年也是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年（總書記2020年新年賀詞）．某貧困地區(qū)截至2019年底，按照農(nóng)村家庭人均年純收入8000元的小康標準，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康．現(xiàn)從這些尚未實現(xiàn)小康的家庭中隨機抽取50戶，得到這50戶家庭2019年的家庭人均年純收入的頻率分布直方圖．（1）求出頻率分布直方圖中的a的值，并求出這50戶家庭人均年純收入的平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）2020年1月，統(tǒng)計了該地的一個家庭2019年7~12月的該家庭人均月純收入如下表：月份/2019（時間代碼x）123456人均月純收入入y（元）275365415450470485由散點圖發(fā)現(xiàn)：家庭人均月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關關系，求出回歸直線方程；并估計2020年3月份（即時間代碼x取9）該家庭人均月純收入為多少元？參考數(shù)據(jù)：；；線性回歸方程中，，．【答案】（1），4.72（2），630（元）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解；（2）最小二乘法求回歸直線方程,并利用回歸方程估計.【小問1詳解】，平均數(shù).【小問2詳解】，，，，，所以回歸直線方程為：，當時，（元）。20.如圖，在平行六面體中，，，，，點為中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）依次證得四邊形與四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）依題意建立空間直角坐標系，利用待定系數(shù)法求得點的坐標，進而求得平面與平面的法向量，再利用空間向量法即可得解.【小問1詳解】連結(jié)，交于點，連結(jié)，在平行六面體中，，是的中點，所以四邊形平行四邊形，又點為中點，則且，所以四邊形是平行四邊形，從而，因為平面，，所以平面.【小問2詳解】以為原點建立如圖所示的坐標系，則，，設點為，其中，則，，，因為，，，所以，即，解得，則，則，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量，則，令，則，設二面角為，則，所以，則，所以二面角的正弦值為.21.已知橢圓經(jīng)過點，左焦點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作任意直線與橢圓交于，兩點，軸上是否存在定點使得直線，的斜率之和為？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】