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文檔簡介
2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題(本大題共8小題)1.若命題“,”為假命題,則實數(shù)的最小值是(
)A. B.0 C.1 D.32.設(shè),為復(fù)數(shù),且,則下列結(jié)論不正確的是(
)A. B.C.若,則 D.3.過點與圓相切的兩條直線的夾角為,則點到原點距離的最小值為()A.1 B.2 C. D.4.若,則(
)A. B.C.45 D.5.已知球是正三棱柱的內(nèi)切球,,是球表面上一點,則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知A,,三點不共線,點不在平面內(nèi),,若A,,,四點共面,則的最大值為()A. B. C.1 D.27.已知實數(shù),滿足,則的最大值為()A. B. C. D.128.已知橢圓的左、右焦點分別為,為為坐標(biāo)原點,以為圓心,為半徑的圓與橢圓交于M,N兩點,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.已知,,點P滿足.則(
)A.點P的軌跡為雙曲線 B.直線上存在滿足題意的點PC.滿足的點P共有0個 D.的周長的取值范圍是10.下列四個命題中,正確的是()A.要唯一確定圓,只需給出圓上三點B.要唯一確定拋物線,只需給出焦點和準(zhǔn)線C.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的橢圓,只需給出橢圓上兩點D.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的雙曲線,只需給出一條漸近線和一個焦點11.雙曲線的光學(xué)性質(zhì):從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線,經(jīng)雙曲線反射后,反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得,過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左,右焦點,過雙曲線右支上一點作直線交軸于點,交軸于點則(
)A.雙曲線的漸近線方程為B.點的坐標(biāo)為C.過點作,垂足為,則D.四邊形面積的最小值為4三、填空題(本大題共3小題)12.已知是橢圓:的一個焦點,是的上頂點,的延長線交于點,若,則C的離心率是.13.已知直線的一個方向向量為,直線的一個方向向量為,其中為正數(shù),若,則的最小值為.14.已知長方體中,,點為平面內(nèi)任一點,且點到點的距離與到面的距離相等,點分別為的中點,則三棱錐的體積的最小值為.四、解答題(本大題共5小題)15.某社團為統(tǒng)計居民運動時長,調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長(單位:h),并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為,,,,,六個小組(所調(diào)查的居民平均每天的運動時長均在內(nèi)),得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出圖中m的值,并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù);(2)按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在,這兩個時間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運動心得,若再從這6人中選出2人發(fā)言,求這2人來自不同分組的概率.16.在中,內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且.(1)求的值;(2)若是銳角三角形,,求的取值范圍.17.如圖,在四面體ABCD中,是正三角形,是直角三角形,,.
(1)證明:平面平面;(2)若二面角的正切值為,求四面體與四面體的體積之比.18.已知橢圓:的離心率為,左?右焦點分別為,,上?下頂點分別為,,且四邊形的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線:與橢圓交于P,Q兩點,且P,Q關(guān)于原點的對稱點分別為M,N,若是一個與無關(guān)的常數(shù),則當(dāng)四邊形面積最大時,求直線的方程.19.在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點,對任意兩個向量,.作:,當(dāng)不共線時,記以為鄰邊的平行四邊形的面積為;當(dāng)共線時,規(guī)定.(1)分別根據(jù)下列已知條件求;①,;②,;(2)若向量,求證:;(3)記,,,且滿足,,,求的最大值.
答案1.【正確答案】D【詳解】因為命題“,”為假命題,所以命題“,”為真命題,即在上恒成立,即在上恒成立,記,,則,因為在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以實數(shù)可取的最小值是.故選:D.2.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意,由復(fù)數(shù)的運算,代入計算,逐一判斷,即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè),,對于A,因為,所以,且,所以,故A正確;對于B,因為,,,則,,所以,故B正確;對于C,若,例如,,滿足,但,,即,故C錯誤;對于D,因為,所以,,所以,故D正確.故選C.3.【正確答案】B【詳解】圓,設(shè)圓心,圓的半徑為,因為過點與圓相切的兩條直線切點分別為,兩條切線的夾角為,則,所以,又因為,所以,所以,設(shè)點Px,y,可得,即得,設(shè),則點到原點距離,當(dāng)時,點到原點距離最小值為.故選:B.
4.【正確答案】B【詳解】因為且,將代入得:,,,所以.由,,可得.因為,又,所以,由,可得.將,代入可得:.故選:B.5.【正確答案】B【詳解】設(shè)等邊三角形內(nèi)切圓的半徑為,則,則正三棱柱的內(nèi)切球半徑,則正三棱柱的高為.設(shè)等邊三角形外接圓半徑為,則,所以,設(shè)是等邊三角形的中心,是的中點,連接,則,,是球表面上一點,則,,(同向是為,反向時為),所以,所以的取值范圍是.故選:B6.【正確答案】B【詳解】因為A,,,四點共面,所以,則,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故選:B.7.【正確答案】C【詳解】令,則,由,得,整理得,,因為存在實數(shù)滿足等式,所以,解得,則的最大值為,此時,.故選:C.8.【正確答案】B【詳解】由題意得,,由橢圓定義得,故,∵,,∴,∴與相似,∴,即,整理得,故,解得,由得,,即橢圓的離心率為.故選:B.9.【正確答案】BCD【詳解】因為,,所以點的軌跡是以為焦點,實軸長為的雙曲線的右支,所以,故,所以的軌跡方程為,雙曲線的右支,故A錯誤;聯(lián)立,解得(舍去),所以直線上存在滿足題意的點,故B正確;雙曲線的漸近線方程為,則點到漸近線的距離,所以滿足的點共有0個,故C正確;因為即左焦點,而,因為,所以,所以的周長為,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時,等號成立,所以的周長的取值范圍是,故D正確.故選:BCD.10.【正確答案】ABD【詳解】對于A:根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知:A正確;對于B:根據(jù)拋物線的定義可知:給出焦點和準(zhǔn)線即可確定拋物線,故B正確;對于C:給出兩點不能確定橢圓,例如給定長軸頂點,此時橢圓有無數(shù)個,故C錯誤;對于D:因為中心為坐標(biāo)原點,若給出一條漸近線和一個焦點,可以求出a,b,c,且可以確定焦點位置,即可得雙曲線方程,可以確定雙曲線,故D正確;故選:ABD.11.【正確答案】CD【詳解】對于A項,由已知可得,,所以的漸近線方程為,故A項錯誤;對于B項,設(shè),則,整理可得.又,所以,所以有,由于,所以,解得,所以點的坐標(biāo)為,故B項錯誤;對于C項,如圖,,且滿足所以直線的方程為,聯(lián)立化簡得,由于,即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,平分,延長與的延長線交于點.則垂直平分,即點為的中點.又是的中點,所以,故C項正確;對于D項,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以,四邊形面積的最小值為4,故D項正確.故選:CD.12.【正確答案】/【詳解】不妨設(shè)是橢圓的左焦點,是的右焦點,的焦距為,連接,則,又,所以,在中,由余弦定理得,則,即,所以.故13.【正確答案】【詳解】依題意,兩直線垂直,則兩直線的方向向量垂直,其數(shù)量積為零﹒可得,即,所以,由得.當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故答案為.14.【正確答案】4【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),∵平面平面,∴點到面的距離為點到直線的距離∴由拋物線的定義可知:,易知,∴,,設(shè)是平面的其中一個法向量,則,令,得,平面的法向量為,又,則到平面的距離,所以的最小值為,∵點分別為的中點且,,∴,所以三棱錐的體積的最小值:.故4.15.【正確答案】(1),2.4h(2).【詳解】(1)由,解得.因為,所以中位數(shù)在內(nèi),設(shè)中位數(shù)為x,則,得,即估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)為2.4h.(2)由題知,平均每天運動時長在,內(nèi)的頻率分別為0.5,0.1,則應(yīng)從平均每天運動時長在,內(nèi)的居民中分別抽出5人,1人.記時間段內(nèi)的5人分別為a,b,c,d,e,記時間段內(nèi)的1人為M,則從這6人中選出2人的基本事件有,,,,,,,,,,,,,,共15個,2人來自不同分組的基本事件,,,,,共5個,所以這2人來自不同分組的概率為.16.【正確答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,由余弦定理可得.(2)因為,,則,由正弦定理可得,所以,,因為為銳角三角形,則,解得,所以,,則,故.即的取值范圍是.17.【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】(1)由題設(shè)得,,從而.又是直角三角形,所以.取AC的中點O,連接DO、BO,則DO⊥AC且,又是正三角形,故.則中,,又,所以,故.而且都在面,故面,而面,所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)設(shè),,結(jié)合(1)結(jié)論,以O(shè)為坐標(biāo)原點,為x軸,為y軸,為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,易知平面的法向量為,設(shè),由,可得,得,設(shè)面的法向量為,則,取,得,所以,因為二面角的正切值為,則,又,解得,所以,所以到底面的距離與到底面的距離之比為,所以四面體與四面體的體積之比.
18.【正確答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得a,b,c的關(guān)系,從而可求出a,b,c的值,從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,可得根與系數(shù)的關(guān)系,從而可表示出|OP|2+|OQ|2,由OP|2+|OQ|2是一個與m無關(guān)的常數(shù),可求出k的值,表示出四邊形PQMN面積,求出當(dāng)四邊形PQMN面積最大時m的值,即可求解直線l的方程.【詳解】(1),,所以,因為a2=b2+c2,所以a=2,,c=1,所以橢圓方程為.(2)如圖,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),,聯(lián)立,消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,Δ=(8km)2﹣4(4m2﹣12)(3+4k2)>0,即m2<3+4k2,所以,.,,因為|OP|2+|OQ|2是一個與m無關(guān)的常數(shù),所以32k2﹣24=0,,,,,點O到直線l的距離,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即m2=3,因為m>0,所以時,取得最大值為,因為S四邊形MNPQ=4S△POQ,所以S△
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