2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B． C． D．3．若，則（）A． B． C． D．4．“”是“直線和直線平行且不重合”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若mn，n⊥α，αβ，則m⊥βB．若則m⊥αC．若m⊥α，mn，nβ，則α⊥βD．若，則α⊥β6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐為陽(yáng)馬，平面，且，若，則（

）A． B．C． D．7．已知直線l的方向向量為，點(diǎn)，在l上，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B．4 C． D．8．正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．過點(diǎn)且在，軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為B．直線與直線之間的距離為C．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的最小值為D．已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段沒有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是10．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成角的余弦值為C．四面體的體積為D．點(diǎn)到平面的距離為11．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．平面上存在定點(diǎn)使得的長(zhǎng)度為定值 B．的最大值為C．的最大值為 D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是．13．有一光線從點(diǎn)射到直線以后，再反射到點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為.14．在菱形中，，將沿折起，使得點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)四面體的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)已知向量與互相垂直，求的值；(2)求的面積．16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足(1)求A；(2)若，求a的最小值.17．如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形，，平面與平面互相垂直，．

(1)求證：．(2)若二面角為，求多面體的體積．18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍．19．已知點(diǎn)和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線，均過點(diǎn)，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對(duì)”，如直線，是一組“共軛線對(duì)”，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．規(guī)定相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角．(1)已知直線，均過點(diǎn)，直線，是一組“共軛線對(duì)”，且的斜率為，求的一般式方程；(2)已知，是一組“共軛線對(duì)”，求，的夾角的最小值；(3)已知點(diǎn)，直線，是“共軛線對(duì)”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r(shí)，求原點(diǎn)到直線，的距離之積的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意，，，所以，，，．故選：D2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，所以，，且又因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，所以.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】由題意得，．故選：A4．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為：，，∴兩直線斜率相等且，∴兩條直線平行且不重合；充分性成立，若兩直線平行且不重合，則，∴，必要性成立，綜上所述，是兩直線平行且不重合的充要條件，故選：C．5．【正確答案】D【詳解】解：對(duì)于A，若，則且，所以A正確；對(duì)于B，若，則且，所以B正確；對(duì)于C，若，則由面面垂直的判定定理可得，所以C正確；對(duì)于D，若，則可能相交或垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：D.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，以為基底表示出，從而確定的取值.【詳解】，，，，，，.故選：A.7．【正確答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)P到直線l的距離為，分別計(jì)算向量的模長(zhǎng)與夾角的正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意，得，，，，又，到直線l的距離為故選：C本題考查了空間向量的應(yīng)用問題，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.8．【正確答案】C【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長(zhǎng)，再化簡(jiǎn)可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，則.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)最長(zhǎng)，此時(shí)，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)，的最大值為，所以的最大值為.

故選：C9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)直線過原點(diǎn)的方程為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，與平行，則兩條平行直線間的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，即的最小值為，故C正確，對(duì)于D，，，又直線與線段沒有公共點(diǎn)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABD10．【正確答案】AC【詳解】如圖以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，A1,0,0，，，，

對(duì)于A：，，因?yàn)?，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：在正方形中，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，所以，同理可證，，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：圖形為正方體去掉四個(gè)全等的直棱錐，所以四面體的體積為：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋矫娴囊粋€(gè)法向量n=x,y,z，，，故，令，則，，故，所以點(diǎn)到平面的距離，故選項(xiàng)D不正確.故選：AC11．【正確答案】ABD【詳解】由直線，可得過定點(diǎn)，動(dòng)直線，可得恒過定點(diǎn)，由兩條直線斜率乘積為-1知兩條直線總互相垂直，是兩條直線的交點(diǎn)，所以，所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí),所以A正確；由于，又，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故B正確，C錯(cuò)誤，設(shè)到直線的距離為，由于，故，故最大值為，故D正確，故選ABD.12．【正確答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】易知向量在向量上的投影向量為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得．則點(diǎn)在反射光線所在的直線上．反射光線所在的直線方程為：，化為．反射光線所在的直線方程為．故14．【正確答案】【詳解】解：如圖，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則．因?yàn)榉酆簏c(diǎn)到平面的距離最大，所以平面平面．設(shè)的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，則平面，且．設(shè)，則，解得，所以外接球的半徑，所以四面體的外接球的表面積．故15．【正確答案】(1)5(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，解得．所以的值是5．（2）由（1）可得．故，所以．16．【正確答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求角即可；（2）應(yīng)用余弦定理結(jié)合基本不等式求值即可.【詳解】（1），即，即；（2）由余弦定理有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故a的最小值為1.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用正弦定理先證，再證線面垂直即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，由二面角計(jì)算BC長(zhǎng)，將多面體分割為四棱錐和三棱錐，分別計(jì)算其體積即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面,所以；（2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦危裕Y(jié)合平面，可知兩兩垂直．故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易知平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼菫?，所以，解得．易證，所以．因?yàn)?，平面平面，平面平面，所以平面，所以是三棱錐的高．，因?yàn)槠矫?，所以是四棱錐的高．，所以多面體的體積.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連結(jié)，，因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，則，依題意平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以．由題設(shè)知四邊形為菱形，所以，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，即，又，平面，所以平面；（2）由（1）知平面，又，故可以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.（如圖）則,于是，，，,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量n=a,b,c，則令，則，，則，由（1）可知可作為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，則；設(shè)，則，故得