2024-2025學(xué)年河北省承德市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省承德市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上，則圓的方程為（）A． B．C． D．3．橢圓與橢圓的（）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等C．離心率相等 D．焦距相等4．在長(zhǎng)方體中，已知，，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線(xiàn)的一支上C．拋物線(xiàn)上 D．圓上6．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，則的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（

）A．PQ的最小值為2 B．PQ的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線(xiàn)斜率為 D．兩個(gè)圓相交弦所在直線(xiàn)的方程為10．已知點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且不與重合，則（

）A．PF1B．C．以線(xiàn)段為直徑的圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為D．直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．二面角的平面角的正切值為2B．三棱錐體積為C．以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球被平面所截的圓面的面積為D．線(xiàn)段的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線(xiàn)，若，則.13．已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，且雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)使得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)平面；②直線(xiàn)到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線(xiàn)，圓C以直線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心，且過(guò)點(diǎn)A(3,3)，（1）求圓C的方程；（2）若直線(xiàn)與圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求|MN|的長(zhǎng)度；（3）求圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值．16．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)平面夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．17．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．18．如圖，已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面是正三角形，分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿(mǎn)足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示．(1)求證：平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】由題，直線(xiàn)方程可化為，則斜率為，所以?xún)A斜角為，故選:C.2．【正確答案】A【詳解】由點(diǎn)，在圓上，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則與直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的直線(xiàn)方程為即，則圓心在直線(xiàn)與垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處，則聯(lián)立方程組：，解得，則圓心為，，所以圓的方程為：.故選：A3．【正確答案】D【詳解】由于的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，而橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為6，離心率為，故兩個(gè)橢圓的焦距相等，故選：D4．【正確答案】C【詳解】在長(zhǎng)方體中,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，，，可得,則，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由，可得圓心，半徑，由，可得圓心為，半徑由題意可得，消去可得，所以動(dòng)圓的圓心是雙曲線(xiàn)靠近的一支曲線(xiàn).故選：B.6．【正確答案】C【詳解】如圖，由橢圓定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡(jiǎn)可得，所以的面積為，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得，可得，易知的周長(zhǎng)為，利用等面積法可知，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以，離心率.故選：7．【正確答案】B【詳解】在直三棱柱中，，如圖所示，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋珽、F分別為的中點(diǎn)，則，，，，，所以，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)椋渣c(diǎn)F到平面的距離為.因?yàn)樵谥比庵?，分別為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，則點(diǎn)F到平面的距離即為直線(xiàn)到平面的距離.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】由雙曲線(xiàn)定義知，因?yàn)?，所以，，在中，因?yàn)?，，所以，即，化?jiǎn)得，又，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：C.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A、B選項(xiàng)：由題意得：，半徑為1，：，，半徑為1，圓心距為，又點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)圓心所在直線(xiàn)斜率為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：圓心距，所以無(wú)公共弦，D錯(cuò)誤；故選：BC．10．【正確答案】AD【詳解】易知，對(duì)于A，設(shè)Px0,則，故A正確；對(duì)于B，易知四邊形為平行四邊形，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知以線(xiàn)段為直徑的圓其圓心為原點(diǎn)，半徑為，則圓心到直線(xiàn)的距離為，則相應(yīng)弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，故D正確.故選：AD11．【正確答案】ACD【詳解】如圖，設(shè)交于點(diǎn)，平面，平面，則，同理，又，，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，由已知，，所以，A正確；由正方體性質(zhì)知，B錯(cuò)；如圖，設(shè)交于點(diǎn)，由且得，即，，由平面，平面，得，同理可得，而，平面，所以平面，（易得實(shí)際上等邊是的中心）以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球被平面所截的圓面，為圓心，設(shè)是圓周上一點(diǎn)，則，圓面積為，C正確；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，則，即是關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)是與平面的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，以為原點(diǎn)，o軸建立空間直角坐標(biāo)系，如上圖，則，，，∴，，D正確．故選：ACD．12．【正確答案】【詳解】由題意可知，，解得.故13．【正確答案】【詳解】由雙曲線(xiàn)的方程，可得，則，設(shè)，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，代入可得，解得，故.故答案為.14．【正確答案】①②③【詳解】對(duì)①，如圖所示:因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，顯然也是的交點(diǎn)，連接，所以，而平面，平面，所以直線(xiàn)平面，故①正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，對(duì)②，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，平面，平，故平面，故直線(xiàn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，，，，，，由得，故②正確；對(duì)③，設(shè)，，，則，，由，得，得，由，故存在點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)④，由③得到的投影為，故到的距離，面積為，，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，④錯(cuò)．故①②③15．【正確答案】（1）；（2）：（3）．【詳解】（1）聯(lián)立直線(xiàn)方程，即可得交點(diǎn)C(1,3)，圓C的半徑，∴圓C的方程為.（2）由C點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，∴|MN|=2．（3）由C點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即圓C上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為．16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，則，

直線(xiàn)平面夾角的正弦值為；（3）由（2）知，平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得：，所以，點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為：．（2）直線(xiàn)的方程為：聯(lián)立，消去后，得關(guān)于的一元二次方程，化簡(jiǎn)得，由題意知，解得或，由韋達(dá)定理可得，，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，或【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，

所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以面；?）因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z由，得，點(diǎn)到平面的距離（3）設(shè)所以點(diǎn)到面的距離為定值.，解得：或.19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，的長(zhǎng)度為3或【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）知，以CD為軸，CB為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系