2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)向量，，若，則（

）A． B． C． D．2．已知直線傾斜角為，且過，則在軸上的截距為（）A． B． C．1 D．3．在正方體中，為的中點，則（）A． B．C． D．4．已知圓，圓，則圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)含 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交5．已知橢圓的焦距為2，則（）A． B．3或5 C．或 D．56．已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．147．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（

）．A． B．C． D．8．已知橢圓的兩個焦點為，點在橢圓上且滿足，則的面積為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三點，則（）A．B．方向上的單位向量是C．是平面的一個法向量D．在上的投影向量的模為10．已知圓的半徑為2，則下列命題是真命題的是（）A．B．點在圓的外部C．若直線平分圓的周長，則D．圓與圓外切11．已知拋物線的準線為，焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，于，則下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓與準線相切B．若，則C．設(shè)，則D．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線有3條三、填空題（本大題共3小題）12．已知，且，則.13．若拋物線上一點與焦點的距離等于2，則.14．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的左，右焦點分別是，，是上一點，，，的面積為，則的標準方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知，，，，．(1)求；(2)若，求實數(shù)，的值．16．在中，，邊AC上的高BE所在的直線方程為，邊AB上中線CM所在的直線方程為．(1)求點C坐標；(2)求直線BC的方程．17．已知、，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的標準方程；（2）求過點且與曲線相切的直線的方程.18．如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面成角的正弦值；(3)求點到平面的距離．19．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．

答案1．【正確答案】D【詳解】因為，可得，即，解之可得.故選：D2．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，方程為，當時，，所以在軸上的截距為.故選：B3．【正確答案】B【詳解】.故選：B4．【正確答案】C【詳解】由圓得：，所以圓的圓心坐標為，半徑，又由圓得：，所以圓的圓心坐標為，半徑，則圓心距，由于，所以，則圓的位置關(guān)系為內(nèi)切.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】當橢圓焦點在軸上時,此時，，已知焦距，則.根據(jù)，可得，解得.當橢圓焦點在軸上時,此時，，由，根據(jù)，可得，解得.綜上所得，的值為或，故選：B.6．【正確答案】B【詳解】設(shè)圓心為，，則，可知點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，且，即點O0,0在圓外，所以圓心到原點的距離的最小值為.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線為且，又在雙曲線上，所以，則雙曲線的方程是.故選：A8．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得，由橢圓的標準方程和定義可得，，將兩式聯(lián)立可得的值，由三角形面積公式計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，點在橢圓上，滿足，，又由橢圓的方程為，其中，則有，，聯(lián)立可得，則△的面積；故選：C．本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì)．9．【正確答案】ACD【詳解】由題意：，，.對A：因為，故A正確；對B：因為，即方向上的單位向量是，故B錯誤；對C：因為，，所以成立，故是平面的一個法向量，故C正確；對D：由，故D正確.故選：ACD10．【正確答案】ABD【詳解】圓的半徑為2，所以，A選項正確.所以圓的方程為，圓心為，半徑為，，所以點在圓的外部，B選項正確.直線平分圓的周長，則直線過圓心，即，所以C選項錯誤.圓的圓心為，半徑為，與的距離為，所以圓與圓外切，D選項正確.故選：ABD11．【正確答案】ACD【詳解】拋物線的準線為，即，拋物線C的方程為，焦點為，過作于，，

以PQ為直徑的圓的半徑，線段PQ的中點坐標為，則線段PQ的中點到準線的距離為，所以以PQ為直徑的圓與準線l相切，A正確；當時，，B錯誤；拋物線的焦點為，，當且僅當M，P，F(xiàn)三點共線時取等號，所以，C正確；對于D，當直線斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點，當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由消去x并整理得，當時，方程的解為，此時直線與拋物線只有一個公共點，當時，則，解得，所以過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線有3條，D正確．故選ACD.【方法總結(jié)】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．12．【正確答案】4【詳解】因為，且，所以，解得，故答案為.13．【正確答案】【詳解】由得，所以準線方程為，因為點與焦點的距離等于2，所以點與準線的距離等于2，即，解得，故答案為.14．【正確答案】【詳解】由橢圓的定義可知，又，所以，，又，所以，所以，所以，，又橢圓的面積為，所以，解得，，，所以橢圓的標準方程為．故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），，；（2）因為，所以設(shè)，即，故，解得.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由直線：的斜率為，得直線的斜率，直線的方程為，即，由，解得，所以點C的坐標為.（2）依題意，設(shè)，則邊的中點在直線上，于是，解得：，即點，所以直線BC的方程為，即.17．【正確答案】（1）（2）或.【詳解】（1）設(shè)Px,y，則，，由，得，所以曲線的標準方程為.（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點的直線若斜率不存在，直線方程這，滿足與圓相切；過點的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，有圓心到直線距離，解得，則方程為.過點且與曲線相切的直線的方程為或.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,則,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由于，故，又平面，故平面（2）由（1）知平面的法向量，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，由于，故；（3）由于，平面的法向量，點到平面的距離.19．【正確答案】(1)橢圓的方程為；拋物線的方程為