2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．已知直線與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．在不超過(guò)9的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．234．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為上一點(diǎn)滿足，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知三棱錐中，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，為平面上一動(dòng)點(diǎn)且滿足，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為（

）A． B． C． D．7．在梯形中，滿足，則（

）A．4 B．6 C．10 D．128．已知為銳角三角形，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知一組數(shù)據(jù)1，2，4，3，1，2，1，則這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為2B．已知五個(gè)數(shù)據(jù)5，5，10，10，20，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為10C．若，則事件與互為對(duì)立事件D．若事件相互獨(dú)立，，則10．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．二面角的平面角的正切值為2B．三棱錐體積為C．以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球被平面所截的圓面的面積為D．線段的最小值為11．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，圓，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓M上，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若橢圓C和圓M沒(méi)有交點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍是B．若，則的最大值為4C．若存在點(diǎn)P使得，則D．若存在點(diǎn)Q使得，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為.13．設(shè)向量滿足，則的最大值等于.14．已知球的表面積為，正四面體的頂點(diǎn)均在球的表面上，球心為的外心，棱AB與球面交于點(diǎn).若平面平面平面平面且與之間的距離為同一定值，棱分別與交于點(diǎn)，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率等于2.(1)求雙曲線的方程；(2)已知定點(diǎn)，若雙曲線的左焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求的最小值.16．已知點(diǎn)，直線.(1)求過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程；(2)光線通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)直線反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程.17．已知滿足圓的方程.(1)求的取值范圍；(2)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)若四面體的體積為，求；(3)若，求直線AD與平面所成角的正弦值的最大值.19．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，短軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)左焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明:直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)為直線與直線BD的交點(diǎn)，求面積的最小值.

答案1．【正確答案】B【詳解】,故選：B.2．【正確答案】A【詳解】由得，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選：A．3．【正確答案】C【詳解】不超過(guò)9的質(zhì)數(shù)有共4個(gè)，任取兩個(gè)求和有：，，，，，共6個(gè)，其中和為偶數(shù)的有3個(gè)：，，，和為偶數(shù)的概率為，故選：C．4．【正確答案】D【詳解】由題意，在中，，則AF即，整理得，所以的離心率.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】由題設(shè)，底面的外接圓半徑，又平面，且，則三棱錐的外接球半徑，所以外接球表面積為.故選：B6．【正確答案】B【詳解】設(shè)Mx,y，則，整理可得：，點(diǎn)軌跡是以C0,1為圓心，半徑的圓，，當(dāng)時(shí)，，.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】∵，∴，，故選：C．8．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由題設(shè)，所以，即，而，則，顯然恒成立，所以，可得.故選：B9．【正確答案】AD【詳解】A：數(shù)據(jù)從小到大為，顯然中位數(shù)為2，對(duì)；B：由，則，錯(cuò)；C：由且互斥時(shí)，互為對(duì)立事件，錯(cuò)；D：由題設(shè)且也是相互獨(dú)立，故，對(duì).故選：AD10．【正確答案】ACD【詳解】如圖，設(shè)交于點(diǎn)，平面，平面，則，同理，又，，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，由已知，，所以，A正確；由正方體性質(zhì)知，B錯(cuò)；如圖，設(shè)交于點(diǎn)，由且得，即，，由平面，平面，得，同理可得，而，平面，所以平面，（易得實(shí)際上等邊是的中心）以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球被平面所截的圓面，為圓心，設(shè)是圓周上一點(diǎn)，則，圓面積為，C正確；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，則，即是關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)是與平面的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，以為原點(diǎn)，o軸建立空間直角坐標(biāo)系，如上圖，則，，，∴，，D正確．故選：ACD．11．【正確答案】ACD【詳解】由橢圓中，圓中圓心，半徑為1，如下圖示，A：由于，由圖知：當(dāng)時(shí)橢圓C和圓M沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)離心率，對(duì)；B：當(dāng)時(shí)，令，則，而，所以，又，故，所以的最大值為，錯(cuò)；C：由，若，則，由，令，且，則，即，所以，則，且，故，對(duì)；D：令，若，所以，則，所以，軌跡是圓心為，半徑為的圓，而與的距離為，要使點(diǎn)Q存在，則，可得，且，即，對(duì)；故選：ACD12．【正確答案】3【詳解】由已知，，通徑長(zhǎng)為，則AB的最小值．故3.13．【正確答案】【詳解】依題意，，在平面直角坐標(biāo)系中，令，設(shè)，則，由，得，整理得，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，是該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，又原點(diǎn)在該圓上，所以的最大值等于.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)和之間的距離為，球的半徑為，由題意，解得，所以，則，所以，由共線，則存在實(shí)數(shù)使且，所以，即，整理得，可得，所以，即，所以，又且與之間的距離為，則，故，所以，且，在中，.故15．【正確答案】(1)(2)9【詳解】（1）由條件可知，，，得，，所以雙曲線方程為：；（2）∵是雙曲線的左焦點(diǎn)，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為916．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，所以直線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．由題意得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以反射光線所在直線方程為，即．

17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，即，設(shè)直線，即該直線與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑，即，解得，則．（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為x1,y1將直線代入，整理，得，則，，且，即，當(dāng)為銳角時(shí)，，解得，又，綜上，可得的取值范圍為．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）.的中點(diǎn)為，則..，則，故，即.因?yàn)?，，平面，平面，所以平?（2）因?yàn)?，所?而，所以，解得.（3）過(guò)作軸垂直平面，以方向分別為則，，設(shè)平面法向量為由得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，所以所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．19．【正確答案】(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)；(3).【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，