2024-2025學(xué)年山東省聊城市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省聊城市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1．（5分）已知空間兩點A（0，1，2），B（﹣2，3，1），則A、B兩點間的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．92．（5分）若直線l經(jīng)過點，則直線l的斜率是（）A． B． C． D．3．（5分）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A． B． C． D．4．（5分）已知直線x+y＝0與圓C：x2+（y﹣2）2＝8相交于A，B兩點，則|AB|＝（）A． B．4 C． D．25．（5分）已知空間三點P（2，0，0），O（0，0，0），A（﹣1，1，2），則點P到直線OA的距離是（）A． B． C． D．6．（5分）若過兩點A（m2+2，m2﹣3），B（﹣m2﹣m+3，2m）的直線l的傾斜角為45°，則m＝（）A．﹣2或﹣1 B．1 C．﹣1 D．﹣27．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為棱AB的中點，BC1與B1C交于點E，若AB＝AA1，則B1D與A1E所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．（5分）若過直線3x+4y+12＝0上一點P作圓C：x2+y2﹣2x＝0的兩條切線，切點為A，B，則|PC|?|AB|的最小值是（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)直線l1：x﹣ay+2a＝0，l2：ax+y+a＝0的交點為M（x0，y0），則（）A．l1恒過定點（0，2） B．l1⊥l2 C．的最大值為 D．點（3，﹣2）到直線l1的距離的最大值為5（多選）10．（6分）直線l的方程為x﹣ysinθ+2＝0，則直線l的傾斜角α的可能取值？（）A． B． C． D．π（多選）11．（6分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P滿足，其中x∈[0，1]，y∈[0，1]，則（）A．存在唯一點P，使得C1P⊥平面B1D1C B．存在唯一點P，使得A1P∥平面B1D1C C．當x+y＝1時，點B1到平面PA1D1的距離的最小值為 D．當時，三棱錐P﹣ACB1的體積的最小值為三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12．（5分）若實數(shù)x，y滿足方程x+2y﹣5＝0，則的最小值為．13．（5分）由曲線x2+y2＝|x|+|y|所圍成的圖形面積為．14．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2AD＝4，O為對角線AC1的中點，過點O的直線與長方體表面交于E，F(xiàn)兩點，M為長方體表面上的動點，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝4，設(shè)AC∩BD＝E．（1）證明：B1E∥平面A1C1D；（2）求平面A1B1E與平面C1B1E夾角的余弦值．16．（15分）已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5＝0，AC的邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5＝0．（1）求頂點C的坐標；（2）求直線BC的方程．17．（15分）已知直線l經(jīng)過直線l1：x﹣2y+3＝0，l2：x+y﹣3＝0的交點P，且A（3，2）、B（﹣1，﹣2）兩點到直線l的距離相等．（1）求直線l的一般式方程；（2）若點A、B在直線l的同側(cè)，且Q為直線l上一個動點，求|AQ|+|BQ|的最小值．18．（17分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將△ADC折起，點D到達點P的位置，使點P在平面ABC的射影H落在邊AB上．（1）證明：PA⊥BC；（2）求點B到平面PAC的距離；（3）若，求直線AC與平面AMB所成角的正弦值．19．（17分）在平面直角坐標系中，已知圓C經(jīng)過原點和點P（2，0），并且圓心在x軸上．（1）求圓C的標準方程；（2）設(shè)P1P2為圓C的動弦，且P1P2不經(jīng)過點P，記k1、k2分別為弦P1P、P2P的斜率．（i）若k1?k2＝﹣1，求△PP1P2面積的最大值；（ii）若k1?k2＝3，請判斷動弦P1P2是否過定點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由．

答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1．（5分）已知空間兩點A（0，1，2），B（﹣2，3，1），則A、B兩點間的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．9【正確答案】B【分析】由距離公式計算．解：由點A（0，1，2），B（﹣2，3，1），可得：．故選：B．【點評】本題主要考查空間兩點間的距離計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若直線l經(jīng)過點，則直線l的斜率是（）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)斜率公式計算即可．解：因為直線l經(jīng)過點，所以直線l的斜率k＝＝﹣．故選：D．【點評】本題考查由兩點的坐標求直線的斜率的方法，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量共面的定義，即可求解．解：對于A，，故，，共面，故A錯誤；對于B，，故，，共面，故B錯誤；對于C，構(gòu)成空間的一個基底，則，，顯然也可以為基底，故，，不共面，故C正確；對于D，，故，，共面，故D錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查空間向量共面的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知直線x+y＝0與圓C：x2+（y﹣2）2＝8相交于A，B兩點，則|AB|＝（）A． B．4 C． D．2【正確答案】A【分析】利用幾何法即可求得弦AB的長|AB|．解：由圓C：x2+（y﹣2）2＝8得：C（0，2），半徑為，圓心C到直線x+y＝0的距離，則弦AB的長．故選：A．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知空間三點P（2，0，0），O（0，0，0），A（﹣1，1，2），則點P到直線OA的距離是（）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】首先表示出，，再根據(jù)點P到直線OA的距離計算可得．解：由題意得，，則，，所以點P到直線OA的距離．故選：D．【點評】本題考查點到直線的距離求法，屬中檔題．6．（5分）若過兩點A（m2+2，m2﹣3），B（﹣m2﹣m+3，2m）的直線l的傾斜角為45°，則m＝（）A．﹣2或﹣1 B．1 C．﹣1 D．﹣2【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用兩點式和直線的斜率的關(guān)系的應(yīng)用求出m的值．解：過兩點A（m2+2，m2﹣3），B（﹣m2﹣m+3，2m）的直線l的傾斜角為45°，所以，解得m＝﹣2（m＝﹣1時，A，B重合，舍去）．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：直線的斜率和兩點的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為棱AB的中點，BC1與B1C交于點E，若AB＝AA1，則B1D與A1E所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】法（i）連接CD，取CD中點O，連接OE，OA1，證明∠A1EO是B1D與A1E所成的角或其補角，設(shè)AB＝AA1＝2，解三角形可得；法（ii）取B1A1的中點D1，連接CD，DD1，建立空間直角坐標系，求出B1D，A1E的方向向量，的坐標，再求出這兩個向量的夾角的余弦值，進而求出異面直線所成的角的余弦值．解：法（i）連接CD，取CD中點O，連接OE，OA1，則OE∥DB1，，所以∠A1EO是B1D與A1E所成的角或其補角，正棱柱ABC﹣A1B1C1中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，設(shè)AB＝AA1＝2，則，所以，，等邊三角形ABC中，CD⊥AB，，，，在等腰△CA1B1中，，，△A1OE中，由余弦定理可得：，所以B1D與A1E所成角的余弦值是．法（ii）取B1A1的中點D1，連接CD，DD1，正三棱柱中，設(shè)AB＝BB1＝4，取以D為坐標原點，CD，DB，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），E（﹣，1，2），A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，4），B1（0，2，4），則＝（﹣，3，﹣2），＝（0，2，4），可得?＝﹣×0+3×2+（﹣2）×4＝﹣2，||＝＝4，||＝＝2，所以cos＜，＞＝＝＝，所以B1D與A1E所成角的余弦值為|cos＜，＞|＝．故選：B．【點評】本題考查中位線的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用或用空間向量的方法求兩條異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題．8．（5分）若過直線3x+4y+12＝0上一點P作圓C：x2+y2﹣2x＝0的兩條切線，切點為A，B，則|PC|?|AB|的最小值是（）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用圓的幾何性質(zhì)，將|PC|?|AB|化為，再求得P，C兩點間距離的最小值，進而求得|PC|?|AB|的最小值．解：圓C：x2+y2﹣2x＝0化為（x﹣1）2+y2＝1，圓的圓心C（1，0），半徑r＝|AC|＝1四邊形PACB中，CB＝2S△PAC，則，整理得|PC|?|AB|＝2|PA|，又，|PC|最小值即為圓心C到直線3x+4y+12＝0的距離，則．故選：D．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)直線l1：x﹣ay+2a＝0，l2：ax+y+a＝0的交點為M（x0，y0），則（）A．l1恒過定點（0，2） B．l1⊥l2 C．的最大值為 D．點（3，﹣2）到直線l1的距離的最大值為5【正確答案】ABD【分析】由直線過定點即可判斷A，由兩直線垂直列出方程即可判斷B，聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標，代入計算即可判斷C，結(jié)合題意可知點（3，﹣2）到直線l1的距離的最大值即為點（3，﹣2）到定點（0，2）的距離，即可判斷D．解：因為直線l1：x﹣ay+2a＝0，即x+（2﹣y）a＝0，令，解得，所以l1恒過定點（0，2），故A正確；因為直線l1：x﹣ay+2a＝0，l2：ax+y+a＝0滿足1×a﹣a×1＝0，所以l1⊥l2，故B正確；聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，直線l1：x﹣ay+2a＝0，l2：ax+y+a＝0的交點為M（x0，y0），則＝，令a2＝t，則t≥0，所以，且f（t）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，當t→+∞時，f（t）→5，所以f（t）＜5，故C錯誤；因為直線l1：x﹣ay+2a＝0，即x+（2﹣y）a＝0，令，解得，所以l1恒過定點（0，2），則點（3，﹣2）到直線l1的距離的最大值即為點（3，﹣2）到定點（0，2）的距離，即，故D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查直線定點、直線垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）10．（6分）直線l的方程為x﹣ysinθ+2＝0，則直線l的傾斜角α的可能取值？（）A． B． C． D．π【正確答案】ABC【分析】按sinθ分類討論，求得直線l的傾斜角α的取值范圍，進而求得直線l的傾斜角α的可能取值．解：當sinθ≠0時，直線l的方程可化為，則直線l的斜率，則k≥1或k≤﹣1，則直線l的傾斜角α的取值范圍為，當sinθ＝0時，直線l的方程為x+2＝0，直線l的傾斜角為，綜上，直線l的傾斜角α的取值范圍為．故直線l的傾斜角α可能取值為，，．故選：ABC．【點評】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P滿足，其中x∈[0，1]，y∈[0，1]，則（）A．存在唯一點P，使得C1P⊥平面B1D1C B．存在唯一點P，使得A1P∥平面B1D1C C．當x+y＝1時，點B1到平面PA1D1的距離的最小值為 D．當時，三棱錐P﹣ACB1的體積的最小值為【正確答案】AC【分析】以D為原點，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間坐標系，由C1P⊥平面B1D1C，利用向量法可得x＝1，y＝0，從而得P（2，0，0）唯一確定，即可判斷A；由A1P∥平面B1D1C，可得x＝y(tǒng)，從而得P不唯一，即可判斷B；找出點P的軌跡，結(jié)合由等體積法判斷C，D．解：以D為原點，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間坐標系，如圖所示：則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），對于A，因為，所以，P（2x，2y，0），所以，又因為，，設(shè)平面B1D1C的法向量為，則，則，所以，取x＝﹣1，則，又因為C1P⊥平面B1D1C，所以，所以x＝1，y＝0，所以P（2，0，0），唯一確定，故正確；對于B，因為，要使A1P∥平面B1D1C，則，所以，所以x＝y(tǒng)，故點P不唯一，故錯誤；對于C，因為x+y＝1，所以A，C，P三點共線，因為，設(shè)點B1到平面PA1D1的距離為d，則有，所以，設(shè)P到A1D1的距離為h，則，當P與C重合時，，所以，故C正確；對于D，因為，所以點P在以D為圓心，為半徑的圓弧上，設(shè)P到AC的距離為h′因為，當點P位于圓弧中點時，．所以，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12．（5分）若實數(shù)x，y滿足方程x+2y﹣5＝0，則的最小值為．【正確答案】．【分析】將轉(zhuǎn)化為，進而求得的最小值．解：方程x+2y﹣5＝0，可得x＝5﹣2y，則＝＝＝≥，當且僅當y＝2時取等號．則的最小值為．故．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．13．（5分）由曲線x2+y2＝|x|+|y|所圍成的圖形面積為2+π．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】通過對x，y的取值討論，去掉絕對值符號，說明曲線的圖形形狀，畫出圖形，即可解答所求問題．解：當x，y≥0時，曲線x2+y2＝|x|+|y|互為x2+y2＝x+y，曲線表示以為圓心，以為半徑的圓，在第一象限的部分；當x≥0，y≤0時，曲線x2+y2＝|x|+|y|互為x2+y2＝x﹣y，曲線表示以為圓心，以為半徑的圓，在第四象限的部分；當x≤0，y≥0時，曲線x2+y2＝|x|+|y|互為x2+y2＝﹣x+y，曲線表示以為圓心，以為半徑的圓，在第二象限的部分；當x≤0，y≤0時，曲線x2+y2＝|x|+|y|互為x2+y2＝﹣x﹣y，曲線表示以為圓心，以為半徑的圓，在第三象限的部分；如圖所求曲線x2+y2＝|x|+|y|所圍成的圖形面積為：＝2+π．故2+π．【點評】本題是中檔題，考查曲線所圍成的圖形面積的求法，注意分類討論思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，考查計算能力．14．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2AD＝4，O為對角線AC1的中點，過點O的直線與長方體表面交于E，F(xiàn)兩點，M為長方體表面上的動點，則的取值范圍是[﹣5，5]．【正確答案】[﹣5，5]．【分析】由，求出MO，EO的最大值和最小值后即可得．解：O為對角線AC1的中點，即為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的中心，由對稱性，O為EF的中點，AA1＝2AD＝4，AB＝AD＝2，，所以，則，則∈[﹣5，5]．故[﹣5，5]．【點評】本題考查向量的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝4，設(shè)AC∩BD＝E．（1）證明：B1E∥平面A1C1D；（2）求平面A1B1E與平面C1B1E夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行．（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求兩個平面所成角的余弦．（1）證明：連接B1D1，設(shè)A1C1∩B1D1＝F，連接FD，則B1F∥ED，且B1F＝ED，∴四邊形B1FDE是平行四邊形，∴B1E∥FD，F(xiàn)D?平面A1C1D，B1E?平面A1C1D，故B1E∥平面A1C1D．（2）解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵AA1＝AD＝2AB＝4，∴D（0，0，0），B1（4，2，4），A1（4，0，4），E（2，1，0），C1（0，2，4），∴．設(shè)平面A1B1E的法向量，則，令z＝1，解得y＝0，x＝﹣2，∴，，，設(shè)平面C1B1E的一個法向量，則，令z1＝1，則y1＝﹣4，x1＝0，∴．設(shè)平面A1B1E與平面C1B1E的夾角為α，∴，故平面A1B1E與平面C1B1E夾角的余弦值為．【點評】本題主要考查線面平行的證明，平面與平面所成角的求法，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．16．（15分）已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5＝0，AC的邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5＝0．（1）求頂點C的坐標；（2）求直線BC的方程．【正確答案】（1）C（4，3）（2）6x﹣5y﹣9＝0【分析】（1）先設(shè)C（m，n），然后結(jié)合C在直線CM上及AC與BH垂直關(guān)系可建立關(guān)于m，n的方程組，進而可求；（2）先設(shè)B（a，b）進而可求AB的中點，由B在BH上及M在在直線CM上可得關(guān)于a，b的方程組，進而可求．解：（1）設(shè)C（m，n），∵AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5＝0．∴，解得m＝4，n＝3，∴C（4，3）．（2）設(shè)B（a，b），則a﹣2b﹣5＝0①，邊AB的中點M，所以2×﹣﹣1＝0，②①②聯(lián)立解得b＝﹣3，a＝﹣1，∴B（﹣1，﹣3）．∴．∴直線BC的方程為，化為6x﹣5y﹣9＝0．【點評】本題主要考查了直線方程的求解，屬于中檔題．17．（15分）已知直線l經(jīng)過直線l1：x﹣2y+3＝0，l2：x+y﹣3＝0的交點P，且A（3，2）、B（﹣1，﹣2）兩點到直線l的距離相等．（1）求直線l的一般式方程；（2）若點A、B在直線l的同側(cè)，且Q為直線l上一個動點，求|AQ|+|BQ|的最小值．【正確答案】（1）x﹣y+1＝0或x﹣1＝0；（2）．【分析】（1）分類討論所求直線與直線AB平行或過AB的中點，結(jié)合直線點斜式方程運算求解；（2）求點A關(guān)于直線l的對稱點為C，結(jié)合幾何性質(zhì)可得|AQ|+|BQ|≥|CB|，即可得結(jié)果．解：（1）已知P為直線l1：x﹣2y+3＝0，l2：x+y﹣3＝0的交點，聯(lián)立，解得，所以P（1，2），又A（3，2）、B（﹣1，﹣2）兩點到直線l的距離相等，①當所求直線與直線AB平行時，直線AB的斜率為，則所求直線的方程為y﹣2＝1?（x﹣1），即x﹣y+1＝0；②當所求直線過AB的中點時，線段AB的中點坐標為（1，0），則所求直線垂直于x軸，故所求直線方程為x＝1，即x﹣1＝0；綜上所述，所求直線方程為x﹣y+1＝0或x﹣1＝0．（2）因為點A、B在直線l的同側(cè)，所以直線l的方程為x﹣y+1＝0，設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為C（x0，y0），則，解得，即點C（1，4），因為，當Q、B、C三點共線時取等號，故|AQ|+|BQ|的最小值為．【點評】本題考查了直線的方程，重點考查了對稱問題及中點坐標公式，屬中檔題．18．（17分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將△ADC折起，點D到達點P的位置，使點P在平面ABC的射影H落在邊AB上．（1）證明：PA⊥BC；（2）求點B到平面PAC的距離；（3）若，求直線AC與平面AMB所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解答；（2）；（3）．【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證BC⊥平面PAB，即可證明PA⊥BC；（2）根據(jù)題意，作BE⊥PC，垂足為E，由線面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAC，即可得到點到面的距離；（3）以點B為坐標原點，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算以及線面角的公式代入計算，即可得到結(jié)果．解：（1）證明：因為點P在平面ABC的射影H落在邊AB上，所以PH⊥平面ABC，又因為BC?平面ABC，所以PH⊥BC，又因為BC⊥AB，且AB?平面PAB，PH?平面PAB，AB∩PH＝H，所以BC⊥平面PAB，又因為PA?平面PAB，所以BC⊥PA．（2）作BE⊥PC，垂足為E，由已知得：PA⊥PC，BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC＝C，所以PA⊥平面PBC，因為PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，又因為BE?平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，BE⊥PC，所以BE⊥平面PAC，即BE即為點B到平面PAC的距離，在直角三角形PBC中，BC＝3，PC＝4，所以，所以點B到平面PAC的距離為．（3）在直角三角形PAB中可得，，則以點B為坐標原點，分別以BC，BA所在直線為x，y軸，以過點B且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，因為，所以＝，從而，所以，設(shè)平面AMB的法向量為，則，，所以，解得x＝0，令，得，，又直線AC的