2024-2025學(xué)年山西省晉城市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省晉城市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．請(qǐng)將全部答案按要求寫(xiě)在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)符合題意的選項(xiàng)．）1．已知集合則（

）A． B．C． D．2．已知向量，且，則的值為（

）A．或4 B． C． D．43．已知等差數(shù)列中，，則公差（

）A．4 B．3 C． D．4．已知等比數(shù)列中，，，則公比（

）A．2 B． C．4 D．5．已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為.若，則（

）A．4 B．8 C．16 D．326．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．4 C． D．8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)你選出正確的選項(xiàng)．注：多選、錯(cuò)選不給分，選不全者得2分．）9．已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的實(shí)部為3 B．的虛部為2C． D．10．已知橢圓.則下列結(jié)論正確的是（

）A．長(zhǎng)軸為6 B．短軸為4C．焦距為 D．離心率為11．在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的傾斜角為的直線與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（

）A． B．C． D．12．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．三棱錐的體積是C．點(diǎn)到平面的距離是D．該正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分．）13．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為．14．從0～9這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)的概率為．15．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.16．橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為.四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．解題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.18．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角的大??；(2)若，，求．19．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．20．某企業(yè)招聘，一共有名應(yīng)聘者參加筆試他們的筆試成績(jī)都在內(nèi)，按照，，…，分組，得到如下頻率分布直方圖：(1)求圖中的值；(2)求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)；（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表）(3)該企業(yè)根據(jù)筆試成績(jī)從高到低進(jìn)行錄取，若計(jì)劃錄取人，估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線定為多少.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和22．已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．1．D【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D2．A【分析】由平行向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得，?故選：A.3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以有．故選：B4．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意.故選：D5．A【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，所以.故選：A6．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意得，解得，，故選：C.7．C【分析】由已知條件利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)出，由此能求出的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，∴，整理得，∴．故選.8．A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出即可求解.【詳解】等差數(shù)列，，，，，則取最大值時(shí)，.故選：A.9．BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于復(fù)數(shù)，所以z的實(shí)部為，虛部為2，所以，.所以AC選項(xiàng)錯(cuò)誤，BD選項(xiàng)正確.故選：BD10．ABD【分析】根據(jù)橢圓方程確定長(zhǎng)短軸、焦距和離心率即可.【詳解】由橢圓方程知：，故長(zhǎng)軸為6，短軸為4，焦距為，離心率為.所以A、B、D對(duì)，C錯(cuò).故選：ABD11．AC【分析】根據(jù)和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合的面積是可得，；由公式，可得，.【詳解】由題意得，設(shè)直線：即，則點(diǎn)到直線的距離是，所以，得，所以，，，所以AC正確，故選：AC.12．AC【分析】A由正方體的性質(zhì)，應(yīng)用線面垂直的判定和性質(zhì)判斷；B由，應(yīng)用棱錐體積公式求體積；C先證面，再將點(diǎn)到平面的距離化為到面的距離判斷；D由正方體外接球、內(nèi)切球半徑與棱長(zhǎng)關(guān)系即可判斷.【詳解】A：由面，面，則，又，而，面，則面，面，所以，對(duì)；

B：由，錯(cuò)；

C：由，面，面，則面，又面即為面，且是上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離，即為到面的距離，由⊥平面，平面，則，又，而，平面，則⊥平面，所以所求距離為，對(duì)；

D：由于正方體外接球半徑為體對(duì)角線的一半，即為，正方體內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，即為1，所以正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是，錯(cuò).故選：AC13．【分析】根據(jù)面積公式直徑運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得的面積為.故答案為.14．##0.5【分析】利用列舉法求解出古典概型的概率.【詳解】，其中個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)的有，共5個(gè)，故這個(gè)數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)的概率為.故15．2【分析】將直線方程代入圓的一般方程，解方程得出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，代入圓的一般方程，得，解得，當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以該弦長(zhǎng)為.故2.16．##【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線共用一對(duì)焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，，再根據(jù)可得勾股定理，結(jié)合化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】設(shè)，在雙曲線中，漸近線為，即，故，，，不妨設(shè)P在第一象限，則由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，因?yàn)椋?，而，代入可得：，?故17．(1)(2)【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)的和公式可對(duì)（1），（2）求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由：，得：，所以：，故：數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)公式：，得：，故：數(shù)列的前項(xiàng)的和.18．(1)或(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解.（2）根據(jù)角的大小，結(jié)合余弦定理，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?（2）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑒t.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算后即可證明；（2）根據(jù)線面角的向量求法即可求解.【詳解】（1）

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）由（1）得，，設(shè)直線與平面所成的角為，則.20．(1)(2)(3)65分【分析】（1）由所有頻率和為1，列方程求出的值，（2）由平均數(shù)公式求解即可，（3）設(shè)分?jǐn)?shù)線定為，根據(jù)頻率分布直方圖可知，列出方程估計(jì)錄取的分線【詳解】（1）由題意得，解得（2）這些應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)為（3）根據(jù)題意，錄取的比例為，設(shè)分?jǐn)?shù)線定為，根據(jù)頻率分布直方圖可知，則，解得，所以估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線定為65分21．(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系和等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）由錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，，即，∴.當(dāng)時(shí)，∵，∴，兩式相減，得，即，∴（），∴由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由第（1）問(wèn)，，∴，①①，得，，②∴①②，得，∴.22．(1)(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程