2024-2025學年上海市普陀區(qū)高二上學期12月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學年上海市普陀區(qū)高二上學期12月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷一、填空題（本大題共12小題）1．雙曲線的實軸長為.2．三棱柱的9條棱中，與AB異面的棱有條.3．若直線平面，直線在平面內(nèi)，則直線與的位置關(guān)系為.4．直線與直線的夾角．5．若正方體的棱長為2，則頂點到平面的距離為.6．有一個面積為20的矩形，其直觀圖的面積為．7．拋物線y2＝4x上一點M到焦點F的距離是10，則點M到y(tǒng)軸的距離是______．8．已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則曲線C的方程為.9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是正三角形，平面平面，則二面角的大小是．

10．如圖，矩形ABCD的長，寬，若平面ABCD，矩形的邊CD上至少有一個點Q，使得，則x的范圍是.11．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓方程，、為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點和點反射后，滿足，，則該橢圓的離心率為．

12．已知正方體的棱長為2，E為棱的中點，F(xiàn)，Q分別是線段上的兩個動點，為正方體表面上一點，若到棱與到棱的距離相等，則的最小值為．二、單選題（本大題共4小題）13．空間四個點中，三點共線是這四個點共面的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件14．已知是兩條不同的直線，是一個平面，以下命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則15．過拋物線的焦點作一條直線交拋物線于、，則為（）A．4 B． C． D．16．如圖，正方體的棱長為1，P為的中點，Q為線段上的動點，過點A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，給出下列四個結(jié)論：①當時，S為四邊形；②當時，S為等腰梯形；③當時，S的面積為；④當時，S與的交點R滿足.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答題（本大題共5小題）17．如圖，長方體中，，，，點P為的中點..(1)求證：直線∥平面PAC；(2)求異面直線PO與AB所成角的大小.18．已知關(guān)于的方程：．(1)當為何值時，方程表示圓；(2)若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．19．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱錐體積為1．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。?0．如圖，在矩形中，，沿對角線將折起，使點移到點，且在平面上的射影恰好在上.(1)求證：面；(2)求點到平面的距離；(3)求直線與平面的成角的大小.21．已知橢圓的左、右焦點分別為、，焦距為，點在上.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，點為橢圓上一點，求周長的最大值；(3)過的右焦點，且斜率不為零的直線交于、兩點，求面積的最大值.

答案1．【正確答案】【詳解】雙曲線的實軸長為.故2．【正確答案】3【詳解】如圖，

與AB異面的棱有，共3條.故3.3．【正確答案】平行或異面【分析】由直線平面，直線在平面內(nèi)，知，或與異面．【詳解】解：直線平面，直線在平面內(nèi)，則直線與平面內(nèi)任意直線無交點，，或與異面.故平行或異面.4．【正確答案】【詳解】解：直線的斜率，直線的斜率設夾角為則故答案為5．【正確答案】【分析】連接交于，連接，先證明平面，再求即可【詳解】連接交于，連接，因為正方體，故，且平面，又平面，故，又平面，，故平面，故頂點到平面的距離為.又正方體的棱長為2，故故6．【正確答案】【詳解】作出矩形及其直觀圖如圖所示，易知，過作于，可得，又矩形面積，故其直觀圖的面積.故答案為.7．【正確答案】9由題可知，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，因為點M到焦點F的距離是10，故點M到準線x＝－1的距離是10，則點M到y(tǒng)軸的距離是9.8．【正確答案】【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由一條漸近線方程為，可得①橢圓的焦點為，可得②由①②可得,即雙曲線的方程為,故答案為.9．【正確答案】【詳解】

過作，垂足為，過作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面，又平面，故，又，，平面，故平面，由平面，故，于是二面角的平面角為，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，在中，，，則，則.故10．【正確答案】【詳解】連接，因為平面，平面，所以，又，且，平面，由線面垂直的判定定理可得平面，且平面，所以，設，則，在直角三角形中，由勾股定理可得，在直角三角形中，，在直角三角形中，，即，化簡可得，其中，即，解得，又，所以，即x的范圍是.故11．【正確答案】/【詳解】由題意，可作圖如下：

則，，即，可設，，，由，則，即，，在中，，則.故答案為.12．【正確答案】【詳解】在正方體中，面，為正方體表面上一點，所以到棱的距離為，又到棱與到棱的距離相等，所以點P在以為焦點以直線為準線的拋物線上，故的最小值為點P到直線的距離與到直線的距離之和，即點P到直線的距離與到棱的距離之和，即，又的最小值即為點到直線的距離，即為的高h，在中，，,所以,即，即的最小值為，故答案為.13．【正確答案】A【詳解】空間四個點中，有三個點共線，根據(jù)“一條直線與直線外一點可以確定一個平面”得到這四個點共面，即充分性成立；反之，當四個點共面時，不一定有三點共線，即必要性不成立，所以空間四個點中，三點共線是這四個點共面的充分不必要條件．故選：A.14．【正確答案】D【詳解】若，，則，或者，故AC錯誤；若，，則，或者與異面，故B錯誤；若，，過作平面，使,則,因為，，所以，因為，所以，故D正確，故選：D.15．【正確答案】B【詳解】當直線的斜率不存在時，直線方程為，由可得兩個交點的坐標分別為，所以，當直線斜率存在時，設直線斜率為，則直線方程為，聯(lián)立，消去可得，則，，綜上可得，，所以.故選：B16．【正確答案】D【詳解】①當時,如圖（1），是四邊形，故①正確；②當時，如圖（2），是等腰梯形，故②正確；③當時，如圖（3），此時截面為菱形，兩條對角線的長分別為所以，③正確.④當時，如下圖，延長至，使，連接交于，連接交于，連接，則，由，可得，所以，故④正確；故選：D17．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）由題意可知：分別為的中點，則∥，且平面PAC，平面PAC，所以直線∥平面PAC.（2）連接，由（1）可知∥，則異面直線PO與AB所成角的大小即為（或其補角），由題意可知：，則，即，可得，所以異面直線PO與AB所成角的大小為.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由圓的一般方程性質(zhì)可知：解得，所以當時，方程表示圓.（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑所以圓心到直線的距離根據(jù)弦長公式可知：解得.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在直角梯形中，，，，，則，則，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，又，所以即為二面角的平面角，由，得，在中，，所以，即二面角的大小為．20．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明∵點在平面上的射影在上，∴平面，平面，∴．又∵，，平面∴平面，又平面，∴．又∵，∴．∵，平面，∴平面．（2）如圖所示，過作，垂足為，連接．∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面．故的長就是點到平面的距離．又平面，又平面，∴．在中，．在中，．在中，由面積關(guān)系，得．∴點到平面的距離是．（3）由（2）知平面，則為在平面的射影，所以是與平面所成的角.在中，.即直線與平面所成