2024−2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024?2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共12小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線，若，則（

）A．或 B． C．或 D．3．已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．4．直線l：與圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能5．圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切6．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．為橢圓：上一點(diǎn)，，則最小值為（

）A．1 B． C． D．8．與橢圓有相同的焦點(diǎn)且與直線l：相切的橢圓方程為（

）A． B． C． D．9．已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，則到直線BC的距離為（

）A． B． C． D．10．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）13．焦點(diǎn)在y軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．14．圓與圓的公共弦長為．15．已知，，若點(diǎn)Px,y在線段上，則的取值范圍是.16．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為6，則直線l的方程是__________．17．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）橢圓C的離心率為．（2）點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為．18．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，M為上的三等分點(diǎn)，且滿足，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍是______．三、解答題（本大題共3小題）19．已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓心在x軸正半軸上，且與直線相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)．①求k的取值范圍；②證明：直線OA與直線OB的斜率之和為定值．20．如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值.21．已知橢圓的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于M，N兩點(diǎn)，①若，求直線的方程；②若點(diǎn)，求的面積的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則有，解得，所以其傾斜角為．故選：A．2．【正確答案】B【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，，直線重合，不滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，直線平行，滿足要求，故選B.3．【正確答案】C【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線垂直，因此，解得，故答案為C.4．【正確答案】A【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，直線l的方程為，圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以，因此兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.7．【正確答案】D【詳解】設(shè)，則，由于，故當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：D8．【正確答案】A【詳解】因?yàn)樗髾E圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，故設(shè)所求橢圓為，聯(lián)立方程組，得，整理，得，因?yàn)橹本€l與橢圓相切，所以解得（舍）或.所以，故選：A.9．【正確答案】A【詳解】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，得所以，，記，則，所以F到直線BC的距離為.故選：A10．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.11．【正確答案】C【詳解】如圖，由橢圓定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡可得，所以的面積為，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得，可得，易知的周長為，利用等面積法可知，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以，離心率.故選：12．【正確答案】D【詳解】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因?yàn)闉榈妊切?，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.13．【正確答案】【詳解】由題意有，解得，又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為.14．【正確答案】【詳解】圓與圓，兩圓方程相減可得，，即為公共弦所在的直線方程，圓，則圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故公共弦長為．故．15．【正確答案】【詳解】的幾何意義是點(diǎn)Px,y與點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)Px,y在線段上，由圖知，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以，故16．【正確答案】或【分析】由弦長求得圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求直線的方程.【詳解】由題可知圓心，半徑，弦長，設(shè)弦心距是d，則，解得，若l斜率不存在，直線是，符合題意，若l斜率存在，設(shè)直線方程，即，則，解得，直線l的方程為，即，綜上，所求直線方程為或．故或．17．【正確答案】/0.5【詳解】設(shè)橢圓C的長軸長為2a(a>0),則由F1發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F1，經(jīng)過的路程為，從而；如圖示：延長,交于點(diǎn)F0.在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,則且H為中點(diǎn).在△中,則,∴,所以橢圓方程為.故；.18．【正確答案】設(shè)，根據(jù)，求出點(diǎn)，再由可得，代入橢圓方程可得，使方程在上有解，利用零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】設(shè)，，則，，，，，，，，，，又，，，存在，存在，，顯然恒成立，又，在上有解，令，對(duì)稱軸，且不在上，，，解得，即故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，考查了計(jì)算能力.19．【正確答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具體見解析.【分析】（1）設(shè)出圓心，進(jìn)而根據(jù)題意得到半徑，然后根據(jù)圓與直線相切求出圓心，最后得到答案；（2）（ⅰ）聯(lián)立直線方程和圓的方程并化簡，根據(jù)判別式大于零即可得到答案；（ⅱ）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而通過根與系數(shù)的關(guān)系與坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡，即可得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心為，因?yàn)閳AC過原點(diǎn)，所以半徑r=a，又圓C與直線相切，所以圓心C到直線的距離（負(fù)值舍去），所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（?。⒅本€l代入圓的方程可得：，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，即k的取值范圍是.（ⅱ）設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系：，所以.即直線OA,OB斜率之和為定值.20．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3).【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可；（3）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【詳解】（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則.又，可得，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離.易知，則點(diǎn)A到平面的距離為.（3）易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則.故平面與平面的夾角的余弦值為.21．【正確答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）由題可得：，解得：，所以橢圓的方程為：；