2024-2025學年浙江省金華市高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年浙江省金華市高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題一、單項選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切2．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．3．正方體分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．4．直線：在橢圓上截得的弦長是（

）A． B． C． D．5．點是圓上的動點，直線是動直線，則點到直線的距離的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．76．已知數(shù)列是公差不為0的無窮等差數(shù)列，是其前項和，若存在最大值，則（

）A．在中最大的數(shù)是B．在中最大的數(shù)是C．在中最大的數(shù)是D．在中最大的數(shù)是7．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A． B． C． D．8．已知是圓的一條弦，且，是的中點，當弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9．已知直線的方向向量是，兩個平面的法向量分別是，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知點橢圓上一點，橢圓的焦點是，則下列說法中正確的是（

）A．橢圓的長軸長是9 B．橢圓焦距是C．存在使得 D．三角形的面積的最大值是11．已知兩點，點是直線：上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在使最小 B．存在使最小C．存在使最小 D．存在使最小12．已知曲線，則（

）A．曲線上兩點間距離的最大值為B．若點在曲線內(nèi)部（不含邊界），則C．若曲線與直線有公共點，則D．若曲線與圓有公共點，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數(shù)列的前n項和，則通項公式=．14．已知數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，且其前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則．15．正四面體的所有棱長都是2，分別是，的中點，則.16．如圖，三角形中，，，為中點，為上的動點，將沿翻折到位置，使點在平面上的射影落在線段上，則當變化時，二面角的余弦值的最小值是.

四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知直線和直線的交點為.(1)求過點且與直線平行的直線的方程；(2)求線段（為原點）的垂直平分線的方程.18．已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.(1)求圓的方程；(2)直線：與圓交于兩點，且，求實數(shù)的值.19．如圖，已知四棱錐中，平面，，，，為中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．正項數(shù)列中，，對任意都有．(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)設，試問是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請說明理由．21．如圖，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，，，點分別是線段，的中點，二面角為直二面角.

(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.22．已知橢圓經(jīng)過點，焦距為是橢圓上不在坐標軸上的兩點，且關(guān)于坐標原點對稱，設點，直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點．(1)求橢圓的標準方程；(2)記直線與的斜率分別為，求證：為定值．1．B【分析】根據(jù)圓的方程確定出兩圓的圓心距和半徑的關(guān)系，由此確定出兩圓的位置關(guān)系.【詳解】因為，兩圓的半徑分別為，所以，所以相交，故選：B.2．C【分析】利用空間向量共面的結(jié)論，對各選項逐一判斷即可得解.【詳解】對于A，，所以共面，故A錯誤；對于B，，所以共面，故B錯誤；對于C，假設共面，則存在，使得，則共面，這與可構(gòu)成空間的一個基底矛盾，所以不共面，故C正確；對于D，，所以共面，故D錯誤.故選：C.3．B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】設正方體棱長為2，以的原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B4．D【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理以及弦長公式可求解出結(jié)果.【詳解】設與橢圓交于，聯(lián)立可得，且，，所以，故選：D.5．C【分析】先求解出直線所過的定點坐標，然后將問題轉(zhuǎn)化為圓上點到圓外定點距離的最大值，最后根據(jù)圓心到定點的距離結(jié)合圓的半徑求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，令，所以，所以過定點，又因為，所以在圓外，因為點到直線的距離的最大值即為到的距離，又因為點是圓上的動點，所以，所以點到直線的距離的最大值為，故選：C.6．A【分析】根據(jù)題意，由條件可得，由是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即可判斷AB，由可得在中最大的數(shù)是不確定的，即可判斷CD.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，由存在最大值可知，，因為，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且，則是遞減數(shù)列，所以在中最大的數(shù)是，故A正確，B錯誤；在中最大的數(shù)是不確定的，比如，由，可得，所以，即為最大值，故CD錯誤；故選：A7．D【詳解】分析：設，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.8．C【分析】根據(jù)題意，求得點的軌跡方程為，結(jié)合得到為直徑的圓要包含圓，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由圓，可得，所以圓的圓心為，半徑為，因為，且是的中點，所以，所以點的軌跡方程為,可其圓心為，半徑為，若直線上存在兩點，使得恒成立，則以為直徑的圓要包含圓，又由圓心到直線的距離為，所以的長度的最小值為.故選：C.

9．AD【分析】利用空間向量判斷直線、平面間的位置關(guān)系.【詳解】若，則，故A正確；若，則或在內(nèi)，故B錯；若，則，故C錯；若，則，故D正確.故選：AD.10．BCD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)逐個判斷即可.【詳解】，所以，對于A：因為，所以長軸為，A錯誤；對于B：因為，所以焦距為，B正確；對于C：當取到上頂點時此時取到最大值，此時，，所以，所以此時為鈍角，所以存在使得，C正確；對于D：當取到上頂點時此時三角形的面積取到最大值，此時，D正確，故選：BCD11．ABD【分析】A：先求關(guān)于的對稱點，根據(jù)與的交點坐標即可判斷；B：設出點坐標，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出取最小值時點坐標；C：結(jié)合圖示進行分析判斷；D：根據(jù)絕對值的特點先判斷出取最小值時點的位置，然后聯(lián)立對應直線方程求解出點坐標.【詳解】對于A：設點關(guān)于直線的對稱點為，所以，所以，所以，所以，當且僅當為與交點時滿足題意，又因為，即，所以，所以，所以，故A正確；對于B：設，所以，所以，當且僅當時有最小值，此時，所以，故B正確；對于C：如下圖，根據(jù)與的位置關(guān)系可判斷出有最大值，無最小值，故C錯誤；

對于D：因為，取等號時，即為垂直平分線與的交點，因為垂直平分線方程為，即，所以，所以，所以，故D正確；故選：ABD.12．BC【分析】A：作出的圖象，結(jié)合圖象分析任意兩點距離的最大值；B：根據(jù)直線與的交點坐標進行判斷；C：根據(jù)直線與相切時的取值進行判斷；D：分析臨界情況：經(jīng)過與坐標軸的交點、與在四個象限相切，由此求解出的范圍.【詳解】當時，，圓心；當時，，圓心；當時，，圓心；當時，，圓心；當時，；當時，作出在平面直角坐標系下的圖象如下圖：對于A：上任意兩點距離的最大值為，故A錯誤；對于B：因為在直線上，所以，所以或，若點在曲線內(nèi)部（不含邊界），則有，故B正確；對于C：當直線與相切時，如下圖所示：

若與在第二象限相切時，則到的距離等于圓的半徑，所以，所以或（舍），若與在第四象限相切時，則到的距離等于圓的半徑，所以，所以或（舍），結(jié)合圖象可知曲線與直線有公共點時有，故C正確；對于D：如下圖所示：

因為與坐標軸的交點坐標為，所以當剛好經(jīng)過與坐標軸的交點時，此時，當剛好與在四個象限都相切時，，所以曲線與圓有公共點時，故D錯誤；故選：BC.關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的綜合運用，難度較大.數(shù)形結(jié)合是處理本題的高效方法，通過在圖象上對臨界位置的分析，得到直線與相切以及圓與相切時參數(shù)的取值.13．【分析】根據(jù)，可求出首項，繼而利用時，，求出的表達式，驗證后即可確定答案.【詳解】因為數(shù)列的前n項和，故當時，，當時，，由于不適合該式，故，故14．2823##【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項和公式，結(jié)合已知條件推出，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，＝，則,故15．##【分析】以向量為空間向量的基底，求出，再利用空間向量的數(shù)量積運算即得.【詳解】正四面體的所有棱長都是2，分別是，的中點，則，，因此.故16．##.【分析】作出圖示，根據(jù)位置關(guān)系分析出二面角的平面角為，然后根據(jù)三點共線將問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺讼抵械淖鴺藛栴}，通過計算對應縱坐標的比值結(jié)合基本不等式求解出二面余弦值的最小值.【詳解】過點作交于點，連接，如下圖所示：因為在平面內(nèi)的射影為點，所以平面，所以，又因為，，所以平面，所以，所以二面角的平面角為，且，又因為，所以，易知三點共線，且，則，在平面中建立平面直角坐標系如下圖所示：設，因為在平面內(nèi)的射影為點，所以可知，又，所以，，所以，，所以，所以，設，所以，當且僅當，即，即時取等號，所以，故關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何法求解二面角的余弦值，解答問題的關(guān)鍵在于將空間中線段長度比值轉(zhuǎn)化為平面中坐標的比值，通過利用基本不等式求解出對應最值，難度較大.17．(1)(2)【分析】（1）先求解出交點的坐標，然后設出，代入點的坐標求解出參數(shù)，則結(jié)果可知；（2）先確定出以及中點坐標，則的垂直平分線方程可求.【詳解】（1）因為，所以，所以，設，代入，所以，所以，所以.（2）因為且中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，即為.18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓心坐標，再求出圓的半徑即得.（2）由給定弦長，結(jié)合圓的弦長公式求出弦心距，再利用點到直線距離公式計算即得.【詳解】（1）圓過點，，則點在線段的中垂線上，由，得點，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）直線被圓所截弦長，則點到直線的距離，因此，解得所以實數(shù)的值為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)得到直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，根據(jù)線面角的定義得到為直線與平面所成角，然后求正弦值即可.【詳解】（1）

取中點，連接，因為分別為的中點，所以，，因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，，因為平面，平面，所以∥平面.（2）過點作于點，連接，因為，所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，，，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)，(2)存在，或或【分析】（1）利用平方差公式得到，從而判斷得是等差數(shù)列，從而利用公式法即可得解；（2）假設存在，利用中等中項公式即可得解.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，又，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．所以的通項公式為，前項和.（2）存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，由（1）得，假設存在正整數(shù)，傳得成等差數(shù)列，則，即，當時，得，顯然不成立，所以，得，為整數(shù)，，故，即，對應的，所以存在滿足要求的，或或.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線和菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)二面角為直二面角和得到，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用空間向量的方法求二面角余弦值的范圍即可.【詳解】（1）連接，因為分別為中點，三角形為等邊三角形，所以，，因為為三棱柱，，所以四邊形為菱形，，則，因為二面角為直二面角，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面.

（2）連接，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，因為為中點，所以，因為平面，所以，所以兩兩垂直，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，設，，則，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，因為平面，所以可以作為平面的一個法向量，設銳二面角為，則，因為，所以，，，所以銳二面角的余弦值得范圍為.22．(1)(2)，證明見詳解【分析】（1）由點在橢圓上和橢圓的定義求出橢圓方程；（2）分別設出直線，的方程點斜式，直曲聯(lián)立表達出交點的坐標，再用的坐標表達出斜率，最后求斜率之比即可.【詳解】（1）因為焦距為，所以，因為橢圓經(jīng)過點所以，又因為聯(lián)立以上可得所以