福建省寧德市2024-2025學年高二上學期第三次階段測試數(shù)學檢測試題（含解析）

福建省寧德市2024-2025學年高二上學期第三次階段測試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點O0,0，點滿足，則點到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．2．若雙曲線的實軸長為4，焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．3．若點是橢圓上任意一點，分別是的左、右焦點，則（）A． B．2 C． D．44．已知直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線的方程為（

）A．B．C．或D．或5．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則為（

）A． B． C． D．?26．10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．7．如果一個三位正整數(shù)“”滿足且，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120，343，275），當中間數(shù)為3或4時，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為（）A．18 B．15 C．16 D．218．已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中錯誤的是（

）A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數(shù) B．任何直線都存在斜率和傾斜角C．直線的一般式方程為 D．任何一條直線至少要經(jīng)過兩個象限10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種11．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若，則為雙曲線C．若為橢圓，則其長軸長一定大于2D．曲線不能表示圓三、填空題（本大題共3小題）12．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為．13．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音階，排成一個沒有重復音階的五音音序，且商、角、徵不全相鄰，則可排成的不同音序有種.（用數(shù)字作答）14．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點，分別為線段（不含端點）和上的動點，滿足，直線，的交點為，已知點的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.四、解答題（本大題共5小題）15．已知兩條直線:和(1)若，求實數(shù)a的值;(2)若，求與之間的距離.16．根據(jù)下列條件求雙曲線的標準方程：(1)過點（2，0），與雙曲線1的離心率相等；(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2）．17．已知等比數(shù)列的前項和為，且．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和．18．要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時入選；(5)男生甲、女生乙至少有一個人入選．19．已知為坐標原點，是拋物線上與點不重合的任意一點．(1)設拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準線于兩點，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．

答案1．【正確答案】B【詳解】

如圖，因點滿足，則點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，又直線經(jīng)過定點，由圖知，要使點到直線的距離最大，只需使圓心到直線的距離最大，即當且僅當軸時，點到直線的距離最大，為.（理由：如圖，過點另作一條直線，過點作于點，在中顯然有，故當且僅當軸時，點到直線的距離最大）.故選：B.2．【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，即可得，且，即；因此可得，可得；再由漸近線方程可得該雙曲線的漸近線方程為.故選：B3．【正確答案】D【詳解】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．4．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論:①直線過原點，設直線方程為，又由直線經(jīng)過點，所以，解得，此時直線的方程為，即；②直線不過原點，設其方程為，又由直線經(jīng)過點，則有，解可得，此時直線的方程為，故直線的方程為或.故選：D.5．【正確答案】A【詳解】因為是等差數(shù)列，設公差為，所以，所以,又因為是等比數(shù)列，設公比為,所以，所以，則.故選：A.6．【正確答案】D【詳解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，對其全排列，共有種不同的站法，然后我們把他們捆綁為一個整體，再對這個整體和其他個人全排列，共有種不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法種數(shù)為，故D正確.故選：D7．【正確答案】A【詳解】當中間數(shù)為3時，有（個）；當中間數(shù)為4時，有（個）．故共有（個）．故選：A8．【正確答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.9．【正確答案】BCD【詳解】對于A，直線的傾斜角，則其斜率，A正確；對于B，傾斜角為的直線不存在斜率，B錯誤；對于C，直線的一般式方程為，，C錯誤；對于D，當直線與軸或軸重合時，該直線不經(jīng)過任何象限，D錯誤.故選：BCD10．【正確答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類求解判斷；對于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過除序法求解判斷.【詳解】對于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；對于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計不同的排法共有42種，B正確；對于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C錯誤；對于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.故選ABD.11．【正確答案】BC【分析】A，B項，求出的范圍，即可判斷曲線的形狀；C項，求出為橢圓時的范圍，分類討論即可得出其長軸長的范圍；D項，通過A選項即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在曲線中，A項，當時，，但當即時，曲線為圓，故A錯誤；B項，當時，，為雙曲線，故B正確；C項，若為橢圓，由A選項知，，當時，，即長軸為，當時，，即長軸為，故C正確；D項，由A知當時，曲線為圓，故D錯誤.故選：BC.12．【正確答案】【詳解】圓的圓心為，與直線垂直的直線的斜率為1，所以所求直線為，即．故答案為.13．【正確答案】84【分析】由捆綁法、間接法即可求解.【詳解】這五個音階的全排列數(shù)為，若商、角、徵全相鄰，則由捆綁法可知，共有種排法，故由間接法可知，滿足題意的排法數(shù)有種.故84.14．【正確答案】【分析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，求出直線，的方程，聯(lián)立兩方程解出點的坐標，進而可得點所在雙曲線方程，由離心率公式計算即可得答案.【詳解】解：以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系：設，則，則有，，，，，，，設，所以，，又因為，所以，所以或，又因為，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因為，，，,即有，，所以點所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故思路點睛：橢圓或雙曲線中，要求離心率的值，就要求出的值(或數(shù)量關(guān)系或關(guān)于的一個二次方程).15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，，解得.此時，，有，故；（2）由可得，解得，.此時，，有，故.16．【正確答案】(1)1(2)1【詳解】（1）過點（2，0），可知所求雙曲線的焦點在x軸上，且a＝2，因為所求雙曲線與雙曲線1的離心率相等；所以e，解得c，所以b1，所以雙曲線方程為1．（2）與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2），則可設所求雙曲線的方程為k（），把點M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2．所以所求雙曲線的標準方程為1．17．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令

①則

②得即所以.18．【正確答案】(1)771(2)546(3)120(4)672(5)540【詳解】（1）至少有1名女生入選，選從12任選5名，再排除全是男生種數(shù)，故至少有1名女生入選.則種.（2）至多有2名女生入選，分為沒有女生種，1名女生種，2名女生種，根據(jù)分類計數(shù)原理得21+175+350=546種.（3）男生甲和女生乙入選，在剩下的10人中選出的3人，種.（4）男生甲和女生乙不能同時入選，有種.（5）男生甲、女生乙至少有一個人入選,則種.19．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)求出，點到準線的距離，利用求出可得答案；(2)方法一，對兩邊平方得，設，設直線的方程為，結(jié)合拋物線方程得，再由可得答案；方法二，對兩邊平方得，設，設直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合可得答案.【詳解】(1)準線為到的距離是．由對稱性知，是等腰