《集合》知識要點整合

高中數(shù)學精選資源3/3《第一章集合》章末復習知識網(wǎng)絡建構知識要點整合一、集合的概念與表示1.集合的定義：一般地，我們把指定的某些對象的全體稱為集合.集合中的每個對象叫作這個集合的元素.元素的主要特征：確定性、互異性、無序性.2.常用集合的表示：3.集合常用的表示方法：自然語言、列舉法、描述法.自然語言的特點是富有表現(xiàn)力，是最基本的語言形式，但是具有多義性，有時難于表達，適用范圍非常廣泛；列舉法的特點是直觀、明了，但有局限性，適用于元素個數(shù)較少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特點，適用于所含有元素較多的有限集或無限集.4.集合的分類：有限集、無限集、空集例1若集合中只有一個元素，則實數(shù)a的值是（）A.0B.0或1C.1D.不能確定解析集合A中只有一個元素，有兩種情況：當時，由，解得，此時，滿足題意；當時，，此時，滿足題意.故集合A中只有一個元素時，a的值是0或1.答案B例2設為實數(shù)，，.記集合，.若分別為集合S,T的元素個數(shù)，則下列結論不可能正確的是（）A.且B.且C.且D.且解析當時，，.若，則；若，則；若，則.當時，，.若|，則；若，則|，若，則.故只有D不可能正確.答案D二、集合間的基本關系子集：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都屬于集合B，即若，則，那么稱集合A是集合B的子集.任何一個集合都是它本身的子集空集是任何集合的子集.集合相等：對于兩個集合A與B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么稱集合A與集合B相等.真子集：對于兩個集合A與B，如果，且，那么稱集合A是集合B的真子集.空集：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解.端點值：已知兩集合間的關系求參數(shù)的取值范圍時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的條件，常用數(shù)軸解決此類問題.例3（1）集合，，則下列關系正確的是（）A.B.C.D.（2）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.解析（1），即A中的元素；而，即B中的元素，.（2）在數(shù)軸上標出A,B兩集合如圖所示，結合數(shù)軸知，若，則.答案（1）B（2）C例4若集合，集合，則A與B間的關系是（）A.B.C.D.解析因為整數(shù)包括奇數(shù)與偶數(shù)，所以或.當時，；當時，，故.答案D例5已知全集，.（1）求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.解析（1）求出集合A，根據(jù)全集為R，即可求出A的補集；（2）根據(jù)，可得，解出m的取值范圍即可.答案（1）因為，又全集，所以.（2）因為，且，所以，所以，即實數(shù)m的取值范圍是.三、集合的基本運算集合的運算主要包括交集、并集和補集運算，這也是高考對集合部分的主要考查點有些題目比較簡單，直接根據(jù)集合運算的定義可得答案；有些題目與解不等式或方程相結合，需要先正確求解不等式，再進行集合運算；還有的集合問題比較抽象，解題時需借助Venn圖進行數(shù)形分析或利用數(shù)軸等，采用數(shù)形結合思想方法，可使問題直觀化、形象化，進而能使問題簡捷、準確地獲解.例6（1）已知集合，，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.（2）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3（3）已知集合，，且，則a的取值范圍是（）A.B.C.D.解析（1）因為，，所以，.（2）聯(lián)立解得或因此中的元素個數(shù)為2.（3），.，由數(shù)軸知（如圖所示）.答案（1）A（2）C（3）A例7（1）已知集合,，則的子集的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3（2）設集合，，則_____.解析（1）由題意得，集合的子集的個數(shù)為2.（2）集合，，又，.答案（1）C（2）四、必要條件與充分條件的判定1.定義法：直接判斷“若，則q”“若q，則p”的真假.2.等價法：對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法進行判斷.3.利用集合間的包含關系判斷：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若，則A是B的充要條件.例8（1）設，則“或”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（2）設，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（3）已知命題p：，q:，若p是q的充要條件，則_____.解析（1）由或，此時得不出，但當時，不等式或恒成立.（2）因為且.易證，所以充分性滿足，反之，不成立，如，滿足，但不滿足且，所以且是的充分不必要條件.（3）由題意得p：，q:，因為p是q的充要條件，所以，即.答案（1）B（2）A（3）例9已知，，其中均為實數(shù).證明：對于任意的，均有成立的充要條件是.解析要從充分性和必要性兩個方面進行證明，充分性是由，證明對于任意的，均有；必要性是由對于任意的，均有成立，證明.答案因為，所以函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，且，當時，.先證必要性：對于任意的，均有，即，所以.再證充分性：因為，當時，y的最大值為.所以對于任意，，即.即充分性成立.五、全稱量詞命題與存在量詞命題1.在給定集合中，斷言所有元素都具有同一種性質的命題叫作全稱量詞命題.在給定集合中，斷言某些元素具有一種性質的命題叫作存在量詞命題.2.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.3.“一般命題的否定”與“含有一個量詞的命題的否定”的區(qū)別與聯(lián)系：（1）一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定結論的同時，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞.（2）與一般命題的否定相同，含有一個量詞的命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定.例10（1）下列命題不是全稱量詞命題的是（）A.任何一個實數(shù)乘以零都等于零B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.高一（1）班絕大多數(shù)同學是團員D.每一個實數(shù)都有大?。?）命題p:“”，則（）A.p是假命題；命題p的否定是：B.p是假命題；命題p的否定是：C.p是真命題；命題p的否定是：D.p是真命題；命題p的否定是：解析（1）A中命題可改寫為：任意一個實數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一（1）班存在部分同學是團員，故C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個實數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題.（2）由于不成立，故“”為假命題.根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“”的否定是“”.答案（1）C（2）B例11（1）下列命題不是存在量詞命題的是（）A.有些實數(shù)沒有平方根B.能被5整除的數(shù)也能被2整除C．在實數(shù)范圍內，有些一元二次方程無解D.有一個m使與異號（2）命題“能被7整除的數(shù)是奇數(shù)”的否定是_____.解析（1）選項中都含有存在量詞，故皆為存在量詞命題，選項B中不含存在量詞，故不是存在量詞命題.（2）原命題即為“所有能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)”，是全稱量詞命題，故該命題的否定是“存在一個能被7整除的數(shù)不是奇數(shù)”.答案（1）B（2）存在一個能被7整除的數(shù)不是奇數(shù)六、不等式的性質及應用1.利用不等式的性質判斷命題的真假，從條件入手利用性質看能否推出結論，一定要注意不等式性質成立的條件；對于假命題，只需舉出一個反例即可.2.利用不等式的性質來確定某個代數(shù)式的取值范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題要注意：“同向不等式的兩邊才可以相加”，這種轉化不是等價變形，當在解題過程中多次使用這種轉化時，就有可能擴大真實的取值范圍，解題時務必小心、謹慎，應先建立待求范圍與已知范圍的等量關系，最后通過不等關系的性質運算求得待求式子的取值范圍.例12如果滿足且，則下列選項中不一定成立的是（）A.B.C.D.解析，，.對于A：，A正確.對于B：，B正確.對于C:，C錯，即C不一定成立.對于D:，D正確.答案C例13（1）若且，則下列不等式中正確的是（）A.B.C.D.（2）若，，則的取值范圍為_____.解析（1）由及知.又，.（2）.又，.答案（1）A（2）七、基本不等式及應用1.利用基本不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正”“二定”“三相等”“一正”，即所求最值的各項必須都是正值；“二定”，即含變量的各項的和或積必須是常數(shù)；“三相等”，即必須具備不等式中等號成立的條件，才能取得最大值或最小值利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知條件和欲求式子，運用“拆項、添項、配湊、變形”等方法創(chuàng)設使用基本不等式的條件，具體可歸納為：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號方向；二不定，應湊出定和或定積；三不等，一般需用其他方法多次使用基本不等式求最值時，要注意等號能否成立.2.利用基本不等式證明不等式應注意，累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；對不能直接使用基本不等式的證明問題可重新組合，使題干轉化成基本不等式的形式，再使用有附加條件的不等式的證明，應注意觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系.例14已知函數(shù)，當時，y取得最小值b，則_____.解析，因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立，此時，所以.答案3例15某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同的速度v行駛，單位：m/s）、平均車長l（單位：m）的值有關，其公式為.（1）如果限定車型，，則最大車流量為_____輛/小時;（2）如果限定車型，，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加_____輛/小時.解析（1），則.由基本不等式得（當且僅當時，等號成立），得（輛/小時）.（2），則·由基本不等式（當且僅當時，取號），得（輛/小時），比（1）中的最大車流量增加（輛/小時）.答案（1）1900（2）100八、一元二次不等式及其應用只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式與其對應的函數(shù)、方程之間存在著密切的聯(lián)系，即給出了一元二次不等式的解集，則可知不等式中二次項系數(shù)的符號和對應一元二次方程的根在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉化；要注意一元二次不等式的解集與二次項系數(shù)的聯(lián)系解有關不等式的應用問題，關鍵是弄清題目中錯綜復雜的關系，將題目中的不等關系用不等式表示出來，進而轉化為數(shù)學問題.例16解關于x的不等式.解析解含參數(shù)的一元二次不等式，需按參數(shù)分類討論.答案方程的解為,函數(shù)的圖象開口向上，則當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式