高三年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)真題分類匯編（新高考）專題14圓錐曲線經(jīng)典小題（十二大題型）

專題14圓錐曲線經(jīng)典小題

題型01求圓錐曲線的方程

I.（2022秋?河南洛陽(yáng)?高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中）己知拋物線C:/=2px5>0）的焦點(diǎn)

為尸，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)M是拋物線C上一點(diǎn)，MHJJ于H,若川=4,NHFN=60。，則拋物線C的方

程為.

【答案】y=4x

【分析】根據(jù)題意，得到|ME|=|M〃|=4,推出尸為正三角形，求出=記準(zhǔn)線/與x軸

交于點(diǎn)。，根據(jù)P=|。尸|=|"日sin/?！?即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

所以月=阿川=4,又NHFM=6（f,

所以尸為正三角形，所以口|=4,

記準(zhǔn)線，與x軸交于點(diǎn)。，則N0"F=3O。，

所以P=|。尸=||冏sinZ.QHF=4sin300=2*

所以該拋物線方程為：y2=4x.

故答窠為：/=4x.

2.（2022秋?遼寧?高三校聯(lián)考期中）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心

率為g,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

222222

Axy.nxy,xy.

A.—+—=1B.—+—=1C.——+—=1D，

362436203626

【答案】D

【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心率為!，由2〃=12,￡=：求解.

3a3

【詳解】由題意知，2a=12,-=1,

a3

所以a=6,c=2,

所以6=/—c?=32,

又焦點(diǎn)在x軸上,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1.

3632

故選：D.

3.（山東省濰坊市臨胞縣第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）雙曲線=1過點(diǎn)

（Tb2

（72,^）,且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2222

A.x-^-=}B.—-v=1C.^--x=1D.v--=1

3333

【答案】A

【詳解】根據(jù)離心率可得c=2a,再由/=°2一可得曲線方程為《一工=[,然后將點(diǎn)代入即可

a34r

求解.

【解答】解：雙曲線離心率e=￡=2,故c=2a,b=6a,

a

將點(diǎn)（夜,6）代入雙曲線方程可得，4-A=4=i,

a3a*a'

故a=\,b=6,雙曲線的方程為工2一彳_=1,

故選：A.

4.（2022秋?山東日照?高三統(tǒng)考期中）已知拋物線/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)尸且

斜率為萬(wàn)的直線交拋物線于點(diǎn)〃（“在第一象限），MV垂足為N,直線可/交V軸于點(diǎn)。，

若|也|=26,則拋物線的方程是（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

【答案】C

【解析】畫出圖形，利用拋物線定義可判斷三角形MW是正三角形，結(jié)合已知條件求出MN,結(jié)

合產(chǎn)在MN上的射影是MN是中點(diǎn)，然后求解拋物線方程.

【詳解】由題意如圖，過點(diǎn)尸且斜率為⑺的直線交拋物線于點(diǎn)時(shí)也在第一象限），

可知，NNMF=60。,

MN工I,垂足為N,直線N/交V軸于點(diǎn)。，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,

所以的=對(duì)/,則三角形是正三角形，

因?yàn)?。?產(chǎn)的中點(diǎn)，ANHOD,所以。是NF的中點(diǎn)，

所以MZ51N/，Z.DMF=30°,

|也|=2百，所以|M/|=當(dāng)1=4,則|次|=4,

cos30°

由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中點(diǎn),

所以""=NN=2,則F(l,O).

可得P=2,

所以拋物線方程為：/=4x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)

到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：3)將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)

將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.

5.(湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中)以橢圓《+片=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢

34

圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是()

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的4,b,C,再

求雙由線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】???橢圓的方程為《+片=1,

34

???橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(0,-2),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(0-1),

:.雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且4=1,c=2,

:.從=3,

???雙曲線方程為/一1=1,

故選：B.

6.(福建省泉州市晉江二中、鵬峰中學(xué)、廣海中學(xué)、泉港五中2023屆高三上學(xué)期10月期中)過原

點(diǎn)的直線/與雙曲線C:5?-，=1(凡/>>0)的左、右兩支分別交于N兩點(diǎn)，尸(2,0)為。的右焦

點(diǎn)，若麗.麗=0,且|兩|+|麗|=2氐則雙曲線C的方程為.

【答案】--/=1

【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為G，連接￡N,則1MM=|歷|=4,|砌麗(二16,解得

|可7H麗卜2百，得到〃=石，b=l,得到答案.

【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為耳，連接F、N,

麗?麗=0，則麗1麗，四邊形Mfg為矩形，|MN|=|"；|=4.

故網(wǎng)2+網(wǎng)2=16,西+網(wǎng)=2石，則回H麗卜2百，

麗-師卜網(wǎng)-網(wǎng)=2"2百，故°=6b=\.

雙曲線C的方程為[-產(chǎn)=]

故答案為：—=1

3

|題型02|根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行求參數(shù)范圍

7.（2022秋,山東淄博?高三統(tǒng)考期中）“（1嗚2*+（1（^2）。=1表示焦點(diǎn)在產(chǎn)軸上的橢圓，，的一個(gè)

充分不必要條件是（）

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.\<b<a

【答案】C

【分析】由已知條件求得db之間的關(guān)系和范圍，再根據(jù)充分不必要條件的判定，可得選項(xiàng).

Ioga2>0a>\

【詳解】若（1。&2）/+（10gz,2）產(chǎn)=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則需/。&2>0,即">1,所

loga2>log?2[a<h

以1<o<b,

所以“（log,,2）x2+（lo&2）y2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是2<a<b,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查方程表示橢圓的條件，以及命題的充分不必要條件的判定，屬于中檔題.

8.（2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中）已知方程上一+上=1表示焦點(diǎn)在工軸的雙曲線，則加的

6+2nim+2

取值范圍是（）

A.-2<w<-1B.-3<m<-2C.\<m<2D.2<m<3

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)，即可列出不等式，從而求得參數(shù)范圍.

【詳解】因?yàn)榉匠潭∝?上-=1表示焦點(diǎn)在不軸的雙曲線，

6+2min+2

故可得6+2m>0,/〃+2<0,

解得-3（6<一2.

故選：R

【點(diǎn)睛】本題考查由方程表示雙曲線求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.

22

9.（海南華僑中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）（多選）已知方程上―+上-=1,貝I」（）

16-7W9+

A.mw（-9,16）時(shí)，方程表示橢圓B.6=0時(shí)，所表示的曲線離心率為近

4

C.〃?e（16,+oo）時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D.機(jī)=-11時(shí)，所表示曲線的漸近線

方程為y=

【答案】BC

【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)計(jì)算可得；

r22

【詳解】解：因?yàn)閊^+2v一=1,

16-zw9+加

\6-rn>0

77

對(duì)于A：若方程表示橢圓，所以9+m>0,解得-或故A錯(cuò)誤；

16一加工9+〃？

對(duì)于B：若〃?=0,則《+片=1,所以/=16、從=9,所以。2=/-從=7,所以離心率e=￡=且，

169a4

故B正確；

9+加>0

對(duì)于C：若方程表示焦點(diǎn)在），軸上的雙曲線，則16-川<0，解得小>16,故成?。6,+8）時(shí)，方程

表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，即C正確；

對(duì)于D：若吁-11,則曲線方程為捺—=1,則漸近線方程為一回，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

10.（湖北省宜昌市協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）已知曲線C的方程為

上+工=1（keR）,則下列結(jié)論正確的是（）

k-26-k'）

A.當(dāng)仁4時(shí)，曲線。為圓

B.當(dāng)上0時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=±Gx

C.**5<k<6”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的充分不必要條件

D.存在實(shí)數(shù)女使得曲線C為雙曲線，其離心率為亞

【答案】ABC

【解析】A.將々=4.代入方程中并判斷方程對(duì)應(yīng)的曲線的形狀：

B.將4=0,代入方程中并判斷方程對(duì)應(yīng)的曲線的形狀，若曲線為雙曲線則分析其漸近線方程；

C.先分析曲線。為焦點(diǎn)在工軸上的橢圓時(shí)對(duì)應(yīng)的女的取值范圍，再根據(jù)區(qū)間（5,6）與所求范圍之間

的集合關(guān)系判斷出屬于何種條件；

D.根據(jù)離心率為正分析出雙曲線方程中。力的關(guān)系，由此求解出左的值并正行判斷.

【詳解】對(duì)于4選項(xiàng)，當(dāng)Q4時(shí)，曲線C的方程可化為，+/=2,為圓心在原點(diǎn)，半徑為五的

圓，所以選項(xiàng)彳正確；

對(duì)于5選項(xiàng)，當(dāng)仁0時(shí)，曲線。的方程可化為口一二二1,a=R，b=O,

焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其漸近線方程為y=±fx=±x/5x,所以選項(xiàng)8正確；

b

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓時(shí)，要滿足左-2＞6-左＞0,解得4＜攵＜6,則

（5,6）（4,6）,

所以"5＜k＜6”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的充分不必要條件，所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于0選項(xiàng)，當(dāng)曲線C的方程』一+J-=1表示離心率為0的雙曲線時(shí)，

k-26-k

有e=￡=&,則a=b,即|左一2|=|6一川，解得Q4,

a

此時(shí)由線C表示為圓，即不存在實(shí)數(shù)4使得曲線。為雙曲線，其離心率為0,所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：確定形如《+工=1的方程所表示曲線的形狀：

9nn

（1）當(dāng)機(jī)＞〃＞0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

（2）當(dāng)〃＞機(jī)＞。時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

（3）當(dāng)機(jī)＞0,〃＜0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線；

（4）當(dāng)機(jī)＜0,〃＞0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在夕軸上的雙曲線.

11.（2022秋?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)義eR,若工+上=1表示

2-22-3

雙曲線，則4的取值范圍是

【答案】（2,3）

【分析】將雙曲線方程化簡(jiǎn)，根據(jù)雙曲線解析式的特征，即可得力的取值范圍.

【詳解】因?yàn)樯?上=1,即上——±=1

A-2A-32-23-2

根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知(％-2)(3-A)>0

gp(2-2)(2-3)<0

解不等式可得2<4<3,即4的取值范圍是(2,3)

故答案為:(2,3)

【點(diǎn)第】本題考查了雙曲線方程及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

題型03焦點(diǎn)三角形

12.(山東省濟(jì)寧市鄒城市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖，已知雙曲線

/-/二/⑺〉。)的左，右焦點(diǎn)分別為￡上，過名的直線與雙曲線的右支交于尸,0兩點(diǎn).若

=且而2=4瓦0,則;I的值為()

85

A.3B.2C."D.—

32

【答案】A

【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得歸5|=2〃，從而再得|助|=4%由余弦定理求得

cos/P/y；,由誘導(dǎo)公式得cos/鑿不設(shè)|0用二加，則106km+2%再由余弦定理求得m=,

從而可得4.

【詳解】由已知°=缶，|耳聞=2應(yīng)%|0耳|一|鑿|=|明一|02|=|P閭=2%

則忸用二|尸用+2〃=4%

在Ng中，cos/"VP=(2扃，+產(chǎn)甘-(痛)：=J1,

2-2\J2a-2a4

在△?？涩斨?，cosZ.FlF2Q=-cosZFlF2P=—f設(shè)|圖|=加，貝耳|=〃?+2a,

由|0戶「二|甲珠+1。段2一21印制0&cos。得

(2a+m)2=(2y/2a)2+m2-2-2>/2a-w—.解得機(jī)="

__M=2a=

尸產(chǎn)2=460,所以前一下?

故選：A.

13.（2022秋?江蘇南通?高三期中）（多選）已知橢圓C：「+!=l上有一點(diǎn)尸，B、B分別為其左右

84

焦點(diǎn)，4F\PF,=e,△片尸鳥的面積為s,則下列說法正確的是（）

A.若S=2,則滿足題意的點(diǎn)尸有4個(gè)

B.若9=60。,則$=竽

C.。的最大值為90。

D.若△片即是鈍角三角形，則S的取值范圍是（0,右）

【答案】ABC

【分析】根據(jù)面積求出點(diǎn)夕縱坐標(biāo)的范圍即可判斷A；

結(jié)合橢圓的定義、余弦定理和面積公式可以求出三角形面積，進(jìn)而判斷B;

根據(jù)B中的推理，結(jié)合基本不等式可以判斷C

根據(jù)C中的推理可以判斷4對(duì)不可能為鈍角，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性僅考慮尸點(diǎn)在第?象限的情形,

根據(jù)角的變化情況先考慮尸鳥，耳用的情況，進(jìn)而求得答案判斷D.

【詳解】由題意，a=2五,b=c=2,

對(duì)A,設(shè)尸（xj）,則5=，|《乃|'3=?4乂|川=2=>|川=1<6,由橢圓的范圍可知A正確；

對(duì)B,如圖，設(shè)|尸石|=帆,|也|=〃，因?yàn)槲饇〃=%=4后，所以在中，

八m~+n~-4c~(m+n)-2w/?-4c;32—2m〃一168

cos"------------------=-----------------------------=--------------------=-

2mn2mn2tnnmn

百

而5=’〃皿$m。，因?yàn)?=600,所以，mn2c4

廠=S=三一，故B正確;

2

S=-mn?--

22

Q

cos6=------1>8,-1=0

,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃&時(shí)取"="，即。的最大值

對(duì)C,由mnm+n(2陰=2

2

為90。，C正確:

對(duì)D,根據(jù)C可知，4尸6最大值為90。，即不可能為鈍角，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，現(xiàn)僅考慮點(diǎn)尸在

第一象限的情況，根據(jù)角的變化情況，若產(chǎn)入1￡6，將x=2代入橢圓方程解得：|川二正，此時(shí)

S=1x4xV2=2>/2,則△6P6是鈍角三角形，S的取值范圍是（0,2夜），D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

14.（2022秋?山東臨沂?高三統(tǒng)考期中）己知￡、鳥是橢圓工+己=1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)名的直線交橢

169

圓于A、8兩點(diǎn).在△/耳8中，若有兩邊之和是9,則第三邊的長(zhǎng)度為（?

A.6B.7C.8D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出△力￡8的周長(zhǎng)，進(jìn)而可得第三邊的長(zhǎng)度.

169

由橢圓的定義可得：耳|+|/用|=2a=8,|%|+忸瑪|=2a=8,

所以的周長(zhǎng)|/周+|地|+|/或=|期|+|明|+|4聞+|愿|=8+8=16,

因?yàn)橛袃蛇呏褪?,所以第三邊的長(zhǎng)度為16-9=7,

故選：B.

1V2

15.（河北省冀東名校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中汨知耳，區(qū)分別是橢圓。二+與=1（〃>b>0）

a~b~

的左、右焦點(diǎn)，必是橢圓短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上，且標(biāo)2=3可.若?岬的面積為2,則

a=.

【答案】上

【分析】由題意可知M,K，N三點(diǎn)共線和再根據(jù)橢圓的定義，和勾股定理可證

2

MN、MF；=NF：,即可求出5.燃=§/=2,由此即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)檎f=3可，所以M,F2.N三點(diǎn)共線.

又M是橢圓短軸的端點(diǎn)，所以g=M=a,

145

所以性=§a,MN=-a,則NE=2a-N鳥=§Q,

所以4+/聽=折，

所以5.“的=2,解得。=百（負(fù)值舍去）.

故答案為：出.

16.（2023屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓C：=+g=i（心心0）

ab~

和雙由線氏/一產(chǎn)=1有相同的焦點(diǎn)B,無，且離心率之積為1,尸為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則AF/PB

的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可求得橢圓的方程，再根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求得|PF/|,|EB|和|PB|.再判斷三邊

的關(guān)系進(jìn)行分析即可.

【詳解】由題意可知,￡x&=lna=&c,因?yàn)椤?血,

a

所以a=2,b2=a2—c2=2,

不妨設(shè)尸與尸2在y軸右側(cè)，

則：,故網(wǎng)=3,|明=1,又降力=2應(yīng)

得|PEf=|回戶#+『尸子,

所以為直角三角形，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)與離心率，同時(shí)也考查了橢圓與雙曲線的定義等.屬于基

礎(chǔ)題型.

17.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?高三?？计谥校┤綦p曲線5-/=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，8，點(diǎn)尸為圓

f+爐=4與此雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則AM瑪?shù)拿娣e為（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【分析】確定線段々乃是圓/+/一4的直徑，得P號(hào)工PF2,然后利用雙曲線的定義、勾股定理得

出歸耳|，|尸國(guó)的關(guān)系式，變形求得|產(chǎn)片||尸司后可得三角形面積.

【詳解】由題意"百，6=1,°=反1=2,所以線段6入是圓/+/=4的直徑，因此防_L桃,

附f+|P閭2=,閭2=16

,所以|P￡||P聞=2,

11M-1%卜20=26

，呻廣；|「川戶修=】?

故選：D.

［題型04j

18.(廣東省深圳市龍崗區(qū)2023屆高三上學(xué)期期中)已知橢圓：工+E=l(0<b<2),左、右焦點(diǎn)

4b

分別為片，鳥，過耳的直線/交橢圓于48兩點(diǎn)，若|甌卜|彳同的最大值為5,則b的值是

3

A.1B.&C.-D.百

【答案】D

【分析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|5B|+MF2|=8?M8],再由過

橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)9垂直于X軸時(shí)|48|最小，把|”|的最小值〃代入|"2|+|力產(chǎn)2|

=8-AB\,由|8戶2|+W尸2|的最大值等于5列式求b的值即可.

【詳解】由0V6V2可知，焦點(diǎn)在x軸上，

???過尸/的直線/交橢圓于4B兩點(diǎn),

貝ij|8B|+M尸2|+|8B|+MB|=2a+2a=4a=8

???|甌1+0五2|=8-\AB\.

當(dāng)力巴垂直x軸時(shí)|人用最小，|8尸2|+|)*值最大，

此時(shí)“引=方2,則5=8-〃，

解得b=\/3，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能

力，屬于中檔題.

19.（匚蘇省常州市華羅庚中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）己知片，巴分別是雙曲線=l

的左，右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A在雙曲線的左支上，點(diǎn)6為圓氏Y+3+3）2=I上一動(dòng)點(diǎn)，則+?用的

最小值為（）

A.7B.8C.6+GD.2a+3

【答案】A

【分析】求得雙曲線的。，b,c,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得圓E的圓心和半徑，運(yùn)用雙曲線的定義和圓

的性質(zhì)，結(jié)合三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，即可得到所求最小值.

【詳解】雙曲線］-4=1中

43

a=2,b=G?c=,4+3=V7，F(xiàn)、（-幣,0）,

巴（力，0）,

圓E半徑為廣=1,￡（0,-3）,

二.|傷H力用+2〃=|/司+4,

（當(dāng)且僅當(dāng)A,E,3共線

且B在A,￡之間時(shí)取等號(hào)），

=J（-"r+32+3=7,

當(dāng)且僅當(dāng)A是線段防與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).

.?.|45|+|盟|的最小值是7.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓的方程和性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì),

考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.（廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023屆高三上學(xué)期期中）設(shè)尸為橢圓M：二+產(chǎn)行和雙

10

曲線N：--（=］的一個(gè)公共點(diǎn)，且?在第一象限，尸是M的左焦點(diǎn)，則|P尸卜.

【答案】Vio+1/i+Vio

【分析】先求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立橢圓和雙曲線方程，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式即可.

【詳解】對(duì)于橢圓M,a2=\0,b2=1,/.?=a2-b2=9,F（-3,0）；

-廠--+V2=11

W2，解得/=，/=]

聯(lián)立方程《

y.99

x2--=\

8

21.（2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中）已知F是雙曲線。:爐一亡二1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn),

8

力（0,6指），當(dāng)&4P產(chǎn)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為

【答案】12>/6

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)R三點(diǎn)共線”求出直線力大的方程，聯(lián)立雙曲線方程，即可求得尸點(diǎn)

坐標(biāo)，則由5*叩=5""；-5”明即可容易求得.

【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為耳，由雙曲線定義知，山尸|=2"+|P凰，

，△力尸產(chǎn)的周長(zhǎng)為。|+|尸尸|+|力尸|=|以|+2。+忸￡|+|//|=周|+|「用+|/尸1+24,

由于2什|力尸|是定值，要使△"產(chǎn)的周長(zhǎng)最小，則|%|+|尸川最小，即以小耳共線，

V/f（0,6>/6）,6（-3,0）???直線/月的方程為5+土=1，即V=眾一3代入f-（=i整理得

y2+6瓜y-96=0?

解得y=2底或y=-8"（舍），所以0點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

***SMPF=SgFF]_SHPFF、-X6X6^6--X6X2^6=126.

故答案為：12遍.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線中三角形面積的求解，涉及雙曲線的定義，屬綜合中檔題.

22.（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期期中）已知雙曲線工一工二1的一個(gè)焦點(diǎn)是

m3m

（0,2）,橢圓廣一片=1的焦距等于4,則〃二.

ni

【答案】5

［分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)殡p曲線~=1的個(gè)焦點(diǎn)是（0,2）,

m3m

所以一加一3m=4,得加=-1,

乂橢圓片+/=］的焦距等于4.

n

所以”1=(3,得〃=5.

故答案為：5

23.（2022秋?山西朔州?高三統(tǒng)考期中）P是雙曲線三一工=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓

916

（x+5）2+y2=［和

(x5)*/=i上的點(diǎn)，則1PMT*l的最大值為

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【詳解】(\PM\-\PN\^X=|PMLXHPN^PF\PF\-1：

=|?周一|?鳥|+2=6+2=8.

圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

24.（2022秋?福建廈門?高三屋門一中校考期中）已知48是圓。：/+/一6'+8=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

ZACB=900，點(diǎn)〃為線段/9的中點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線產(chǎn)=4、上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸的最小值為（）

A.—B.372C.—D.2也

22

【答案】C

【分析】求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何關(guān)系得點(diǎn)〃的軌跡是以點(diǎn)。（3,0）為圓心，”為半徑的圓，

2

點(diǎn)產(chǎn)為拋物線/=4X上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)尸（工,凡），先求出|PC|min，

所以|網(wǎng)的最小值為|PC『乎=乎

【詳解】圓C:/+y2-6x+8=0可化為（工一3）2+/=1,

所以點(diǎn)。（3,0）.又因?yàn)辄c(diǎn)“為線段48的中點(diǎn)，月.24C8=9（y,C4=C3=l,

所以C/W=孝，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C(3,0)為圓心，等為半徑的圓.

因?yàn)辄c(diǎn)P為拋物線步=4x上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)P(x0,y0),

2

則|PC|=7(X0-3)+^=Jdx。="if+8，

所以當(dāng)a=1時(shí)，|尸。比=2應(yīng),

所以|PM|的最小值為IPCL,-李=孚

故選：C.

25.(山東省濰坊市臨胸縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)設(shè)點(diǎn)P是拋物線G=4》上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)〃是圓G：(x-5)2+(7+4)2=4上的動(dòng)點(diǎn),</是點(diǎn)尸到直線尸-2的距離,則3+|產(chǎn)”|的最小

值是：)

A.5五-2B.572-1C.55/2D.5尬+1

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出圖像，將d轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離再加1,也即是拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的

距離加1,若求4+|尸”|的最小值，轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到圓上點(diǎn)的距離再加1即可，根據(jù)

三角形兩邊之和大于第三邊，即當(dāng)產(chǎn),％叫,。2共線時(shí),d+|PM|取最小值為1+|%2卜乙算出結(jié)果即

可.

【詳解】解:由題知圓G：(x-5)2+(y+4)2=4,

尸(0,1)為拋物線焦點(diǎn)J=-l為拋物線準(zhǔn)線，

則過點(diǎn)P向N=-1作垂線垂足為D，如圖所示：

則d=l+|PQ|,

根據(jù)拋物線定義可知|尸。|=|尸?|,

.-.J=1+|PF|,

d+\PM\=\+\PF'\+\PM\,

若求d+|PM|的最小值,只需求|尸川+|?”|的最小值即可，

連接尸G與拋物線交于點(diǎn)匕與圓交于點(diǎn)朋I,如圖所示,

此時(shí)|PF|十|PM|最小，為|尸。2卜一,

心+|尸”k=1+附2卜一

vF（0,1）,C2（5,-A）,?.|FC21=555",

?.?伍+|尸根）*=1+附2卜〃=5拒-1,

故選:B

26.（2022秋?河北石家莊?高三石家莊二中校考期中）已知圓/+/=1與拋物線/=20M。>0）交

于A,8兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C,。兩點(diǎn)，若四邊形48C。是矩形，則P等于（）

5五

B.4D考

【答案】D

【分析】由題，結(jié)合拋物線與圓的對(duì)稱性得弦48為拋物線/=2px（p>0）的通徑，進(jìn)而有

（_^j+p2=l,解方程即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)樗倪呅瘟CD是矩形，

所以由拋物線與圓的對(duì)稱性知：弦AB為拋物線y2=2Pxs>0）的通徑，

因?yàn)閳A的半徑為1,拋物線的通徑為2p,

所以有：（ij+p'i，解得'=昔

故選：D

27.（江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）拋物線/=8x的準(zhǔn)線過雙曲線

x2—，=l（b>0）的左焦點(diǎn)，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）

A.8B.2GC.2D.46

【答案】B

【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，從而可得雙曲線的J根據(jù)凡伉。的關(guān)系可得答案.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€尸=8工的準(zhǔn)線為*=-2,所以由題意可知雙曲線的左焦點(diǎn)為（-2,0）,

因?yàn)?+〃=4,所以人=石，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2石.

故選：B.

28.（山東省泰安市新泰市第一中學(xué)北校20222023學(xué)年高二上學(xué)期期中考）已知橢圓

C：1+g=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳,瑪，上頂點(diǎn)為8,且tan/8"%=而，點(diǎn)P在橢圓

ab

C上，線段尸片與8瑪交于。，苑二2的，則直線助的斜率為.

【答案】巫

5

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，利用銳角正切函數(shù)的定義，求得2=后，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得

C

點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式，可得答案.

【詳解】由題意，作圖如下：

由題意,則耳（F，0）,K（c，0），8（0,b）,設(shè)。（工,歹）,

在工中，tan/-BF^F2==—=V15,

一OF、c

則麗=(x,y_b),QF\={c-x,-y),

_2c

——.(x=2(c—x)X-3

由80=2。瑪，貝4/J,解得《:

y-b=-2y_o

直線式的斜率左=等=二二=N，記=半.

主+C5c55

3

故答案為：叵.

5

29.（黑龍江省齊齊哈爾市三立高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知橢圓C:t+片=1,

則此橢圓的焦距長(zhǎng)為,設(shè)耳名為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過￡的直線交橢圓于48兩點(diǎn),

若M用+忸$=12,則?邳=.

【答案】68

【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，由c=萬(wàn)可得。的值，進(jìn)而可得焦距2c,根據(jù)橢圓的定

義即可求得|力耳的長(zhǎng).

【詳解】由橢圓C：4+J=l可得。=5,6=4,所以c=彳=年=3，

所以橢圓的焦距長(zhǎng)為2c=6,

由橢圓的定義可知：|4周+|盟卜2°=10,忸￡|+忸闖=2a=10,

兩式相加可得：慎用+卜閭+|%|+|因卜20,

因?yàn)?用+|明|=12,所以|四|+|明|=8,即卜卻=8,

故答案為：6；8.

題型06

30.（廣東省佛山市第四中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）設(shè)橢圓C：耳+4=1（。>6>0）的左、右焦

a1h2

點(diǎn)分別為￡,B，直線/過點(diǎn)6.若點(diǎn)B關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)。恰好在橢圓c上，且用?根=；/,則

c的離心率為（）

12-12

A.JB.-C.-D.-

【答案】C

【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓的定義可推得|P用=勿，|尸周=2。-勿.然后根據(jù)即?而=；/,可推

得4c28s6=g/.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.

【詳解】

設(shè)

NPF、F2=?,

由已知可得，歸6|=歸周=2,

根據(jù)橢圓的定義有|P國(guó)=2"|P￡|=2a-2c.

乂用麗=$2，

所以4c2cosju」/

2

在△用巴中，由余弦定理可得，

附「=附|2+比用2-2|阿M周cos。,

即(2a-2c)2=8c2-8c2cos。=必-/

整理可得4c2+8ac-5/=0，

等式兩邊同時(shí)除以小可得，4/+&-5=0,

解得,e=1^e=-1（舍去），

所以e=1

故選：C.

31.（2022秋?浙江?高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的?個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另?焦點(diǎn).設(shè)

橢圓，=的左、右焦點(diǎn)分別為外,若從橢圓右焦點(diǎn)用發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上

3

的點(diǎn)1和點(diǎn)6反射后，滿足且cosN/旭C=§,則該橢圓的離心率為（）.

A.；B.—C.—D.在

2223

【答案】D

【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.

【詳解】由題意，可作圖如下:

3AB/AorA-

則8S/AB氏,正，sinN啊=心嬴f嚼即45:46：8耳=3:4:5,

Jorx

可設(shè)25=3%,AFX=4k,BF{=5k,

由48+/6+56=力用+86+46+8耳=4。，則4k+3攵+5左=4“，即31=°,

AF2=2a-AF}=2kt在RtzU￡6中，耳巴={AF；+力用？=20=2c,

則八在=也=叵

2a6k3

故選：D.

32.（2022秋?山東泰安?高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線C:￡-￡=1（。＞0力＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c,0）,

點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，4（0乃），若"M"周長(zhǎng)的最小值是2c+4〃，則雙曲線。的離心率是（）

A.B.x/3+1C.|D.5

【答案】B

【分析】設(shè)雙曲線C1的右焦點(diǎn)為F',連接4k，線段力/交雙曲線C于點(diǎn)〃'，由三角形兩邊之和

大于第三邊得MM+|M尸以力/I，再由雙曲線的定義得阿日-|"1=2%從而得到

\AM\-\MF\>\AF'\+7a,所以/周長(zhǎng)的最小值可表示為2M尸|+2a,結(jié)合條件可求出關(guān)于凡。的

方程，即可解出離心率.

【詳解】如圖，

設(shè)雙曲線。的右焦點(diǎn)為尸，連接線段力廠交雙曲線。于點(diǎn)M',

則|期|+.1之上尸［.

由雙曲線的定義可得阿尸卜|叼1=2%則|力劃+照/|=|力〃|+根尸卜的?卜尸1+加.

因?yàn)?（0力），所以|4尸|=.尸1=?。荩?，

則△力M尸周長(zhǎng)的最小值為2|力尸1+2a=2y/b2+c2+2a=2c+4a,

2

整理得c2-2ac-2a2=0，g|Je-2e-2=0^

解得e=>/3+1.

故選：B

33.（2022秋?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)上學(xué)期期中）如圖，圓柱0a的軸截面力844是正方形,

。、￡分別是邊44和的中點(diǎn)，C是”的中點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)C、D、E的平面與圓柱側(cè)面相交

所得到曲線的離心率是.

【答案】也

22

【分析】根據(jù)平面與圓柱的截線為橢圓，求出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，即可求出半焦距，由橢

圓的離心率定義求解即可.

【詳解】設(shè)圓柱0a的軸截面，即正方形的邊長(zhǎng)為2,設(shè)G是弧44的中點(diǎn)，且與C關(guān)于圓柱的中

心對(duì)稱，

由題意可知，截面曲線為橢圓，橢圓的短軸長(zhǎng)為2,長(zhǎng)軸0。=亞7s=26，

所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=0短半軸長(zhǎng)6=1,

故半焦距為c=77二萬(wàn)=］,

所以橢圓的離心率為e=￡=也，

a2

故答案為：息.

2

34.(2022秋?河北保定?高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)己知雙曲線C：4-4=1(?>0,/?0)

ab~

的左、右焦點(diǎn)分別為耳，M,N為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，4為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形

MKAR為矩形，且NM4N=￥，則雙曲線。的離心率為()

4

A.x/13B.75

C.浮D.G

【答案】B

【分析】先求出M,N的坐標(biāo)，再根據(jù)NM4N=個(gè)得到一個(gè)關(guān)于。，b的等式，最后根據(jù)。，b,c

的關(guān)系求出離心率即可.

【詳解】依題意，易得以丹鳥為直徑的圓的方程為/