組合數(shù)(3)課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

6.2.4組合數(shù)

(3)探究一：多面手問題例1：某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？解：由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.方法一分兩類：第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法.此時共有6×3＝18(種)選法.第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)選法.例1：某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？解：方法二設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語.第一類：甲入選.(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×6＝6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種).第二類：甲不入選.可分兩步.第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法.綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法.解決多面手問題時，依據(jù)多面手參加的人數(shù)和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理.反思歸納現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任).現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？練習解：可以分三類：總結：平均分成的每一組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要除以組數(shù)的全排列，即例2：

把abcd分成平均兩組，共有_____種分法.abcdacbdadbccdbdbcadacab這兩個在分組時只能算一個，故分組方法有3變式：把6人分成平均三組，共有_____種分法.15探究二：分組、分配問題完全均勻分組問題角度1：不同元素分組、分配問題1.均勻分組不安排任務的問題例3：現(xiàn)有12本不同的書.（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少種不同的分法？

（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少種不同的分法？解：先從12本不同的書中選4本有

種選法；再從余下的8本書中選4本有

種選法；最后從余下的4本書中選4本有

種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有

種選法.完全均勻分組問題例3：現(xiàn)有12本不同的書.（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少種不同的分法？解：先從12本不同的書中選2本有

種選法；再從余下的10本書中選2本有

種選法；再從余下的8本書中選2本有

種選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有

種選法.最后從余下的6本書中選6本有

種選法.部分均勻分組問題1.均勻分組不安排任務的問題例4：（1）6本不同的書按2∶2∶2平均分給甲、乙、丙三個人，有多少種不同的分法？（2）12支筆按3：3：2：2：2分給A、B、C、D、E五個人有多少種不同的分法？解：（1）先將6本不同的書分為3組，有

種選法，再將3組分給甲、乙、丙三個人有

種選法.均勻分組、分配問題2.均勻分組安排任務的問題例4：（2）12支筆按3：3：2：2：2分給A、B、C、D、E五個人有多少種不同的分法？解：先將12支筆按3：3分為2組，有

種選法；再將余下的6支筆按2：2：2分為3組，有

種選法；最后將5組分給A、B、C、D、E五個人，有

種選法.部分均勻分組、分配問題例5：現(xiàn)有6本不同的書.(1)按1:2:3分成三堆有多少種不同的分法？(2)按1:2:3分給甲、乙、丙三個人有多少種不同的分法？3.非均勻分組問題解：（1）分三步：先從6本不同的書中選1本，有

種選法；再從其余的5本書中選2本，有

種選法最后從余下的3本書中選3本，有

種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有

種選法.完全非均勻分組問題解：首先考慮分組.分三步：先從6本不同的書中選1本，有

種選法；再從其余的5本書中選2本，有

種選法；最后從余下的3本書中選3本，有

種選法.由于甲、乙、丙是不同的三個人，所以在上述分組的基礎上考慮再分配，因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有

種選法.完全非均勻分組、分配問題其次考慮再分配.例5：現(xiàn)有6本不同的書.(2)按1:2:3分給甲、乙、丙三個人有多少種不同的分法？反思歸納“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成m組，最后必須除以m??；②部分均勻分組，應注意不要重復，有m組均勻，最后必須除以m??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.有六本不同的書分給甲、乙、丙三名同學，按下條件，各有多少種不同的分法？（1）每人各得兩本；（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；（3）一人一本，一人兩本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另兩人各一本·解：練習角度2：相同元素分配問題例6：將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列放法的種數(shù).(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子.隔板法反思歸納相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.反思歸納相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.1.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有(

)A.10種

B.12種 C.15種 D.18種練習2.將7個相同的小球放入4個不同的盒子中.(1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？1.某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A.56種B.68種C.74種D.92種隨堂檢測2.登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數(shù)是（

）A.30 B.60

C.120D.2403.假如北京大學給中山市某三所重點中學7個自主招生的推薦名額，則每所中學至少分到一個名額的方法數(shù)為(

)A.30B.21C.10 D.15解析：用“隔板法”.在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有

＝15(種)分配方法.4.將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？解：(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(種)放法.4.將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中.(3)恰好有一個空盒，有多少種放法？5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學，求：(1)5名同學站成一排，有多少種不同的方法？(2)5名同學站成一排，要求甲、乙