2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1．7.1定積分在幾何中的應(yīng)用[目標(biāo)]1.能說出定積分的幾何意義.2.學(xué)會(huì)利用定積分求平面圖形的面積.3.加深微積分基本定理及定積分的性質(zhì)的應(yīng)用．[重點(diǎn)]利用定積分求簡(jiǎn)潔平面圖形的面積．[難點(diǎn)]利用定積分求較為困難的圖形的面積．學(xué)問點(diǎn)定積分與平面圖形面積的關(guān)系[填一填]1．平面圖形面積的求法在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)和積分的上、下限．2．常見的平面圖形的計(jì)算(1)求由一條曲線y＝f(x)和直線x＝a，x＝b(a<b)及y＝0所圍成平面圖形的面積S.圖①中，f(x)>0，∫eq\o\al(b,a)f(x)dx>0，因此面積S＝∫eq\o\al(b,a)f(x)dx；圖②中，f(x)<0，∫eq\o\al(b,a)f(x)dx<0，因此面積S＝|∫eq\o\al(b,a)f(x)dx|＝－∫eq\o\al(b,a)f(x)dx；(2)求由兩條曲線f(x)和g(x)，直線x＝a，x＝b(a<b)所圍成平面圖形的面積S.[答一答]1．如圖，如何求相交曲線所圍圖形的面積？2．如何利用定積分表示如圖平面圖形ABCD的面積？提示：選取y為積分變量，積分區(qū)間為[a，b]，則圖中平面圖形ABCD的面積為S＝∫eq\o\al(b,a)[f2(y)－f1(y)]dy.定積分只能用于求曲邊梯形的面積，對(duì)于非規(guī)則的曲邊梯形，一般要將其分割或補(bǔ)形為規(guī)則的曲邊梯形，再利用定積分的和與差求面積．對(duì)于分割或補(bǔ)形中的多邊形的面積，可干脆利用相關(guān)面積公式求解.類型一不必分割的圖形的面積求解【例1】計(jì)算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍成圖形的面積．【思路分析】如圖所示，結(jié)合圖形，先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，將所求面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲邊梯形的面積差，然后利用定積分求其面積．【解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x1＝0，x2＝3.因此所求圖形的面積為S＝eq\i\in(,3,)0(x＋3)dx－eq\i\in(,3,)0(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(,3,)0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(,3,)0(－x2＋3x)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋eq\f(3,2)x2)eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).為解此類題應(yīng)做到：①畫出圖形；②依據(jù)圖形的特征，由曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)確定積分的上、下限；③確定被積函數(shù)．求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成圖形的面積．解：如圖，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－4,y＝－x＋2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0))，所以直線y＝－x＋2與拋物線y＝x2－4的交點(diǎn)為(－3，5)和(2,0)，設(shè)所求圖形面積為S，依據(jù)圖形可得S＝eq\i\in(,2,)－3(－x＋2)dx－eq\i\in(,2,)－3(x2－4)dx＝(2x－eq\f(1,2)x2)eq\o\al(2,－3)－(eq\f(1,3)x3－4x)eq\o\al(2,－3)＝eq\f(25,2)－(－eq\f(25,3))＝eq\f(125,6).類型二需分割的圖形的面積求解【例2】求由曲線y＝eq\r(x)，y＝2－x，y＝－eq\f(1,3)x所圍成圖形的面積．【思路分析】先求出曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，確定積分區(qū)間，然后分段利用公式求解．【解】法1：畫出草圖，如圖所示．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x),x＋y＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x),y＝－\f(1,3)x))及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,y＝－\f(1,3)x))，得交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．法2：若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y.因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為困難的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所改變，通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，將積分區(qū)間進(jìn)一步化分，然后依據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為困難，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限.求由拋物線y2＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積．解：由題意，作出圖形如圖，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8xy>0,x＋y－6＝0))，得x＝2.所以y2＝8x與直線x＋y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，所以所求面積為：定積分與概率的綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)【思路分析】本題是幾何概型概率問題的求解，依據(jù)定積分的幾何意義表示出陰影部分的面積，利用微積分基本定理求解即可．【答案】C【解后反思】高考命題常以定積分與幾何概型的綜合為背景命題，既考查定積分求面積又考查了幾何概型，是一種在學(xué)問交匯點(diǎn)處命題的思路．從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為eq\f(1,3).1．用S表示如圖中陰影部分的面積，則S的值是(D)2．由曲線y＝|x|與x＝－1，x＝1，y＝0所成的圖形的面積是(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．23．由曲線y＝ex，x