2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第4節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)教學(xué)案含解析新人教A版

PAGE18-第4節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)考試要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為動(dòng)身點(diǎn)，相識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡潔命題.知識(shí)梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b[常用結(jié)論與微點(diǎn)提示]1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想，解題中既要留意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的詳細(xì)條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.診斷自測1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有多數(shù)條.()(3)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()(4)假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a∥α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材必修2P61A組T1(2)改編)下列說法中，與“直線a∥平面α”等價(jià)的是()A.直線a上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)B.直線a與平面α內(nèi)的全部直線平行C.直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線不相交D.直線a與平面α內(nèi)的隨意一條直線都不相交解析因?yàn)閍∥平面α，所以直線a與平面α無交點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的隨意一條直線都不相交，故選D.答案D3.(新教材必修其次冊P142T2改編)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A.存在一條直線a，a∥α，a∥βB.存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故解除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故解除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故解除C；故選D.答案D4.(2024·洛陽尖子生聯(lián)考)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且l?α，m?β，下列結(jié)論正確的是()A.若α⊥β，則l⊥β B.若l⊥m，則α⊥βC.若α∥β，則l∥β D.若l∥m，則α∥β解析對(duì)于A，α⊥β，l?α，只有加上l垂直于α與β的交線，才有l(wèi)⊥β，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若l⊥m，l?α，m?β，則α與β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α∥β，l?α，由面面平行的性質(zhì)可知，l∥β，所以C正確；對(duì)于D，若l∥m，l?α，m?β，則α與β可能平行，也可能相交，所以D錯(cuò)誤.答案C5.(2024·成都月考)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的全部直線中()A.不肯定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在多數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線，故選A.答案A6.(2024·衡水中學(xué)開學(xué)考試)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形態(tài)為________.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.答案平行四邊形考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定【例1】(1)(2024·長沙模擬)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，給出下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2024·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()A.若m∥n，n?α，則m∥αB.若m?α，n?β，α∥β，則m∥nC.若α∥β，m⊥α，則m⊥βD.若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β解析(1)對(duì)于①，依據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對(duì)于②，由a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對(duì)于③，依據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題.故選B.(2)若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，所以選項(xiàng)A不正確；若m?α，n?β，α∥β，則m∥n或m與n異面，所以選項(xiàng)B不正確；若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β或α與β相交，所以選項(xiàng)D不正確.故選C.答案(1)B(2)C規(guī)律方法1.推斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必需熟識(shí)線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟識(shí)最簡潔推斷的選項(xiàng)先確定或解除，再逐步推斷其余選項(xiàng).2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出推斷.(2)特殊留意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊狀況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.【訓(xùn)練1】(1)(2024·全國Ⅱ卷)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A.α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào)).①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析(1)若α∥β，則α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行，當(dāng)多數(shù)條直線相互平行時(shí)，α與β可能相交；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一個(gè)平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件.依據(jù)兩平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行，反之也成立.因此B中條件是α∥β的充要條件.(2)如圖，因?yàn)锳B綉C1D1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形.故AD1∥BC1，從而①正確；易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，從而②正確；由圖易知AD1與DC1異面，故③錯(cuò)誤；因?yàn)锳D1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正確.答案(1)B(2)①②④考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)多維探究角度1直線與平面平行的判定【例2－1】(2024·沈陽一模)將正方形BCED沿對(duì)角線CD折疊，使平面ECD⊥平面BCD.若AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(2)，BC＝2.(1)求證：AB∥平面ECD；(2)求三棱錐E－ACD的體積.(1)證明取CD的中點(diǎn)M，連接EM，BM.因?yàn)镃E＝ED，所以EM⊥CD.因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，EM?平面ECD，所以EM⊥平面BCD.因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB∥EM.又EM?平面ECD，AB?平面ECD，所以AB∥平面ECD.(2)解因?yàn)樵倪呅蜝CED為正方形，M為CD的中點(diǎn)，所以BM⊥CD.又因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，BM?平面BCD，所以BM⊥平面ECD.因?yàn)椤鱁CD為等腰三角形，BC＝2，所以S△ECD＝eq\f(1,2)×2×2＝2.由題意，易得BM＝eq\r(2)，所以VB－ECD＝eq\f(1,3)·BM·S△ECD＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×2＝eq\f(2\r(2),3).由(1)可知，點(diǎn)A到平面ECD的距離等于點(diǎn)B到平面ECD的距離，所以VE－ACD＝VA－ECD＝VB－ECD＝eq\f(2\r(2),3).角度2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2－2】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的隨意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.規(guī)律方法1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其依次恰好相反.【訓(xùn)練2】(2024·太原一模)如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)，△ABE是等邊三角形，平面ABE⊥平面BCE，BE⊥CE，BE＝CE＝2.(1)求證：CN∥平面AEM；(2)求三棱錐N－AEM的體積.(1)證明如圖，設(shè)AE的中點(diǎn)為F，連接MF，NF.又∵N是DE的中點(diǎn)，∴FN∥AD，F(xiàn)N＝eq\f(1,2)AD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴FN∥MC，F(xiàn)N＝MC＝eq\f(1,2)BC，∴四邊形MCNF是平行四邊形，∴CN∥MF.又MF?平面AEM，CN?平面AEM，∴CN∥平面AEM.(2)解如圖，過點(diǎn)A作AO⊥BE，O為垂足，連接AC.∵平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，∴AO⊥平面BCE.∵△ABE是等邊三角形，EB＝2，∴AO＝eq\r(3).∵BE⊥CE，BE＝CE＝2，M為BC的中點(diǎn)，∴S△MCE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×2＝1.由(1)得CN∥平面AEM，∴V三棱錐N－AEM＝V三棱錐C－AEM＝V三棱錐A－CEM＝eq\f(1,3)S△MCE·AO＝eq\f(1,3)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)典例遷移【例3】(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【遷移1】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)及D，D1分別為BC，B1C1的中點(diǎn)知，D1C1綉B(tài)D，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【遷移2】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又由題設(shè)eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同始終線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線與另一個(gè)平面平行.提示利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，須要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【訓(xùn)練3】已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點(diǎn).求證：平面BEF∥平面AD1C1.證明取AD的中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點(diǎn)，所以C1D1綉CD綉EF，因?yàn)镃1D1?平面AD1C1，EF?平面AD1C1，所以EF∥平面AD1C1.因?yàn)锳D∥BC，AD＝2BC，所以GD綉B(tài)C，即四邊形BCDG是平行四邊形，所以BG綉CD，所以BG綉EF，即四邊形EFGB是平行四邊形，所以BE∥FG.因?yàn)镕，G分別是DD1，AD的中點(diǎn)，所以FG∥AD1，所以BE∥AD1.因?yàn)锳D1?平面AD1C1，BE?平面AD1C1，所以BE∥平面AD1C1.又BE?平面BEF，F(xiàn)E?平面BEF，BE∩EF＝E，所以平面BEF∥平面AD1C1.A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，直線m是α內(nèi)一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由α∥β，m?α，可得m∥β；反過來，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件.答案A2.(2024·湘中名校聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD.若m⊥α，n⊥α，則m∥n解析A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故選D.答案D3.(2024·蚌埠二模)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿意a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c的位置關(guān)系不行能是()A.兩兩平行 B.兩兩垂直C.兩兩相交 D.兩兩異面解析假設(shè)a，b，c三條直線兩兩平行，如圖所示，設(shè)α∩β＝l，∵a∥b，a?β，b?β，∴a∥β.又知a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，∴l(xiāng)⊥γ，又知a∥b，a∥l，∴a⊥γ，又知c?γ，∴a⊥c，所以假設(shè)不成立.故三條直線a，b，c不行能兩兩平行，因此選A.答案A4.(2024·衡水模擬)已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個(gè)不重合平面，下列條件中，α∥β的充分條件是()A.m∥n，m?α，n?β B.m∥n，m⊥α，n⊥βC.m⊥n，m∥α，n∥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β解析對(duì)于A，兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線相互平行，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，因此A中條件不是α∥β的充分條件；對(duì)于B，因?yàn)閙∥n，m⊥α，所以n⊥α，結(jié)合n⊥β，知α∥β，因此B中條件是α∥β的充分條件；對(duì)于C，由m⊥n，m∥α知n?α，或n∥α，或n與α相交，結(jié)合n∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中條件不是α∥β的充分條件；對(duì)于D，由m⊥n，m⊥α知n?α，或n∥α，結(jié)合n⊥β，知α⊥β，所以D中條件不是α∥β的充分條件.綜上可知，選B.答案B5.(2024·長春模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()A.0條 B.1條C.2條 D.1條或2條解析如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條.答案C二、填空題6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則EF＝________.解析依據(jù)題意，因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中點(diǎn)，所以F是CD的中點(diǎn).因?yàn)樵赗t△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq\r(2).答案eq\r(2)7.設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號(hào)).解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確.答案①或③8.(2024·鄭州調(diào)研)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________(填上正確命題的序號(hào)).解析①m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤.答案②三、解答題9.(2024·武漢模擬)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn).(1)求證：PC∥平面BDE；(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比.(1)證明在平行四邊形ABCD中，連接AC，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，則O是AC的中點(diǎn).又E是PA的中點(diǎn)，連接EO，則EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO，又EO?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD.(2)解設(shè)三棱錐E－ABD的體積為V1，高為h，四棱錐P－ABCD的體積為V，則三棱錐E－ABD的體積V1＝eq\f(1,3)×S△ABD×h，因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以四棱錐P－ABCD的高為2h，所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×2h＝4×eq\f(1,3)S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，所以平面BDE分此棱錐得到的兩部分的體積比為3∶1或1∶3.10.如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.B級(jí)實(shí)力提升11.(2024·福州質(zhì)檢)已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說法正確的是()A.若c?平面α，則a⊥αB.若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC.存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD.存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析對(duì)于A，滿意c?平面α，且c與異面直線a，b均垂直，則a可能在α內(nèi)，也可能與α斜交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，滿意c⊥平面α?xí)r，直線a與直線b可能其中一條在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若b∥α，則α內(nèi)肯定存在一條直線b′，使得b∥b′，又知a?α，且a與b為兩條異面直線，所以a與b′肯定相交，又知c⊥b，b∥b′，所以c⊥b′，又知c⊥a，a與b′相交，所以c⊥α，故C正確；對(duì)于D，假如a⊥α，b⊥α，則a∥b，這與條件中a，b是兩條異面直線相沖突，故D錯(cuò)誤，因此選C.答案C12.(2024·吉安一模)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A.eq\r(2) B.eq\f(9,8) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(6),2)解析如圖1，分別取B1C1，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四邊形ABEM為平行四邊形，則AM∥BE，又BD和BE為平面BDFE內(nèi)的兩條相交直線.圖1圖2所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE為平面α，BD＝eq\r(2)，EF＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\f(\r(2),2)，得四邊形BDFE為等腰梯形，DF＝BE＝eq\f(\r(5),2)，在等腰梯形BDFE如圖2中，過E，F(xiàn)作BD的垂線，則四邊形EFGH為矩形，∴其高FG＝eq\r(DF2－DG2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,8))＝eq\f(3\r(2),4)，故所得截面的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8).答案B13.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿意條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.解析如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面