研究生考試考研數(shù)學(xué)（一301）自測(cè)試題與參考答案

研究生考試考研數(shù)學(xué)(一301)自測(cè)試題與參考答案一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)2、設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,o^2),若P(ξく-1)+P(ξ≤1)=1,正態(tài)分布N(μ,o2)的密度函數(shù)是關(guān)于其均值μ對(duì)稱的。即,對(duì)于任意的a,都R(ξ<a)=A(ξ>2μ-a)。由于Rξ<-1)+Rξ<1)=1,且整個(gè)正態(tài)分布的概率和為1,那么Rξ<-1)+由于Rξ<1)=Rξ>2μ-1),并且R(ξ<Rξ<-1)=Rξ≥1)。由于Kξ<D=(ξ>2μ-I,并且這兩個(gè)概率必須相等(因?yàn)樗鼈兪峭皇碌膬蓚€(gè)不同表示),我們可以得出2μ-1=μ。解這個(gè)方程,我們得到μ=1。但是這里有一個(gè)陷阱,因?yàn)轭}目中的F(ξ<-の+Kξ≤D=1實(shí)際上暗示了-1和1是關(guān)于均值μ對(duì)稱的,即μ是-1和1的中點(diǎn)。Kξ<-D+Aξ≤D=1和正態(tài)分布的對(duì)稱性來(lái)得出μ是-1和1的中點(diǎn),即μ=B.(a=1,b=のE.(a=-1,b=1)答案：C因此,要使函數(shù)在(x=の處可導(dǎo),我們還需要有(a=の。但這里需要注意的是,我的結(jié)論并不成立,而是(a=2x|=o=の)的直接結(jié)果,這與題目中的選項(xiàng)不符。實(shí)上,由于(f(x)=2x)在(x=の時(shí)的值為0,我們實(shí)際上需要(f(x)=a)●對(duì)于可導(dǎo)性，當(dāng)(a=D)時(shí)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為1,而左側(cè)導(dǎo)數(shù)為0,這里存在一個(gè)表述4、已知f(x)=(1/3)x^3-x^2+ax+b(a,b∈R)有極值，則()f(x)=x2-2x+a若函數(shù)f(x)有極值，則其一階導(dǎo)數(shù)f(x)A.最大值為(ln(5),最小值為(ln(1))D.最大值為(ln(5),最小值為(ln(2))為了找到函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值，接下來(lái)，我們計(jì)算(f(x))的導(dǎo)數(shù)(f(x)),并●導(dǎo)數(shù)等于0的極值點(diǎn)為(x=2)?！駞^(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值分別為：A.最大值為(ln(5),最小值為(ln(1D)。這與選項(xiàng)A相匹配。6、已知函數(shù)(f(x)=x3-3x+1),則該函數(shù)在區(qū)間([-2,2)上的最大值為：首先，我們需要確定函數(shù)(f(x)=x3-3x+1)在給定區(qū)間([-2,2)上的最大值。為了找到這個(gè)最大值，我們可以通過(guò)計(jì)算導(dǎo)數(shù)來(lái)找出函數(shù)的臨界點(diǎn)，并檢查這些臨界點(diǎn)以及區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值?！駲z查這些點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；●確定最大值?，F(xiàn)在，我們來(lái)計(jì)算這些值。通過(guò)計(jì)算得到臨界點(diǎn)為(-1)和(1)。進(jìn)一步分析得知，在區(qū)間([-2,2])上，函數(shù)(f(x)=x3-3x+1)因此，正確答案是B.3?！ず瘮?shù)的一階導(dǎo)數(shù)為(f(x)=3x2-3)?！裼?jì)算臨界點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：(f(-1)=3),(f(1)=-1),(f(-2)=●可見(jiàn)，最大值為(3)。7、考慮函數(shù)(f(x)=x3-3x+1)在區(qū)間([-2,2])上的最大值與最小值。下列哪個(gè)選項(xiàng)A.最大值為3,在(x=1)處取得；最小值為-1,在(x=-1)處取得B.最大值為1,在(x=の處取得；最小值為-3,在(x=2處取得C.最大值為3,在(x=-2)或(x=1處取得；最小值為-1,在(x=-)或(x=2)處D.最大值為9,在(x=-2)處取得；最小值為-1,在(x=1)處取得在這些臨界點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)([-2,2)處的函數(shù)值分別為3、-1、-1和3?！褡畲笾禐?,在(x=-2)和(x=1)處取得；●最小值為-1,在(x=-1)和(x=2)處取得。8、已知a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是()所以B選項(xiàng)不一定成立。不滿足ac2>bc2,9、設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(2,o^2),若P(ξ>4)=0.028,則P(O<ξ<2)=()A.0.472B.0.944C.0.954D.0.426首先,由于隨機(jī)変量ξ~A(2,o2),其正態(tài)分布曲線是關(guān)于x=2對(duì)稱的。已知R(ξ>4)=0.028,由于正態(tài)分布的對(duì)稱性，我們有R(ξ<0=R(ξ>4)=接下來(lái)，我們需要求RO<ξ<2)。由于正態(tài)分布的全概率為1,且曲線關(guān)于x=2對(duì)稱，我們可以將整個(gè)概率空間分為三部分:(-～,の,(0,2),和(2,+～)。其中,X-～,の=0.028(已知),A(2,+～)=X-～,の=0.028(由對(duì)稱性得但是題目要求的是KO<ξく2),由于正態(tài)分布是連續(xù)的,単點(diǎn)ξ=0或ξ=2的概率都是0,即Rξ=0=Rξ=2)=0。這說(shuō)明選項(xiàng)A正確地表示了給定函數(shù)在(x>0時(shí)的導(dǎo)數(shù)形式。二、填空題(本大題有6小題，每小題5分，共30分)1、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A的秩為r,則A有個(gè)特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì)算),且對(duì)應(yīng)于A的非零特征值的特征向量都是的.首先，由于A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，A的所有特征值都是實(shí)其次，A的秩為r,意味著A的列向量組的秩為r,也即A的列向量組中存在r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。根據(jù)矩陣的秩與特征值的關(guān)系，矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)等于A的秩，即r。最后，對(duì)應(yīng)于A的非零特征值的特征向量，由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，這些特征向量都故答案為：r;實(shí)向量。則f(1)=答案：2首先，我們注意到函數(shù)在x=1處有一個(gè)可去間斷點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，分母為0,但分子也為0,所以可以通過(guò)因式分解來(lái)消除這個(gè)間斷點(diǎn)。當(dāng)x≠1時(shí)，函數(shù)簡(jiǎn)化為f(x)=x+1,這是一個(gè)一次函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。但是，題目要求的是f(1),由于原函數(shù)在x=1處不連續(xù)(實(shí)際上是可去間斷點(diǎn)，但按原函數(shù)形式不能直接求導(dǎo)),我們需要通過(guò)求導(dǎo)簡(jiǎn)化后的函數(shù)f(x)=x+1(注意此時(shí)x≠1)來(lái)得到答案。然而，由于簡(jiǎn)化后的函數(shù)f(x)=x+1在整個(gè)實(shí)數(shù)域上都是連續(xù)的，并且其導(dǎo)數(shù)f(x)=1在x=1處也成立(盡管原函數(shù)在x=1處未定義),我們可以直接得出：但這里有一個(gè)陷阱，因?yàn)樵瘮?shù)在x=1附近實(shí)際上是x+1(除了x=1這一點(diǎn)),所以當(dāng)我們談?wù)揻(1)時(shí)，我們實(shí)際上是在談?wù)搙+1在x=1處的導(dǎo)數(shù)，即：格的數(shù)學(xué)邏輯，由于原函數(shù)在x=1處未定義，因此f(1)也是未定義的。但考慮到題目的實(shí)際背景和常見(jiàn)的處理方式(即認(rèn)為題目是在詢問(wèn)x+I在x=1處的導(dǎo)數(shù)),我們可以給出答案f(1)=1。但這里我注意到原始答案給出的是2,這實(shí)際在x=1處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)(盡管嚴(yán)格來(lái)說(shuō)不存在),那么答案也應(yīng)該是1,而不是2。因此，我認(rèn)為這里的答案2是不正確的，正確答案應(yīng)該是1(盡管在實(shí)際操作中，我們可能會(huì)接受2作為對(duì)題目意圖的一種理解，但這種理解并不嚴(yán)謹(jǐn))。但既然題目已經(jīng)給出了答案2,并且要求我按照這個(gè)答案進(jìn)行解析，我將嘗試給出一個(gè)基于這個(gè)答案的解析(盡管這個(gè)解析在數(shù)學(xué)上可能并不嚴(yán)謹(jǐn)):如果我們(不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?認(rèn)為f(1)是在詢問(wèn)某種“廣義”的導(dǎo)數(shù)，或者是在詢問(wèn)f(x)那么我們可以(不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?得出f(1)=2。但請(qǐng)注意，這個(gè)解析在數(shù)學(xué)上是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模⑶乙蕾囉趯?duì)題目意圖的非標(biāo)準(zhǔn)理解。在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏3、已知隨機(jī)變量專服從正態(tài)分布N(1,o^2),若P(ξ<0)=0.3,則P(0≤答案：0.4隨機(jī)變量5服從正態(tài)分布A(1,o2),其中1是均值，表示正態(tài)分布曲線關(guān)于x=1對(duì)稱。已知Rξ<0=0.3,由于正態(tài)分布的對(duì)稱性，我們有Rξ>2)=Rξ<0=0.3。正態(tài)分布曲線下的總面積為1,因此RO≤ξ≤2)可以通過(guò)以下方式計(jì)算：故答案為：0.4。4、已知f(x)=|x-1|+|x+1|,g(x)=x^2+2x+2a成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍答案：(-1,+∞)首先，我們求函數(shù)f(x)的值域。由于f(x)=|x-1|+|x+1|,根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式性質(zhì)，我們有f(x)=|x-I|+|x+I|≥I(x-1-(x+D|=2當(dāng)且僅當(dāng)(x-D(x+1≤0,即因此，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,+∞]。接下來(lái)，我們求函數(shù)g(x)的值域。函數(shù)g(x)=x2+2x+2a-1可以化為完全平方的形式：g(x)=(x+D2+2a-2由于(x+)2≥0,所以g(因此，函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇2a-2,+∞]。這等價(jià)于說(shuō)，函數(shù)f(x)的值域必須是函數(shù)g(x)的值域的子集。即，[2,+∞]S[2a-2,+∞]。因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,+∞)。5、已知函數(shù),若函數(shù)g(x)=f(x)-kx在R上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是1.當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-2x,考慮其與直線y=kx的●解此方程，得x(x-2-k)=0,即x=0或x=2+k。上只有一個(gè)交點(diǎn)(即x=0),不滿足題意?！褚虼耍覀冃枰业搅硪环N情況，即y=kx(k>0)與f(x)在x≤0上無(wú)交點(diǎn)，整理得kx2-1=0?！窠獯朔匠?，得但由于x>0,所以只取正根，即●這里的“相切但不交”意味著直線y=kx(k>0)的斜率k必須小于直線y=x-2(即f(x)=x2-2x在x=0處的切線)的斜率1,但又必須大于0以保證與這個(gè)正數(shù)可以通過(guò)考慮f(x)在x≤0時(shí)的最大值來(lái)得到，但此處我們直接利用6、設(shè)函數(shù)f(x)={}答案：0或1但這里a=1不滿足a≤0的條件，所以此情況下無(wú)解。此時(shí)a=1滿足a>0的條件，所以a=1是一個(gè)解。然而，我們注意到在a=0時(shí)，雖然a不嚴(yán)格大于0,但a≤0是成立的，且f(0=20-1=1也滿足條件。因此，綜合以上兩種情況，我們得出a=0或a=1。第一題(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；【答案】當(dāng)x∈(-1,の當(dāng)x∈(0,+∞)所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,の),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)。,其中x>0,所以，函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。所以，函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+○)。第二題)上單調(diào)遞減(因?yàn)?g'(x)=-a(tanx+xsec2x)<0),,其中a∈R?！敬鸢浮?1)當(dāng)a=1時(shí)，函·首先確定定義域:由于1n(x+り存在,所以x+1>0,即x>-I。因此,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+～)。●因此，對(duì)于任意a>1,都有8min=h(a)<0,即對(duì)于任意x∈(0,+∞),都有g(shù)(x)<綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+)。(1)求(a,b)的值；●切線斜率為0(因?yàn)?y=1)是水平線),即(f'(0=の。代入(f"(x))得(a=0。(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意xj,x?∈(0,+∞)【答案】(0,+∞)上單調(diào)遞增。和(x?,+∞)上g(x)>0,f(x)>0;在(x,x2)上g(x)<0,f(x)<0。因此，函數(shù)f(x)在(0,x?)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(xj,x2)上單調(diào)遞減。,不滿足題意。當(dāng)m<-2或m>2時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,x?)和(x?,+○)上單調(diào)遞增，在(x?,x?)上單調(diào)遞又因?yàn)閒(x)max和f(x)min分別為f(x)的極大值和極小值，且兩者相鄰，所以