第02講 二次函數(shù)y=ax^2＋c(a≠0)與y=ax-h^2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì)（解析版）

第02講二次函數(shù)y=ax^2＋c(a≠0)與y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象（1）（2）2.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點(diǎn)、對稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：函數(shù)圖象開口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，c)(0，c)對稱軸y軸y軸函數(shù)變化當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.最大（小）值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，3.二次函數(shù)與之間的關(guān)系；（上加下減）.的圖象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│個(gè)單位得到的圖象.要點(diǎn)詮釋：拋物線的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，與拋物線的形狀相同．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向上（或向下）平移個(gè)單位得到的，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)．拋物線y＝ax2(a≠0)的對稱軸、最值與頂點(diǎn)密不可分，其對稱軸即為過頂點(diǎn)且與x軸垂直的一條直線，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已．二、函數(shù)與函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題．三、二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．要點(diǎn)詮釋：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）【考點(diǎn)剖析】題型一、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質(zhì)例1．求下列拋物線的解析式：（1）與拋物線形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5）的拋物線；（2）頂點(diǎn)為（0，1），經(jīng)過點(diǎn)（3，-2）并且關(guān)于y軸對稱的拋物線．【答案與解析】（1）由于待求拋物線形狀相同，開口方向相反，可知二次項(xiàng)系數(shù)為，又頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5），故常數(shù)項(xiàng)，所以所求拋物線為．（2）因?yàn)榇髵佄锞€頂點(diǎn)為（0，1），所以其解析式可設(shè)為，又∵該拋物線過點(diǎn)（3，-2），∴，解得．∴所求拋物線為．【總結(jié)升華】拋物線形狀相同則相同，再由開口方向可確定的符號，由頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定的值，從而確定拋物線的解析式．例2．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出和的圖象，并根據(jù)圖象(如圖所示)回答下列問題．(1)拋物線向________平移________個(gè)單位得到拋物線；(2)拋物線，開口方向是________，對稱軸為________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為________；(3)拋物線，當(dāng)x________時(shí)，隨x的增大而減??；當(dāng)x________時(shí)，函數(shù)y有最________值，其最________值是________．【答案】(1)下；l；(2)向下；y軸；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩條拋物線，利用圖象回答問題．(1)拋物線向下平移1__個(gè)單位得到拋物線；(2)拋物線，開口方向是向下，對稱軸為___y軸_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(0，1)__；(3)拋物線，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＝0__時(shí)，函數(shù)y有最大值，其最大__值是1．【總結(jié)升華】本例題把函數(shù)與函數(shù)的圖象放在同一直角坐標(biāo)系中進(jìn)行對比，易得出二次函數(shù)與的圖象形狀相同，只是位置上下平移的結(jié)論．可以看作是把的圖象向上或向下平移個(gè)單位得到的．例3.有一個(gè)拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要在隧道壁上點(diǎn)P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點(diǎn)B的距離．【答案與解析】（1）由題意，設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為y=ax2+6（a＜0），

∵點(diǎn)A（-4，0）或B（4，0）在拋物線上，

∴0=a?（-4）2+6，

16a+6=0，16a=-6，

．

故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，連接PB，則PQ=4.5m．

將y=4.5代入，得x=±2．

∴P（-2，4.5），Q（-2，0），

于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，

從而|PB|=

所以照明燈與點(diǎn)B的距離為7.5m．【總結(jié)升華】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的位置可設(shè)解析式：y=ax2+6，把點(diǎn)A（-4，0）代入即可；（2）燈離地面高4.5m，即y=4.5時(shí)，求x的值，再根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理求PB的值.【變式】(1)拋物線的開口方向，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．(2)拋物線與的形狀相同，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則其解析式為．(3)拋物線向平移個(gè)單位后，得到拋物線.【答案】(1)下；y軸；（0，-5）.(2)y=3x2+1,y=-3x2+1.(3)下；10.例4.根據(jù)下列條件求a的取值范圍：(1)函數(shù)y＝(a-2)x2，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；(2)函數(shù)y＝(3a-2)x2有最大值；(3)拋物線y＝(a+2)x2與拋物線的形狀相同；(4)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線．【答案與解析】(1)由題意得，a-2＜0，解得a＜2．(2)由題意得，3a-2＜0，解得．(3)由題意得，，解得，．(4)由題意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．【總結(jié)升華】解答此類問題，要注意聯(lián)想二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，抓住形狀、開口、最值、增減性等特征，并結(jié)合草圖去確定二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍．【變式】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象大致為（）．【答案】B.例5.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象可能是（）A． B． C． D．【總結(jié)升華】先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母a、b的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象相比較看是否一致．【答案】D.【解析】解：A、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限可知：a＜0，b＜0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向上，∴a＞0，A不正確；B、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向下，∴a＜0，B不正確；C、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向上，∴a＞0，C不正確；D、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向上，頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴a＞0，b＞0，D正確．故選D．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象逐條分析四個(gè)選項(xiàng)中a、b的正負(fù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象找出其系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)圖象進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．題型二、二次函數(shù)圖象及性質(zhì)例6．二次函數(shù)y=﹣（x﹣3）2+2的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，對稱軸是．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式分別解答即可．【答案】（3，2），直線x=3．【解析】二次函數(shù)y=﹣（x﹣3）2+2；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，1），對稱軸是直線x=3．故答案為：（3，2），直線x=3．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式形式求解對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．【變式】將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到的拋物線解析式為．【答案】.例7．將拋物線y=x2﹣6x+5向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度后，求得到的拋物線解析式.【答案與解析】解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4），把點(diǎn)（3，﹣4）向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣2），∴平移后得到的拋物線解析式為y=（x﹣4）2﹣2．【總結(jié)升華】由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．【變式】二次函數(shù)的圖象可以看作是二次函數(shù)的圖象向平移4個(gè)單位，再向平移3個(gè)單位得到的．【答案】上；右.例8.已知是由拋物線向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度得到的拋物線．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐標(biāo)系中，畫出與的圖象；(3)觀察的圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x增大而減小，并求出函數(shù)的最值；(4)觀察的圖象，你能說出對于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎?【答案與解析】(1)∵拋物線向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度得到的拋物線是，∴，，．(2)函數(shù)與的圖象如圖所示．(3)觀察的圖象知，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y有最大值是2．(4)由圖象知，對于一切x的值，總有函數(shù)值y≤2．【總結(jié)升華】先根據(jù)平移的性質(zhì)求出拋物線平移后的拋物線的解析式，再對比得到a、h、k的值，然后畫出圖象，由圖象回答問題．【變式】把二次函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)的圖象．（1）試確定a、h、k的值；（2）指出二次函數(shù)的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，分析函數(shù)的增減性．【答案】（1）.（2）開口向下，對稱軸x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-5），當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大.例9.二次函數(shù)y=（x﹣1）2+1，當(dāng)2≤y＜5時(shí)，相應(yīng)x的取值范圍為．【思路點(diǎn)撥】把y=2和y=5分別代入二次函數(shù)解析式，求x的值，已知對稱軸為x=1，根據(jù)對稱性求x的取值范圍．【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【解析】解：當(dāng)y=2時(shí)，（x﹣1）2+1=2，解得x=0或x=2，當(dāng)y=5時(shí)，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，又拋物線對稱軸為x=1，∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的增減性，對稱性．關(guān)鍵是求出函數(shù)值y=2或5時(shí)，對應(yīng)的x的值，再結(jié)合圖象確定x的取值范圍．題型三、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例10．二次函數(shù)y1=a（x﹣2）2的圖象與直線y2交于A（0，﹣1），B（2，0）兩點(diǎn)．（1）確定二次函數(shù)與直線AB的解析式．（2）如圖，分別確定當(dāng)y1＜y2，y1=y2，y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍．【答案與解析】解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，∴二次函數(shù)解析式為y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，則直線AB解析式為y=x﹣1；（2）根據(jù)圖象得：當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的范圍為x＜0或x＞2；y1=y2時(shí)，x=0或x=2，y1＞y2時(shí)，0＜x＜2．【總結(jié)升華】可先由待定系數(shù)法建立方程組求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象寫出自變量的取值范圍．例11.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列三條拋物線：，，．（1）觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請你說出拋物線的開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案與解析】（1）列表：…-3-2-10123……202…描點(diǎn)、連線，可得拋物線．將的圖象分別向上和向下平移3個(gè)單位，就分別得到與的圖象（如圖所示）．拋物線，與開口都向上，對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）拋物線的開口向上，對稱軸是y軸（或直線），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．【總結(jié)升華】先用描點(diǎn)法畫出的圖象，再用平移法得到另兩條拋物線，并根據(jù)圖象回答問題．規(guī)律總結(jié)：．例12.已知：二次函數(shù)y=x2﹣4x+3．（1）求出該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0．【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3，∴y=（x﹣2）2﹣1，∴對稱軸為：直線x=2，∴頂點(diǎn)（2，﹣1）；（2）令y=0，則，x2﹣4x+3=0，∴（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x1=1，x2=3，∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0）；（3）當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y＜0．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸坐標(biāo)的求解方法，二次函數(shù)與不等式，熟記性質(zhì)并把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式求解更簡便．【變式】已知拋物線y=2（x﹣1）2﹣8．（1）直接寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)：，對稱軸：；（2）x取何值時(shí)，y隨x增大而增大？【答案與解析】解：（1）拋物線y=2（x﹣1）2﹣8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣8），對稱軸為直線x=1；故答案為（1，﹣8），直線x=1；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大．例13.如圖所示，拋物線的頂點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)B．(1)求直線AC的解析式；(2)求△ABC的面積；(3)當(dāng)自變量x滿足什么條件時(shí)，有?【答案與解析】(1)由知拋物線頂點(diǎn)C(-1，0)，令x＝0，得，∴．由待定系數(shù)法可求出，，∴．(2)∵拋物線的對稱軸為x＝-1，根據(jù)拋物線對稱性知．∴．(3)根據(jù)圖象知或時(shí)，有．【總結(jié)升華】圖象都經(jīng)過A點(diǎn)和C點(diǎn)，說明A點(diǎn)、C點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)圖象上，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式，解答這類題時(shí)，要畫出函數(shù)圖象，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和拋物線的對稱性，特別要慎重處理平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(數(shù))與線段長度(形)之間的關(guān)系，不要出現(xiàn)符號上的錯(cuò)誤，充分利用函數(shù)圖象弄清函數(shù)值與自變量的關(guān)系，利用圖象比較函數(shù)值的大小，或根據(jù)函數(shù)值的大小，確定自變量的變化范圍．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2021秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（，0）【答案】B【分析】直接根據(jù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣2）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)(a，h，k為常數(shù)，a≠0)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．是拋物線的頂點(diǎn)式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點(diǎn)是(0，k)，對稱軸是y軸．2．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，是二次函數(shù)上的兩點(diǎn)，若，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，對稱軸為，，∴拋物線的開口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，，∴點(diǎn)在對稱軸的兩側(cè)，且，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向下B．對稱軸是直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：A、∵，∴函數(shù)圖象開口向下，故A正確，不符合題意；B、對稱軸是直線，故B正確，不符合題意；C、頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故C正確，不符合題意；D、∵函數(shù)圖象開口向下，對稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故D不正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開口向下．4．（2022秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）已知，為拋物線上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷拋物線的開口方向和對稱軸位置，再根據(jù)增減性求解即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，又∵，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，，．直線的圖象與函數(shù)，，的圖象分別交于點(diǎn)，，，（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】按照題意，畫出滿足題意的圖象，根據(jù)直線與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖所示，A．由圖象可知，若，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．由圖象可知，若，，當(dāng)時(shí)，不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．由圖象可知，若，當(dāng)時(shí)，不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．由圖象可知，若，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則坐標(biāo)原點(diǎn)可能是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，∴原點(diǎn)在函數(shù)頂點(diǎn)的左上方，由圖可知，坐標(biāo)原點(diǎn)只可能是點(diǎn)；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象，確定二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，．直線的圖象與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，得（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)題意分別畫出的圖象，繼而根據(jù)圖象即可求解．【詳解】解：∵直線的圖象與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，A.若，如圖所示，則

B.若，如圖所示，則則，故B選項(xiàng)不合題意，C.若，如圖所示，∴，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┰谙铝泻瘮?shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)，一定能使的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各函數(shù)的增減性依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、中，，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，故本選項(xiàng)不成立；B、∵的對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，故本選項(xiàng)不成立；C、∵的對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，故本選項(xiàng)成立；D、∵中，，∴y隨x的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，故本選項(xiàng)不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握各類函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．二、填空題9．（2022秋·浙江寧波·九年級?？茧A段練習(xí)）如果拋物線開口向下，那么a的取值范圍是______．【答案】a＞2【分析】】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)2-a＜0．【詳解】∵拋物線y=（2-a）x2+2開口向下，∴2-a＜0，即a＞2，故答案為：a＞2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．用到的知識點(diǎn)：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）來說，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開口向下．10．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，則t的取值范圍為______．【答案】或【分析】先根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)題意可得該二次函數(shù)的圖象取對稱軸的左邊或?qū)ΨQ軸的右邊，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)表達(dá)式為，∴該函數(shù)的對稱軸為直線，∵圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，∴或，∵，∴，解得：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象，會根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)的對稱軸．11．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該二次函數(shù)的表達(dá)式為____________．【答案】或【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線相同，可得，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，，∴，∴，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值相等是解題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江金華·九年級浙江省義烏市稠江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一拋物線的對稱軸為，且經(jīng)過點(diǎn)A（3,3），那么點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為____________【答案】（-1,3）【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為，點(diǎn)A（3,3），∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,3）【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖形的性質(zhì)和特征，應(yīng)用對稱性性是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┮阎c(diǎn)、為拋物線上的兩點(diǎn)，如果，那么______填“”“”或“”【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式即可得出該函數(shù)的對稱軸和開口方向，根據(jù)對稱軸和開口方向分析函數(shù)的增減性即可解答．【詳解】解：拋物線表達(dá)式為：，∴函數(shù)開口向上，對稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增加而減小，時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴，故答案為：>．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物表達(dá)式得出函數(shù)的開口方向和對稱軸，從而分析函數(shù)的增減性．14．（2022秋·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）一拋物線的形狀，開口方向與相同，頂點(diǎn)在(－2，3)，則此拋物線的解析式為_______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得．【詳解】拋物線的頂點(diǎn)為可設(shè)此拋物線的解析式為又此拋物線的形狀，開口方向與相同則此拋物線的解析式為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）拋物線的開口方向是______．【答案】向下【分析】由函數(shù)解析式可得，結(jié)合拋物線的性質(zhì)即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵，∴，故答案為：向下．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)：開口向下，正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值是______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性，結(jié)合圖像與性質(zhì)即可得到二次函數(shù)圖像的對稱軸為，從而確定值，得到二次函數(shù)解析式為，將代入即可得到結(jié)論．【詳解】解：二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，即，二次函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)增減性與對稱軸的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．17．（2020·浙江·模擬預(yù)測）無論取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)都在二次函數(shù)上，是二次函數(shù)上的點(diǎn)，則_____________．【答案】3【分析】由題意可知y=2x2-1，首先把點(diǎn)Q（m，n）代入二次函數(shù)y=2x2-1解析式，代入得出，關(guān)于m，n的等式進(jìn)一步整理得出答案即可．【詳解】解：由題意得，當(dāng)x=a-1時(shí)，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，∴可得：y=2x2-1，∵Q（m，n）是二次函數(shù)y=2x2-1上的點(diǎn)，∴2m2-1=n，∴2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，注意適合解析式的點(diǎn)在圖象上，在圖象上的點(diǎn)都適合二次函數(shù)．18．（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，的最小值為，的最大值，則的值為___________．【答案】【分析】由題意可得，，則的最小值為為負(fù)數(shù)，最大值為為正數(shù)．分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值，求出的值，當(dāng)時(shí)，取最大值，可求得的值，即可得到的值；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，求出的值，當(dāng)時(shí)，取最大值，求出的值，或時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值，分別求出，的值，故可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的大致圖象如下：時(shí)，的最小值為，的最大值為，，，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值，即，解得：．當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得：或均不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得：．當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得：，或時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值，，，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)的圖像以點(diǎn)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）直接寫出隨的增大而增大時(shí)自變量的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)直接設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，然后代入B點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；（2）結(jié)合解析式，根據(jù)開口方向以及對稱軸即可確定范圍．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為．由題知：，，則，又∵二次函數(shù)圖像過點(diǎn)∴，∴．∴二次函數(shù)的解析式為：．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析式求解以及增減性的判斷，靈活從二次函數(shù)三種形式中選擇合適的表達(dá)式求解是解題關(guān)鍵．20．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)A(2，0)．（1）求的值和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的解析式．【答案】（1），M(1，-2)；（2）【分析】（1）將A(2，0)代入拋物線的解析式，可求得m的值，再配成頂點(diǎn)式即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的解析式．【詳解】解

（1）∵拋物線過點(diǎn)A(2，0)，，解得，，,∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1，-2)；（2）設(shè)直線AM的解析式為，∵圖象過A(2，0)，M(1，-2)，，解得，∴直線AM的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．21．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┮阎?1)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，求S的值；(3)求S的最大值或最小值．【答案】(1)(2)25(3)S有最小值-11【分析】（1）將x和y的表達(dá)式代入S的表達(dá)式即可；（2）將代入（1）中得到的函數(shù)表達(dá)式求解即可；（3）將（1）中的函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式即可解答．【詳解】（1）解：將代入得：，∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）將代入得：，∴當(dāng)時(shí)．（3），∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)S有最小值-11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，得出函數(shù)的最值．22．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)與二次函數(shù)的圖形．（1）從拋物線的開口方向、形狀、對稱軸、頂點(diǎn)等方面說出兩個(gè)函數(shù)圖象的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)；（2）說出兩個(gè)函數(shù)圖象的性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象解答即可；（2）從開口大小和增減性兩個(gè)方面作答即可.【詳解】（1）解：如圖：，與圖象的相同點(diǎn)是：形狀都是拋物線，對稱軸都是y軸，與圖象的不同點(diǎn)是：開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1）；（2）解：兩個(gè)函數(shù)圖象的性質(zhì)的相同點(diǎn)：開口程度相同，即開口大小一樣；不同點(diǎn)：，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)睛】