2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．已知橢圓方程為：，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．4 B．2 C． D．4．高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．100名學(xué)生是個(gè)體B．樣本容量是100C．每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本D．1000名學(xué)生是樣本5．某單位為了解該單位黨員開(kāi)展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學(xué)習(xí)時(shí)間(小時(shí))7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，96．已知某4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為3，現(xiàn)又加入一個(gè)數(shù)據(jù)6，此時(shí)這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為（

）A． B． C． D．7．已知直線與直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知圓與圓的公切線條數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1,分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：①四邊形為平行四邊形；②若四邊形面積,則有最小值；③若四棱錐的體積，，則常函數(shù)；④若多面體的體積，，則為單調(diào)函數(shù)．其中假命題為（

）A．① B．② C．③ D．④10．已知曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．曲線經(jīng)過(guò)個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)D．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為二、填空題（本大題共6小題）11．若點(diǎn)，，則以為直徑的圓C的方程是．12．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則該雙曲線的離心率為．13．如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線和BN的夾角的余弦值為14．已知長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的角的余弦值為.15．若點(diǎn)M在直線l：上，則點(diǎn)M到點(diǎn)，的距離之和的最小值為．16．已知曲線的方程，給出下列個(gè)結(jié)論：①曲線是以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓的一部分；②曲線關(guān)于軸、軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③若點(diǎn)在曲線上，則，；④曲線圍成的圖形的面積是．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題）17．已知，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.(1)求角；(2)若，的面積.18．為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會(huì)進(jìn)行了居民對(duì)社區(qū)工作滿意度的問(wèn)卷調(diào)查．隨機(jī)抽取了100戶居民的問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：(1)求的值；(2)求這100戶居民問(wèn)卷評(píng)分的中位數(shù)；(3)若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再?gòu)倪@6戶居民中選取4戶進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，求這4戶居民中恰有1戶的評(píng)分在內(nèi)的概率．19．已知圓，直線過(guò)點(diǎn).(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)當(dāng)直線的斜率存在且與圓相切于點(diǎn)時(shí)，求.20．如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,,且,為的中點(diǎn)．(1)求證:⊥平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：（）的離心率為，直線：與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于直線的直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．(3)直線：與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上不同于M、N的一動(dòng)點(diǎn)，直線MP的斜率記作，直線NP的斜率記作，當(dāng)與存在時(shí)，求證：與的乘積為定值．22．已知集合（）對(duì)于，，定義A與B的差為；A與B之間的距離為．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，求，；(2)證明：，有，且；(3)證明：，，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．

答案1．【正確答案】D【詳解】得到，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：D.2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意，.故選：A.3．【正確答案】A【詳解】橢圓方程可化為，故，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.故選：A.4．【正確答案】B【詳解】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念考查的對(duì)象都是學(xué)生成績(jī)，而不是學(xué)生，根據(jù)選項(xiàng)可得選項(xiàng)A、D表達(dá)的對(duì)象都是學(xué)生，而不是成績(jī)，所以A、D都錯(cuò)誤．C每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本也是錯(cuò)的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績(jī)是一個(gè)個(gè)體．B：樣本的容量是100正確．故選:B．5．【正確答案】A【詳解】黨員人數(shù)一共有，學(xué)習(xí)黨史時(shí)間為8小時(shí)的人數(shù)最多，故學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)為8，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)是第16和17個(gè)數(shù)的平均數(shù)，把學(xué)習(xí)黨史時(shí)間從小到大進(jìn)行排序，根據(jù)所給數(shù)據(jù)可知第16，17個(gè)數(shù)分別為8，9，所以第40百分位數(shù)是故選：A.6．【正確答案】D【詳解】因?yàn)閭€(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以（其中四個(gè)數(shù)分別為，）故，加入一個(gè)數(shù)據(jù)后，個(gè)數(shù)的平均數(shù)還是,則方差為，即這個(gè)數(shù)據(jù)的方差為.故選：D7．【正確答案】A【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.8．【正確答案】C【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以?xún)蓤A外切，所以圓與圓的公切線有3條.故選：C9．【正確答案】D【詳解】解：對(duì)①，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，正確；對(duì)②，因?yàn)槠矫?，，所以平面，平面，所以，所以四邊形的面積，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)有最小值，正確；對(duì)③，，因?yàn)闉槎ㄖ?，，到平面的距離為定值，所以的體積為定值，即為常函數(shù)，正確對(duì)④，如圖過(guò)作平面平面，分別交，，于，，，則多面體的體積為，而，，，所以，常數(shù)，錯(cuò).所以錯(cuò)誤命題的序號(hào)為④.故選:D．10．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，將關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)代入曲線的方程可得：，即，滿足曲線方程，在曲線上，即曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將代入曲線方程知：曲線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，由A知：曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，曲線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又曲線經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，曲線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)必為奇數(shù)個(gè)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由得：，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（時(shí)也成立），曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，C正確；對(duì)于D，由得：，必為與曲線的一個(gè)交點(diǎn)，有且僅有一個(gè)實(shí)根或無(wú)實(shí)根，，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D錯(cuò)誤.故選：C.11．【正確答案】【詳解】易知，所以圓C的半徑為，圓心為的中點(diǎn)，坐標(biāo)為；因此圓C的方程為.故12．【正確答案】【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，，，故．13．【正確答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.故14．【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則平面與平面所成角的余弦值．故．15．【正確答案】【詳解】由已知，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則解得，即，所以．故答案為.16．【正確答案】②④【詳解】①根據(jù)題意，方程，即，表示四條線段，其圖形如圖所示，故①錯(cuò)誤；②由圖可知，曲線關(guān)于軸，軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故②正確；③若點(diǎn)在曲線上，則，，故③錯(cuò)誤；④曲線圍成的面積，故④正確．綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是②④．填②④17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由已知根據(jù)余弦定理求解，然后根據(jù)特殊角的函數(shù)值求解即可；（2）結(jié)合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由余弦定理，所以，又，所以.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，由已知得，故，故，所?18．【正確答案】(1)0.02；(2)77.5分；(3).【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得，解得.（2）由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)落在的頻率為，數(shù)據(jù)落在的頻率為，因此中位數(shù)，有,解得，所以中位數(shù)為77.5分.（3）評(píng)分在對(duì)應(yīng)的頻率為0.1，0.2，從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取6人，則評(píng)分在占2人，記為，評(píng)分在占4人，記為A,B,C,D，從6人中選取4人的樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，這4戶居民中恰有1戶的評(píng)分在內(nèi)的事件，其8個(gè)樣本點(diǎn)，所以這4戶居民中恰有1戶的評(píng)分在內(nèi)的概率.19．【正確答案】(1)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為；(2)或；(3).【詳解】（1）圓方程可化為:，圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線距離為，滿足題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程是，即.由圓心到直線的距離等于半徑得，，解得，此時(shí)直線的方程為.綜上，直線的方程為或.（3）∵圓的圓心坐標(biāo)為，，∴.如圖，由相切得，，，∴.20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2);(3)存在,且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?則,,因?yàn)?,,且兩直線在平面內(nèi)，∴⊥平面,∵平面,∴,因?yàn)?,,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面.（2）因?yàn)椤推矫?,不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè)平面的法向量為,則,,,由,取,可得,,所以,與平面所成角的正弦值為;（3）設(shè)點(diǎn),設(shè)平面的法向量為,,,由,取,則,所以,點(diǎn)到平面的距離為,∵,∴．因此,當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)到平面的距離為．21．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)，則，得，所以，解得：，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線，聯(lián)立，得，設(shè)，，，得，其