2024-2025學(xué)年北京市宣武區(qū)高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市宣武區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．直線(xiàn)的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直線(xiàn)：，.若，則實(shí)數(shù)（

）A．0或 B．0 C． D．或23．“”是“直線(xiàn)與互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件4．已知為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，記的軌跡為，則（

）A．是一個(gè)半徑為的圓 B．是一條與相交的直線(xiàn)C．上的點(diǎn)到的距離均為 D．是兩條平行直線(xiàn)5．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線(xiàn)，則的最小值（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則（

）A．3 B． C． D．8．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，2），且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則直線(xiàn)的方程為（

）A．B．C．或D．或9．已知直線(xiàn)，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．笛卡爾、牛頓研究過(guò)方程，關(guān)于這個(gè)方程的曲線(xiàn)有下列說(shuō)法，其中正確的是（）A．該曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) B．該曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．該曲線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限 D．該曲線(xiàn)上有且只有三個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)二、填空題（本大題共6小題）11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)B在C上.若，則直線(xiàn)AB的方程為.12．若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為，寫(xiě)出滿(mǎn)足“面積最大”的的一個(gè)值.13．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則_____________．14．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為，若，則.15．已知雙曲線(xiàn)，請(qǐng)從以下四個(gè)條件中任選兩個(gè)條件，使雙曲線(xiàn)存在且唯一確定，并根據(jù)所選條件求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.①焦距為4；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為；④離心率為2.你選擇的兩個(gè)條件是，得到的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是.16．若直線(xiàn)被圓所截的弦長(zhǎng)不小于，則在下列曲線(xiàn)中：①②③④與直線(xiàn)一定有公共點(diǎn)的曲線(xiàn)的序號(hào)是.（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有序號(hào)）三、解答題（本大題共1小題）17．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn).以的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長(zhǎng)為.(1)求栯圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn).點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形是菱形.求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

答案1．【正確答案】C【分析】先求解出直線(xiàn)的斜率，然后根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解出傾斜角的大小.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)方程為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，所以，所以，故選：C.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行得到方程，求出或，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，：，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，：，兩直線(xiàn)重合，不合要求，舍去，綜上，.故選B.3．【正確答案】A【分析】判斷兩直線(xiàn)垂直的方法：設(shè)兩直線(xiàn)為，，，代入求解參數(shù)，根據(jù)充分必要性的判斷法則即可得答案.【詳解】解：由題意得：的充要條件是即，故解得于是“”是“直線(xiàn)與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】C【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線(xiàn)上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線(xiàn)上，故，化簡(jiǎn)得，即的軌跡為為直線(xiàn)且與直線(xiàn)平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選C.5．【正確答案】D【詳解】解：表示直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，如圖所示：

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則由圖知：的最小值為，故選：D6．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到直線(xiàn)與圓相切或相離，結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線(xiàn)，可得直線(xiàn)與圓相切或相離，則滿(mǎn)足圓心到直線(xiàn)的距離，解得，即，所以的最小值為.故選：D.7．【正確答案】B【詳解】由雙曲線(xiàn)可得：，，所以，故選：B.8．【正確答案】C【詳解】當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，把點(diǎn)代入方程，得，即，所以直線(xiàn)的方程為；當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，把點(diǎn)代入方程，得，即，所以直線(xiàn)的方程為．故選：C．9．【正確答案】B【分析】由題意首項(xiàng)得，再結(jié)合必要不充分條件的定義、斜率與傾斜角的關(guān)系，兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】由題意可知兩直線(xiàn)均有斜率，所以，若取，則有，但；若，又，所以，而，綜上所述，“”是“”的必要而不充分條件.故選B.10．【正確答案】C【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然等式不成立，故，所以，令，則，故，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故，所以該曲線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限，C正確；D選項(xiàng)，，其中，當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，故整數(shù)點(diǎn)至少有8個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：C11．【正確答案】或【分析】先根據(jù)焦半徑公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)，則，則，此時(shí)，所以或，又由已知，直線(xiàn)AB的方程為或，整理得或.故或.12．【正確答案】21（均可）【分析】求出圓心到直線(xiàn)的距離，則，再由基本不等式求出面積最大值，以及此時(shí)的值.【詳解】直線(xiàn)，則，令，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，的圓心為，半徑，顯然點(diǎn)在上，圓心到直線(xiàn)的距離，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，解得或.故；（均可）.13．【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義有，結(jié)合已知即可求參數(shù)p的值.【詳解】由拋物線(xiàn)定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故14．【正確答案】208【詳解】橢圓，∴，的周長(zhǎng)是，所以故答案為∶20，815．【正確答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由為雙曲線(xiàn)方程，可知，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，此時(shí)，漸近線(xiàn)方程為：，若選①②，則，，所以，雙曲線(xiàn)方程為：，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為：；若選①③，由焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，可知，又，雙曲線(xiàn)方程為：，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為：；若選①④，則，，則，雙曲線(xiàn)方程為：，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為：；若選②③，則，，雙曲線(xiàn)方程為：，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為：；若選②④，則，，雙曲線(xiàn)方程為：，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為：；若選③④，則，又，則，雙曲線(xiàn)方程為：，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為：；故①②，；或①③，；或①④，；或②③，；或②④，；或③④，；16．【正確答案】①③【詳解】∵直線(xiàn)被圓：所截的弦長(zhǎng)不小于，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，所以，即圓心到直線(xiàn)的距離小于或等于，故直線(xiàn)一點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓面內(nèi)的點(diǎn)，如圖所示：觀(guān)察圖象可得滿(mǎn)足關(guān)系，圓面在橢圓內(nèi)，故與直線(xiàn)一定有公共點(diǎn)的曲線(xiàn)的序號(hào)是①③.故①③.17．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)以及等邊三角形的性質(zhì)可得且，即可求解得解，（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得的方程為，即可求解，.進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線(xiàn)方程，即可求解.【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為.因?yàn)橐缘囊粋€(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長(zhǎng)為，所以且，所以.所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，令，得，即.由得.設(shè)，則，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為的中點(diǎn)，，所以直線(xiàn)的斜率