河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上冊1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則()A.2 B. C.1 D.3.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則4.已知函數(shù)，若f(4)=2f(a),則實數(shù)a值為A.-1或2 B.2 C.-1 D.-25.角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A B. C. D.6.已知中，，且，則（）A. B. C.8 D.97.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.8.已知點滿足，且點Q恒在以、為左、右焦點的橢圓內(nèi)，延長與橢圓交于點，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題9.下列函數(shù)中，最小值為的有（）A. B.C. D.10.2021年10月16日，我國神舟十三號載人飛船順利升空，這是繼2021年9月17日神舟十二號順利返回地面后，一個月內(nèi)再次執(zhí)行載人飛行任務(wù)，實現(xiàn)了我國航天史無前例的突破，為弘揚航天精神，某網(wǎng)站舉辦了“我愛星辰大?！教毂痹诰€知識競賽，賽后統(tǒng)計，共有2萬市民參加了這次競賽，其中參賽網(wǎng)友的構(gòu)成情況，如下表所示：單位黨政機關(guān)企事業(yè)單位教師和學(xué)生個體工商戶普通市民參賽人數(shù)所占比例（單位：%）203025其中，則下列說法正確的是（）A.B.參賽人數(shù)所占比例的這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30%C.普通市民參賽人數(shù)為1千人D.各類別參賽人數(shù)的極差超過4000人11.如圖，在長方體中，，，若為的中點，則以下說法中正確的是（）A.線段的長度為 B.異面直線和夾角的余弦值為C.點到直線的距離為 D.三棱錐的體積為12.已知曲線為焦點在x軸上的橢圓，則（）A. B.離心率為C.m的值越小，C的焦距越大 D.的短軸長的取值范圍是三、填空題13.化簡：=_____.14.現(xiàn)有件相同的產(chǎn)品，其中件合格，件不合格，從中隨機抽檢件，則一件合格，另一件不合格的概率為______.15.若正方形一邊對角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為______，______.16.如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上的動點（不與，重合）過作的平行線交于點，將沿折起，點折起后的位置記為點，得到四棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．四、解答題17.在中，角所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求值.18.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，底面為菱形，，.（1）求銳二面角的大??；（2）求AP與平面所成的角的正弦值.19.已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最小值.20.將正整數(shù)數(shù)列、、、、、各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：（1）寫出數(shù)表的第行、第行；（2）寫出數(shù)表中第行的第個數(shù)；（3）設(shè)數(shù)表中每行的第個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，數(shù)表中每行的最后一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試分別寫出數(shù)列、的遞推公式，并求出它們的通項公式．21.已知拋物線的焦點為F，過F作平行于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(A在B的左側(cè))，若△AOB的面積為2.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P是拋物線C的準(zhǔn)線上一點，Q是拋物線上的一點，若PF⊥QF，求證：直線PQ與拋物線相切.22.已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，求的值.河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，集合，所以，故選：B.2.設(shè)為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則()A.2 B. C.1 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，進而根據(jù)純虛數(shù)列出關(guān)系式即可求解.【詳解】∵是純虛數(shù)∴，且，故故選：C3.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則【正確答案】D【分析】利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解【詳解】選項A：有可能出現(xiàn)的情況；選項B：和有可能異面；選項C：和有可能相交；選項D：由，，得直線和平面沒有公共點，所以，故選：D4.已知函數(shù)，若f(4)=2f(a),則實數(shù)a的值為A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2【正確答案】A【分析】利用分段函數(shù)對a討論，列出方程求解即可．【詳解】函數(shù)f（x），則f（4）＝2，當(dāng)a＞0時，f（4）＝2f（a）＝2，解得a＝2．當(dāng)a≤0時，f（4）＝2f（a），2a2＝2，解得a＝﹣1，綜上a＝﹣1或2．故選A．本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．5.角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦值的定義可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可【詳解】由題意可得，所以故選：C6.已知中，，且，則（）A. B. C.8 D.9【正確答案】B【分析】利用向量的運算以及模長公式求解.【詳解】因為，所以因中，，所以.故A，C，D錯誤.故選：B.7.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，研究其奇偶性以及特殊函數(shù)值的大小，可得答案.【詳解】由，則該函數(shù)的定義域為，將代入該函數(shù)，可得，故該函數(shù)為偶函數(shù)，則C、D錯誤，將代入函數(shù)，可得，故A錯誤，B正確.故選：B.8.已知點滿足，且點Q恒在以、為左、右焦點的橢圓內(nèi)，延長與橢圓交于點，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)，則，，利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理可得出，求出，則函數(shù)在上有零點，可得出關(guān)于、的不等式組，結(jié)合可計算得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，，由橢圓定義可得，，在中，由勾股定理可得，即，即，因為點在橢圓內(nèi)，則，又因為，所以，，令，則在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實根，則，所以，，所以，，因為點在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，，，因此，.故選：C.關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓離心率取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵在于通過勾股定理得出方程，在轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點來處理，同時要善于分析出點在橢圓內(nèi)這一條件，結(jié)合橢圓定義構(gòu)造不等式關(guān)系來求解橢圓離心率的取值范圍.二、多選題9.下列函數(shù)中，最小值為的有（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對于A和D選項不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求，對于BC選項，結(jié)合嗯不等式討論即可得判斷.【詳解】解：對于A，當(dāng)時，顯然不滿足題意，故A錯誤；對于B，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，顯然成立，故B正確；對于C，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，故C正確；對于D，當(dāng)時，顯然不滿足題意，故D錯誤；故選：BC10.2021年10月16日，我國神舟十三號載人飛船順利升空，這是繼2021年9月17日神舟十二號順利返回地面后，一個月內(nèi)再次執(zhí)行載人飛行任務(wù)，實現(xiàn)了我國航天史無前例的突破，為弘揚航天精神，某網(wǎng)站舉辦了“我愛星辰大海——航天杯”在線知識競賽，賽后統(tǒng)計，共有2萬市民參加了這次競賽，其中參賽網(wǎng)友的構(gòu)成情況，如下表所示：單位黨政機關(guān)企事業(yè)單位教師和學(xué)生個體工商戶普通市民參賽人數(shù)所占比例（單位：%）203025其中，則下列說法正確的是（）AB.參賽人數(shù)所占比例的這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30%C.普通市民參賽人數(shù)為1千人D.各類別參賽人數(shù)的極差超過4000人【正確答案】CD【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)結(jié)合，可得出，，通過此表可以得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，進而能夠得出普通市民參賽人數(shù)，根據(jù)極差定義，可以得出極差從而得以求解.【詳解】由表可知，且a=4b，解得，，故A錯誤；在參賽人數(shù)占比中，20出現(xiàn)了2次，其他數(shù)只出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為20%，B錯誤；普通市民參賽人數(shù)為，故C正確；企事業(yè)單位參賽人數(shù)最多，為（人），而普通市民參賽人數(shù)最少，為1000人，故各類別參賽人數(shù)的極差為6000-1000=5000（人），故D正確，故選:CD.11.如圖，在長方體中，，，若為的中點，則以下說法中正確的是（）A.線段的長度為 B.異面直線和夾角的余弦值為C.點到直線的距離為 D.三棱錐的體積為【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算即可判斷ABC，結(jié)合等體積法即可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點，分別為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，所以線段的長度為，故A錯誤；又，設(shè)異面直線和夾角為，則，故B正確；設(shè)直線上存在點滿足，且，則，所以，則，又，可得，解得，則，所以點到直線的距離為，故C正確；因為，故D錯誤；故選：BC12.已知曲線為焦點在x軸上的橢圓，則（）A. B.的離心率為C.m的值越小，C的焦距越大 D.的短軸長的取值范圍是【正確答案】AC【分析】由曲線為焦點在x軸上的橢圓，得出和，根據(jù)即可判斷A；根據(jù)橢圓離心率即可判斷B；表示出橢圓的焦距，由函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由的范圍即可得出的短軸長的取值范圍，從而判斷D．【詳解】對于A：根據(jù)題意知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為C的焦點在x軸上，所以，即，故A正確；對于B：由A可得，，所以橢圓的離心率，故B錯誤；對于C：橢圓的焦距，因為函數(shù)，在上都是單調(diào)遞減的，所以m的值越小，的焦距越大，故C正確；對于D：橢圓的短軸長，因為當(dāng)時，，所以，所以，故D錯誤，故選：AC．三、填空題13.化簡：=_____.【正確答案】3【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則求解即可【詳解】故314.現(xiàn)有件相同的產(chǎn)品，其中件合格，件不合格，從中隨機抽檢件，則一件合格，另一件不合格的概率為______.【正確答案】【分析】分別求出基本事件的總數(shù)和要求事件包含的基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可得出．【詳解】從5件產(chǎn)品中任意抽取2有種抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有種．根據(jù)古典概型的概率計算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．故答案為:熟練掌握古典概型的概率計算公式和排列與組合的計算公式是解題的關(guān)鍵．15.若正方形一邊對角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為______，______.【正確答案】①.②.【分析】建立直角坐標(biāo)系，由已知可設(shè)，根據(jù)圖象結(jié)合正方形的性質(zhì)可知，兩條鄰邊所在直線的傾斜角分別為，，根據(jù)兩角和與差的正切公式，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故，.故；.16.如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上的動點（不與，重合）過作的平行線交于點，將沿折起，點折起后的位置記為點，得到四棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．【正確答案】【分析】設(shè)，，表示出三棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最大值.【詳解】由題意知：，，將沿折起，由棱錐結(jié)構(gòu)特征可知，相同的點E位置，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時平面，設(shè)，，，，，令，得或，又，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，．故答案為:．四、解答題17.在中，角所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）由，得到，再由，利用正弦定理求解；（2）先由二倍角公式得到，再利用兩角和的正弦公式求解.【小問1詳解】因為，所以.因為，由正弦定理得：，所以.因為，所以.【小問2詳解】由（1）知.所以.所以.18.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，底面為菱形，，.（1）求銳二面角的大??；（2）求AP與平面所成的角的正弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）取中點，利用二面角的定義求解即得.（2）取的中點，利用等體積法求出點到平面的距離，進而求出點到平面的距離，再利用公式法求出線面角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，取中點，連接，在菱形中，，則是正三角形，，由，得，由是正三角形，得，則是二面角的平面角，而，則，所以銳二面角的大小為.【小問2詳解】由（1）知，平面，而平面，則平面平面，取中點，連接，由為正三角形，得，，而平面平面，平面，則平面，三棱錐的體積，顯然，，又平面，即有，于是，又，底邊上的高，設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，于是，解得，由平面，平面，得平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，令A(yù)P與平面所成的角為，則，所以AP與平面所成的角的正弦值.方法點睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．19.已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最小值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由條件可得出從而可證，從而可得出的通項公式.(2)將（1）中的代入即得對于恒成立，設(shè)，分析出其單調(diào)性，得出其最大項，即可得出答案.【小問1詳解】由，可得，即所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以【小問2詳解】不等式對于恒成立即對于恒成立即對于恒成立設(shè)，由當(dāng)時，，即即當(dāng)時，，即即所以最大，所以，故的最小值為20.將正整數(shù)數(shù)列、、、、、的各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：（1）寫出數(shù)表的第行、第行；（2）寫出數(shù)表中第行的第個數(shù)；（3）設(shè)數(shù)表中每行的第個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，數(shù)表中每行的最后一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試分別寫出數(shù)列、的遞推公式，并求出它們的通項公式．【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）答案見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)表中的規(guī)律可寫出數(shù)表中的第行、第行；（2）寫出數(shù)表中第行的第一個數(shù)，即可寫出數(shù)表中第行的第個數(shù)；（3）根據(jù)數(shù)表中的規(guī)律可得出數(shù)列、的遞推公式，再利用累加法可求得這兩個數(shù)列的通項公式.【小問1詳解】解：數(shù)表中的第行為、、、，數(shù)表中的第行為、、、、；【小問2詳解】解：前行中每一行第一個數(shù)分別為、、、、、、、、、，所以，數(shù)表中第行的第個數(shù)為；【小問3詳解】解：，，，，所以，數(shù)列的遞推公式為，則，由數(shù)表可得，，，，所以，數(shù)列的遞推公式為，所以，.21.已知拋物線的焦點為F，過F作平行于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(A在B的左側(cè))，若△AOB的面積為2.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P是拋物線C的準(zhǔn)線上一點，Q是拋物線上的一點，若PF⊥QF，求證：直線PQ與拋物線相切.【正確答案】(1)；(2)見解析.【分析】(1)由題意可得，則|由，可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，顯然時不滿足題意.當(dāng)時，.又直線的方程為，將代入整理得，則或，而，則，所以，從而可得結(jié)論.【詳解】(1)由題意可得，則|AB|=2p，△AOB的面積，所以p=2，則拋物線C的方程為.(2)證明:顯然FQ的斜率存在，設(shè)為k，當(dāng)k=0時，P(0,-1，Q(2,1)或(-2,1)，直線或y=-x-1，與拋物線聯(lián)立，得判別式△=0，所以此時直線與拋物線C相切；當(dāng)k≠0時，設(shè)直線，因為PF⊥QF，則直線PF的方程為，由得P(2k,-1)，消