2024-2025學(xué)年貴州省仁懷市高二上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省仁懷市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足：，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．已知是兩條直線，是一個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知空間向量，，，若，則（

）A． B． C． D．5．正四棱臺(tái)的上?下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，則棱臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．7．在棱長為的正方體中，滿足，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．三棱錐，平面，，且，則三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．在中，的對(duì)邊分別為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．10．下列命題中成立的是（

）A．，B．，且C．，，且，D．，11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與是平行直線B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題12．直線的傾斜角大小為.13．如圖，已知長方體的棱長，則點(diǎn)到棱的距離是14．設(shè)表示兩個(gè)平面，表示直線，表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題：①若，則；②不重合，若，則；③若，則；④若，且不共線，則與重合.其中假命題的序號(hào)是.四、解答題15．已知直線l過點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：(1)直線l的傾斜角為45°；(2)直線l在x軸、y軸上的截距相等．16．在中，角所對(duì)的邊分別是，在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，解答下列問題，三個(gè)條件為：①；②；③.(1)求角的大小；(2)若，求的值.17．已知在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大小；(3)求三棱錐的體積.18．如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)．

(1)證明：直線平面；(2)是否存在點(diǎn)，使直線平面？若存在，求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．仁懷市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題答案：題號(hào)12345678910答案DCCCBDAAABBCD題號(hào)11答案BCD1．D【分析】先求出并化簡，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而判斷其位于第四象限.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選.本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2．C【分析】由圓錐表面積公式可得母線長，即可得圓錐的高，然后可得圓錐體積.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線長為l，高為h.由題，，則.則圓錐體積為.故選：C3．C【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A，若，，則平行或相交，不一定垂直，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若，則或，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，過作平面，使得，因?yàn)?，故，而，故，故，故C正確.對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．C【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：C5．B【分析】先求棱臺(tái)的斜高，然后利用側(cè)面積公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，正四棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底面邊長分別為，腰長為，所以斜高為.所以側(cè)面積為().故選：B.6．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D7．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角余弦值.【詳解】

分別以射線，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由，，所以，，，A10,0,3，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為，故選：A.8．A【分析】先由線面垂直的性質(zhì)判斷線線垂直，得出為直角三角形，為直角三角形，判斷出球心的位置；再根據(jù)勾股定理算出球半徑；最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，.，.平面，平面，平面，，.又，平面.又平面，.為直角三角形，為直角三角形.則.所以三棱錐的外接球的球心為，半徑為.，且，，..所以三棱錐的外接球表面積是.故選：A9．AB【分析】利用正弦定理角化邊得到，利用余弦定理后，即可求得的范圍.【詳解】由及正弦定理，得，由余弦定理得，所以．故選：AB10．BCD【分析】利用平面的公理直接判斷求解．【詳解】對(duì)于A：若，，則或與異面、或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由公理三知：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，因?yàn)?，且，則，故B正確；對(duì)于C：由公理一知：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，因?yàn)?，，且，，則，故C正確；對(duì)于D：由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，因?yàn)?，，則，故D正確.故選：BCD11．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.【詳解】對(duì)于A，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，．∵分別為棱的中點(diǎn)，∴、，則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對(duì)于C，由于平面的一個(gè)法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對(duì)于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．12．/【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由直線可知其斜率為，所以其傾斜角滿足，所以.故13．5【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)以及點(diǎn)線距離定義，可得答案.【詳解】連結(jié)，如圖：在長方體中，由平面，平面，所以，則點(diǎn)到棱的距離是，在矩形中，.故514．③【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)對(duì)給出的四個(gè)命題分別進(jìn)行分析、判斷后即可得．【詳解】對(duì)于①，根據(jù)公理1可知，所以①正確；對(duì)于②，由題意得平面有公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知相交，且，所以②正確；對(duì)于③，由于，可得，所以③不正確；對(duì)于④，由三點(diǎn)不共線可得確定一個(gè)平面，所以與重合，所以④正確．綜上可得①②④正確，故假命題的序號(hào)是③．故③.15．(1)(2)或【分析】（1）由點(diǎn)斜式即可求解；（2）分截距是否為0進(jìn)行討論即可求解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°；所以所求為，即；（2）當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距都為0時(shí)，所求為，當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距都為時(shí)，設(shè)所求為，由題意，解得符合題意，故所求為；綜上所述，符合題意的直線方程為或.16．(1)所選條件見解析，(2)【分析】（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；（2）利用余弦定理分析求解.【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因?yàn)?，則，可得且，則，可得，且，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，又，即，解得.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；（2）由（1）可知為異面直線與所成角的平面角，利用勾股定理分別求出、、的值，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可．（3）計(jì)算長，證明平面，利用三棱錐體積轉(zhuǎn)化即可得三棱錐的體積.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接，則，平面，平面，平面；（2）由（1）知，，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，，，由余弦定理，得，故異面直線與所成角的余弦值為；（3）因?yàn)檎叫?，所以，且，，又在正四棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所?18．(1)證明見解析(2)存在，.【分析】（1）先確定截面，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直.（2）先確定截面，再根據(jù)線面平行確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）如圖：

因?yàn)?，，所以平面就是平?在正方體中，平面，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又平面，平面，，所以平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以平面就是平?當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，平面，平面，所以平面.此時(shí).故存在點(diǎn)，使直線平面，且.19．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）通過和得到平面，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)