《格林公式的證明及應(yīng)用研究》8100字（論文）

格林公式的證明及應(yīng)用研究目錄1引言 （5）2格林公式的證明 （5）2.1問題的提出 （5）2.2預(yù)備知識 （7）2.2.1單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域 （7）2.2.2有界閉區(qū)域D的邊界曲線L的正向 （8）2.3積分區(qū)域為X-型區(qū)域、Y-型區(qū)域的證明 （8）2.4積分區(qū)域為非X-型區(qū)域、Y-型區(qū)域的證明 （10）2.5積分區(qū)域為復(fù)連通區(qū)域的證明 （11）3格林公式的應(yīng)用 （12）3.1格林公式在計算平面圖形的面積方面的應(yīng)用 （12）3.2格林公式在計算曲線積分方面的應(yīng)用 （15）3.3格林公式在計算二重積分方面的應(yīng)用 （16）3.4格林公式在證明積分與路徑無關(guān)方面的應(yīng)用 （17）3.5格林公式在二元函數(shù)中的全微分求積問題方面的應(yīng)用 （18）4小結(jié) （19）參考文獻 （21）1引言在高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，曲線積分占有著不可或缺的重要位置。而格林公式則同樣地在曲線積分的領(lǐng)域內(nèi)占有著不可或缺的重要位置，其主要的一個原因就是格林公式表達了在一個平面二維區(qū)域D上沿其邊界范圍封閉曲線L上的曲線積分和區(qū)域D上的二重積分之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，它也表明，平面區(qū)域D上的二重積分的值可以被等價地定義為沿其邊界范圍封閉曲線L的曲線積分值。目前，對于格林公式的應(yīng)用已經(jīng)有了很多研究，并且提出的許多方法是非常值得學(xué)習(xí)借鑒的。格林公式的出現(xiàn)創(chuàng)建了一個平面二維區(qū)域D上的二重積分和其邊界范圍L上的曲線積分之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并且表明二者可以相互轉(zhuǎn)化數(shù)值，根據(jù)這個結(jié)論，我們就可以用格林公式的方法來解決很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，比如：求解一個平面圖形的面積，求解一個曲線積分的值、以及簡化二重積分的計算、證明積分和路徑不相關(guān)等等，因此格林公式的應(yīng)用十分廣泛。研究格林公式能夠進一步奠定曲線積分的數(shù)學(xué)里程碑。本文主要從兩個方面著手，一是格林公式的相關(guān)性證明，給出了為什么我們可以在一個平面二維區(qū)域D上創(chuàng)建二重積分與在該閉區(qū)域的邊界范圍L上創(chuàng)建曲線積分之間的等式；二是運用格林公式來解決數(shù)學(xué)問題中的一些實例。其實，不論是在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，還是在物理的領(lǐng)域內(nèi)，格林公式都擁有著不可或缺的重要位置。所以，理解運用好格林公式對解決數(shù)學(xué)問題和物理問題都有著很為關(guān)鍵的作用，這就是格林公式所擁有的獨特價值。2格林公式的證明2.1問題的提出牛頓-萊布尼茨公式的提出給出了定積分與不定積分的關(guān)系，即若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則有abfxdx=Fb?Fa，它的提出使得定積分的計算更加簡單化，該公式說明，一個函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分可以用它的原函數(shù)F(x)在區(qū)間端點處的值來表示。由此可以提出猜測：牛頓-萊布尼茨公式這種把整體運算轉(zhuǎn)換為邊界運算的方法是否同樣也可以適用于二重積分呢？不言而喻的是二重積分它的積分區(qū)域是一個平面區(qū)域，區(qū)域的邊界也就是一條曲線，那么該平面區(qū)域的積分是否同樣和邊界曲線上的積分有著某種聯(lián)系呢？那么該區(qū)域的二重積分是否可以表示成呢，也就是說，是否可以表示成，如果上述等式猜想成立，那么在函數(shù)f(x,y),P(x,y),Q(x,y)一定存在著某種聯(lián)系。以下從等式左右兩端分別計算，來尋找這些函數(shù)之間的關(guān)系。（1）假設(shè)平面區(qū)域D是X-型區(qū)域，即D=(x,y)|a≤x≤b,?1(x)≤y≤?2(x)，D=ab而當(dāng)曲線L分段光滑時，此時，?1LP(x,y)dx=?綜合（1），（2）可得：當(dāng)Px,y=?F(x,y)時，即D（2）假設(shè)平面區(qū)域D是Y-型區(qū)域，即D=x,y|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2D=cd而當(dāng)曲線L分段光滑時，換句話說，即ψ1LQ(x,y)dy=綜合（3），（4）可得：當(dāng)Qx,y=F(x,y)，即D綜上所述，如若二重積分的一個積分區(qū)域D既為X-型的區(qū)域，又為Y-型的區(qū)域，且都具有f(x,y)=?Q(x,y)?x??P(x,y)?y，那么當(dāng)P(x,y)，Q(x,y)在D上滿足了擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)這一條件時，并且當(dāng)這個有界閉區(qū)域D2.2預(yù)備知識2.2.1單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域定義：設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。（簡單來說，就是平面區(qū)域D內(nèi)如果有“洞眼”，則為復(fù)連通區(qū)域）如下圖所示。單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域DDDDD2D2D1圖1單連通區(qū)域圖圖2復(fù)連通區(qū)域圖如：D1=x,y|2.2.2有界閉區(qū)域D的邊界曲線L的正向LL=L1+L2xxyL1LL=L1+L2xxyL1L2y圖3單連通區(qū)域正向圖圖4復(fù)連通區(qū)域正向圖由此可以看出，沿著邊界范圍曲線的逆時針方向而取是平面單連通區(qū)域的正方向；但平面復(fù)連通區(qū)域區(qū)別于前者的單連通區(qū)域，對于復(fù)連通區(qū)域邊界范圍曲線的最外圈來說，逆時針方向是該區(qū)域的正方向，而復(fù)連通區(qū)域的里圈相反，順時針方向是它里圈的正方向。欲證：D只須證：D只須證：D?Q?xdxdy=2.3積分區(qū)域為X-型區(qū)域、Y-型區(qū)域的證明證明：若D既是X-型區(qū)域，又是Y-型區(qū)域，如下圖所示，則D可以表示為：D：?1（x）≤y≤?2(x)D：a≤x≤bc≤y≤d圖5X、Y-型區(qū)域圖分析：由D是Y-型區(qū)域可以令它的左側(cè)邊界范圍線為L1，方程表示為x=ψ1(y)，右側(cè)的邊界范圍線為L2，方程表示為x=ψ2(y),那么D的邊界范圍線L就是由L1和L2組合而成的，并且是每段均為光滑的閉曲線，如果函數(shù)P（x,y）Q（x,y）則：D====即：D?Q?xdxdy=同理：由D是X-型區(qū)域可以令它的上側(cè)邊界范圍線為L1，方程表示為y=?2x，下側(cè)的邊界范圍線為L2，方程表示為y=?1(x),那么D的邊界范圍L是由L1和L2組合而成的，并且是每段均為光滑的閉曲線，如果函數(shù)P（x,y）Q（x,y）D=?[===L即：D(??P?y)dxdy=（5）、（6）兩式相加得：D2.4積分區(qū)域為非X-型區(qū)域、Y-型區(qū)域的證明若區(qū)域D不滿足以上條件，則可將其分割為有限個既是X-型又是Y-型區(qū)域，如下圖所示：圖6非X、Y-型區(qū)域圖則有：D===LPdx+Qdy2.5積分區(qū)域為復(fù)連通區(qū)域的證明DL1DL1L2L3圖7復(fù)連通區(qū)域圖那么對于一個復(fù)連通的區(qū)域D來講，格林公式右側(cè)的是曲線積分，這里的曲線指的是概括沿區(qū)域D的所有曲線，需要注意的是方向問題，每條曲線都要選正向。此時可以適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線AB，CE，把圖形轉(zhuǎn)化為如圖8所示，連接了AB，CE后，D的邊界曲線就是由AB，AFC，CE，L2，L3，EC，CGA組合而成。圖8輔助線圖證明：D={=（=格林公式在本質(zhì)上就是創(chuàng)建了一個平面二維區(qū)域的二重積分與該區(qū)域范圍內(nèi)在邊界上的曲線積分這二者中間的關(guān)系，是公式——牛頓-萊布尼茨對于一個平面的擴推，格林公式的結(jié)論能夠輕易地實現(xiàn)曲線積分、二重積分二者之間的轉(zhuǎn)化，故而在解題過程中，經(jīng)常利用格林公式這一解題紐帶，來將復(fù)雜繁瑣的曲線積分進行轉(zhuǎn)變，或是將二重積分化曲線積分來更輕松地解決問題。這里需要我們注意的是：注意公式的使用條件：L是D的正向邊界范圍曲線（即是有方向的），L是封閉曲線（即是封閉的），P（x,y），Q（x,y）在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（即是連續(xù)的）。對于一個復(fù)連通的區(qū)域D而言，格林公式右端的每一條曲線進行積分時值得我們特別注意，（這里的每一條曲線指的是所有概括區(qū)域D的邊界）并且，每條曲線的方向?qū)υ搮^(qū)域D來講都要選取正向。公式的記憶方法：D4）L3格林公式的應(yīng)用3.1格林公式在計算平面圖形的面積方面的應(yīng)用格林公式：D取P=0，Q=A=取P=?y，Q=A=取P=?y,2閉區(qū)域D的面積：A=推論：由正方向且為封閉的曲線L所包圍構(gòu)成的區(qū)域D的面積表達式為：A=例1：用格林公式求星形線x=acos3y=a解：用L表示該星形線，選取正方向，用D表示該星形線所包圍的區(qū)域，θ的范圍在：0≤θ≤2π由格林公式推導(dǎo)出的面積公式為：S=======例2：如果一個平面且方向為正的多邊形O1O2O3…O解：令P=0，D即S=則多邊形O1S=對于線段O1O2k則有：dy=O將k12O同理，當(dāng)xiO當(dāng)xi=xO∴S=事實上，這個公式在解決計算領(lǐng)土面積問題中發(fā)揮了重要作用，GPS測量儀的工作原理就是如此，先記錄多邊形各頂點的坐標，再將這些點坐標帶入公式中即可獲得多邊形區(qū)域的面積，我國領(lǐng)海的面積就是這么計算得來的，在這里，對于不規(guī)則的圖形而言，我們都把它分割成無數(shù)個直線段，這里運用了以直代曲的思想。3.2格林公式在計算曲線積分方面的應(yīng)用分析：由于運用格林公式需要滿足兩個條件，一是曲線L封閉，二是函數(shù)Px,y,Qx,y在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，但是若題目中不滿足L例1：計算曲線積分Cxy2dy?x解：P=?x2設(shè)曲線C所圍成的區(qū)域為D,并且P，Q在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由格林公式有：C例2：求解曲線積分I=Lxdy?ydxx解：P=?yxDLy當(dāng)原點(0,0)?D時，如圖所示：xDLy圖9(0,0)?D則?P?yI=由格林公式立即可得。xDlLy②當(dāng)原點(0,0)∈D時，如圖所示：xDlLy圖10(0,0)∈D圖此時取曲線l：x2記L和l圍成D，而l圍成D則I====?==2π3.3格林公式在計算二重積分方面的應(yīng)用分析：在求解較為復(fù)雜的二重積分時，可以運用格林公式，把繁雜難以計算的二重積分變換為較為簡潔的該區(qū)域邊界范圍曲線的曲線積分，這里我們只需要找清楚P與Q的函數(shù)表達式即可進行運算。例1：計算I=De?y2dxdy，其中D圖11D型區(qū)域圖解：如上圖所示，令P=0,Q=xe?y2D====3.4格林公式在證明積分與路徑無關(guān)方面的應(yīng)用定義：設(shè)D為一平面區(qū)域，取D內(nèi)任意兩點A、B并且任意取兩條D內(nèi)從A到B的曲線L1，L2恒有L1Pdx+Qdy=L等價定義：設(shè)D為一平面區(qū)域，若對D內(nèi)任意一條閉曲線C，恒有CPdx+Qdy=0成立，則稱LPdx+Qdy定理：設(shè)D是一單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分LPdx+Qdy在D內(nèi)與路徑無關(guān)?Q?x=?P?y，由上述知：當(dāng)有?Q?x=?P圖12積分路徑圖x0=（或）=分析：在解決積分和路徑是否有關(guān)這方面的問題時，首先要明確找出P和Q的函數(shù)表達式，再運用格林公式的推論，只要滿足?Q?x例1：設(shè)f(x)在?∞，+∞內(nèi)滿足有著連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)這一條件，并且在上半平面y>0的范圍內(nèi)，L是由每段均為光滑且有向的曲線組合而成，起始點是a,b，終止點是c,d，記I=證明：曲線積分I的值和路徑不相關(guān)當(dāng)ab=cd時，求I的值解:（1）證明：∵?Q則LPdx+Qdy在(2) L===1=c例2：設(shè)L是任意一條有向閉曲線，證明：L2xydx+x證明：（1）這里P=2xy,Q=x?P則有：?Q設(shè)L圍成區(qū)域D，由格林公式有：L2xydx+這里P=f(x),Q=0,故?P設(shè)L圍成區(qū)域D，由格林公式有Lf(x)dx=03.5格林公式在二元函數(shù)中的全微分求積問題方面的應(yīng)用定理：設(shè)D是一個單連通區(qū)域，函數(shù)P（x,y）,Q(x,y)在D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)，則Pdx+Qdy在D內(nèi)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分（此時也稱u(x,y)是Pdx+Qdy的原函數(shù)）?Q?x=?P?y，分析：在應(yīng)用格林公式求原函數(shù)這種問題時，需要先明確找出P與Q的函數(shù)關(guān)系式，然后運用相應(yīng)的結(jié)論，看題目中是否有關(guān)系?P?y=?Q例1：驗證：在一個右半平面x＞0的領(lǐng)域內(nèi)，某個函數(shù)的全微分為xdy?ydxx解：由x＞0有該區(qū)域是單連通區(qū)域，這里，P=?yx∵?P?y∴則Pdx+Qdy在x＞0上是u(x,y)的全微分，即du=以下求u(x,y)：u(x,y)===0+=例2：試用曲線積分求2x+sin解：由于??y因此可以取x0u(x,y)=4小結(jié)在定積分的學(xué)習(xí)過程中，我們掌握了一個基本的公式——牛頓-萊布尼茨公式a