安徽省亳州市蒙城縣2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

-2025學(xué)年度第一學(xué)期八年級(jí)階段質(zhì)量診斷數(shù)學(xué)試題卷（試題滿分：150分）一、單選題（共40分）1.自行車支架一般都會(huì)采用如圖設(shè)計(jì)．這種方法應(yīng)用的幾何原理是（）A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.兩點(diǎn)之間線段最短C.三角形的穩(wěn)定性 D.垂線段最短2.下列函數(shù)①；②；③；④中，是y關(guān)于x的一次函數(shù)的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.如圖，若在象棋盤(pán)上建立平面直角坐標(biāo)系，使“將”位于點(diǎn)，“車”位于，則“炮”位于點(diǎn)()A. B. C. D.4.在中作邊上的高，下列畫(huà)法正確的是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，將一次函數(shù)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)表達(dá)式為（）A. B. C. D.6.下列命題為假命題的是（）A.對(duì)頂角相等 B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.垂線段最短 D.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行7.如圖，在與中，點(diǎn)在上，，，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.8.下列各圖象中，是的函數(shù)的是（）A. B. C. D.9.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在的邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到的平分線，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，的角平分線與角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題（共20分）11.把命題“對(duì)頂角相等”改寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：_____．12.若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則m的取值范圍是__________．13.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若規(guī)定以下兩種變換：①②，例如按照以上變換有：；．則________．14.已知等腰中，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足分別為，，若，，則_______．三、解答題（共90分）15.已知與成正比例，當(dāng)時(shí)，．（1）寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值．16.如圖，在中，于點(diǎn)平分．若，求的度數(shù)．17.已知點(diǎn)，解答下列各題：（1）若點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，且∥軸，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18.如圖，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在直線同側(cè)，（1）證明：．（2）若，求的度數(shù)．19.如圖，我們把杜甫的《絕句》整齊排列放在平面直角坐標(biāo)系中．（1）“嶺”和“船”的坐標(biāo)依次是________________；（2）將第2行與第3行對(duì)調(diào)（由下往上數(shù)），再將第3列與第7列對(duì)調(diào)，“雪”由開(kāi)始的坐標(biāo)依次變換為_(kāi)______和_______；（3）“泊”開(kāi)始坐標(biāo)是2,1，使它的坐標(biāo)變換到，應(yīng)該哪兩行對(duì)調(diào)（由下往上數(shù)），同時(shí)哪兩列對(duì)調(diào)?20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于兩點(diǎn)．（1）求的面積；（2）直線與直線交于點(diǎn)C，若點(diǎn)P在x軸上，且，求點(diǎn)P坐標(biāo)．21.綜合與實(shí)踐【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1，在中，點(diǎn)是內(nèi)角平分線與外角的平分線的交點(diǎn)，則有，請(qǐng)給出證明過(guò)程；*請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問(wèn)題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，在中，．延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)至．已知的角平分線與的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于，求的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖3，四邊形內(nèi)角與外角的平分線形成如圖所示形狀．已知．22.某經(jīng)銷商欲購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg，乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額（元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量（kg）之間的關(guān)系如圖所示．（1）求與之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共，并能全部售出，其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于，且不高于甲種產(chǎn)品進(jìn)貨量的2倍．設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為（元），請(qǐng)求出與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量之間的函數(shù)表達(dá)式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)出獲得最大總利潤(rùn)的進(jìn)貨方案．23.通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到________，________．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（模型應(yīng)用）（2）如圖2，，，，連接，DE，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有________（填“、、”）

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期八年級(jí)階段質(zhì)量診斷數(shù)學(xué)試題卷（試題滿分：150分）一、單選題（共40分）1.自行車支架一般都會(huì)采用如圖的設(shè)計(jì)．這種方法應(yīng)用的幾何原理是（）A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.兩點(diǎn)之間線段最短C.三角形的穩(wěn)定性 D.垂線段最短【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，采用如圖的設(shè)計(jì)是構(gòu)造三角形，應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：這種方法應(yīng)用的幾何原理是：三角形的穩(wěn)定性，故選：C．2.下列函數(shù)①；②；③；④中，是y關(guān)于x的一次函數(shù)的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義．熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：①中，是一次函數(shù)，正確，故符合要求；②中，不是整式，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤，故不符合要求；③中，是一次函數(shù)，正確，故符合要求；④中，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：B．3.如圖，若在象棋盤(pán)上建立平面直角坐標(biāo)系，使“將”位于點(diǎn)，“車”位于，則“炮”位于點(diǎn)()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系和點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)棋子的位置確定坐標(biāo)系的原點(diǎn)，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：在象棋盤(pán)上建立直角坐標(biāo)系，使“將”位于點(diǎn)，“車”位于點(diǎn)，則原點(diǎn)位于“將”向左平移一個(gè)單位，再向上兩個(gè)單位的位置，“炮”坐標(biāo)是，故選：B．4.在中作邊上的高，下列畫(huà)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形的高的概念，解題的關(guān)鍵是正確作三角形一邊上的高；作哪一條邊上的高，即從所對(duì)的頂點(diǎn)向這條邊或這條邊的延長(zhǎng)線作垂線段即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作邊的垂線段，即畫(huà)邊上的高，所以畫(huà)法正確的是C選項(xiàng)；故選：C．5.在平面直角坐標(biāo)系中，將一次函數(shù)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)表達(dá)式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了一次函數(shù)的平移，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的表達(dá)式是，即為，故選：A．6.下列命題為假命題的是（）A.對(duì)頂角相等 B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.垂線段最短 D.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】B【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，平行線與相交線的相關(guān)性質(zhì)，掌握平行線與相交線的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線與相交線的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：命題：對(duì)頂角相等；垂線段最短；過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，都是真命題；而命題：兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，則是假命題；故選：B．7.如圖，在與中，點(diǎn)在上，，，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴；故選C．8.下列各圖象中，是的函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的概念，深刻理解函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵：函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，是的函數(shù)．對(duì)函數(shù)概念的理解，主要抓住以下三點(diǎn)：（1）有兩個(gè)變量；（2）一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而變化；（3）對(duì)于自變量每一個(gè)確定的值，函數(shù)有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)．注意事項(xiàng)：判斷兩個(gè)變量是否有函數(shù)關(guān)系，不僅看它們之間是否有關(guān)系式存在，更重要的是看對(duì)于的每一個(gè)確定的值，是否有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)；函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系．函數(shù)的意義反映在圖象上一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷方法是：作垂直軸的直線在左右平移的過(guò)程中與函數(shù)圖象只會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)．根據(jù)函數(shù)的概念逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)圖象可知，給一個(gè)值，有且只有個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)符合題意；B、根據(jù)圖象可知，給一個(gè)值，有不止個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)圖象可知，給一個(gè)值，有不止個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)圖象可知，給一個(gè)值，有不止個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．9.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在的邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到的平分線，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了全等三角形判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)．用證明，則，即可得到解答．【詳解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是，證明如下：由題意得，，在和中，，∴，∴，即為的平分線．故選：A．10.如圖，在中，，的角平分線與角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義得，繼而得出的度數(shù)，即可判斷①；推出，根據(jù)證明即可，即可判斷②；證明，得，，根據(jù)外角的性質(zhì)可判斷③；通過(guò)等量代換可判斷④．【詳解】解：在中，，，分別平分，，，∴，故結(jié)論①正確；，又∵，，，，在和中，，∴，故結(jié)論②正確；，，在和中，，，，，∴，故結(jié)論③正確；又∵，∴，即，故結(jié)論④正確，∴正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選：D．二、填空題（共20分）11.把命題“對(duì)頂角相等”改寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：_____．【答案】如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等【解析】【分析】本題考查了命題的概念，命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，根據(jù)命題的概念作答即可．【詳解】解：把命題“對(duì)頂角相等”改寫(xiě)成“如果…那么…”的形式為：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等，故答案為：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等．12.若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則m的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與、的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與、的符號(hào)有直接的關(guān)系．時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限．時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限．時(shí)，直線與軸正半軸相交．時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；時(shí)，直線與軸負(fù)半軸相交．根據(jù)一次函數(shù)的圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置關(guān)系確定各系數(shù)的取值范圍，從而求解．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，，解得，；故答案為：．13.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若規(guī)定以下兩種變換：①②，例如按照以上變換有：；．則________．【答案】【解析】【分析】本題一種新型運(yùn)算方式，解決的關(guān)鍵是理解相關(guān)定義，難點(diǎn)是確定運(yùn)算順序．先根據(jù)，計(jì)算，然后根據(jù)進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．即，故答案為：．14.已知等腰中，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足分別為，，若，，則_______．【答案】或##2或28【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，分兩種情況討論：點(diǎn)，在直線的同側(cè)和點(diǎn)，在直線的異側(cè)．【詳解】如圖①，點(diǎn)，在直線的同側(cè)．∵，，，∴．∴，．∴．在和中∴．∴，．∴．如圖②，點(diǎn)，在直線的異側(cè)．∵，，∴．∵，∴．在和中∴．∴，∴．綜上所述，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．三、解答題（共90分）15.已知與成正比例，當(dāng)時(shí)，．（1）寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值．【答案】（1）（2）18【解析】【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)自變量的值或函數(shù)值，正比例函數(shù)的定義：（1）根據(jù)題意可設(shè)設(shè)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入（1）所求解析式中求出y的值即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵與成正比例，∴可設(shè)，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，．16.如圖，在中，于點(diǎn)平分．若，求的度數(shù)．【答案】59°【解析】【分析】本題考查了垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．由垂線的性質(zhì)和求出，進(jìn)而得到，結(jié)合角平分線的性質(zhì)得到的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】．解：，，．．平分，．．17.已知點(diǎn)，解答下列各題：（1）若點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，且∥軸，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【解析】【分析】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，（1）根據(jù)在軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為0，以此建立方程求解即可；（2）根據(jù)軸可知，點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相等，以此建立方程求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵點(diǎn)在軸上，∴，解得，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】解：∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線軸，∴，解得，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．18.如圖，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，（1）證明：．（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)證明，即可作答．（2）先由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得出，再結(jié)合得出，最后運(yùn)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得出，即可作答．【小問(wèn)1詳解】解：，∴，，，．【小問(wèn)2詳解】解：，．，．．19.如圖，我們把杜甫的《絕句》整齊排列放在平面直角坐標(biāo)系中．（1）“嶺”和“船”的坐標(biāo)依次是________________；（2）將第2行與第3行對(duì)調(diào)（由下往上數(shù)），再將第3列與第7列對(duì)調(diào)，“雪”由開(kāi)始的坐標(biāo)依次變換為_(kāi)______和_______；（3）“泊”開(kāi)始的坐標(biāo)是2,1，使它的坐標(biāo)變換到，應(yīng)該哪兩行對(duì)調(diào)（由下往上數(shù)），同時(shí)哪兩列對(duì)調(diào)?【答案】（1），（2）；（3）應(yīng)該第1行與第3行對(duì)調(diào)，同時(shí)第2列與第5列對(duì)調(diào)【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)確定位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是前橫后縱，中間逗號(hào)隔開(kāi)，注意行對(duì)調(diào)，縱坐標(biāo)變化，列對(duì)調(diào)，橫坐標(biāo)變化．（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是：前橫后縱，中間逗號(hào)隔開(kāi)，可得答案；（2）根據(jù)行對(duì)調(diào)，縱坐標(biāo)變化，列對(duì)調(diào)，橫坐標(biāo)變化，可得答案；（3）根據(jù)行對(duì)調(diào)，縱坐標(biāo)變化，列對(duì)調(diào)，橫坐標(biāo)變化，可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：“嶺”的坐標(biāo)是，“船”的坐標(biāo)是，故答案為：；；【小問(wèn)2詳解】將第2行與第3行對(duì)調(diào)，再將第3列與第7列對(duì)調(diào)，“雪”由開(kāi)始的坐標(biāo)依次變換為和．故答案為：；；【小問(wèn)3詳解】“泊”開(kāi)始的坐標(biāo)是2,1，使它的坐標(biāo)變換到，第1行與第3行對(duì)調(diào)，同時(shí)第2列與第5列對(duì)調(diào)．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于兩點(diǎn)．（1）求的面積；（2）直線與直線交于點(diǎn)C，若點(diǎn)P在x軸上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）16（2）2,0或【解析】【分析】本題考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形．熟練掌握直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)時(shí)，可求；當(dāng)時(shí)，可求B4,0，則，計(jì)算求解即可；（2）聯(lián)立，可求，則，由，可得，可求，進(jìn)而可求點(diǎn)坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得，，∴B4,0∴，∴的面積為16；【小問(wèn)2詳解】解：聯(lián)立，解得，，∴，∵，∴，解得，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為2,0或．21.綜合與實(shí)踐【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1，在中，點(diǎn)是內(nèi)角平分線與外角的平分線的交點(diǎn)，則有，請(qǐng)給出證明過(guò)程；*請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問(wèn)題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，在中，．延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)至．已知的角平分線與的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于，求的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖3，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線形成如圖所示形狀．已知．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，即可得到答案（2）先推導(dǎo)出，再推導(dǎo)出，進(jìn)而可以求解（3）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)N，可得，進(jìn)而即可求解詳解】解：（1）如圖，∵點(diǎn)E是內(nèi)角平分線與外角的平分線的交點(diǎn)∴，，∵，，，∴，∴；（2）如圖，∵，、的角平分線與的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，∴，∴；∴；（3）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)N，如圖所示，∵、平分，∵，，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．22.某經(jīng)銷商欲購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg，乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額（元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量（kg）之間的關(guān)系如圖所示．（1）求與之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共，并能全部售出，其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于，且不高于甲種產(chǎn)品進(jìn)貨量的2倍．設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為（元），請(qǐng)求出與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量之間的函數(shù)表達(dá)式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)出獲得最大總利潤(rùn)的進(jìn)貨方案．【答案】（1）與之間的函數(shù)表達(dá)式為：（2）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量之間的函數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲產(chǎn)品千克，乙產(chǎn)品千克時(shí)，總利潤(rùn)最大為元．【解析】【分析】（1）先根據(jù)圖像特點(diǎn)判斷函數(shù)類型，再利用待定系數(shù)法對(duì)兩段一次函數(shù)分別求解即可．注意分段函數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式．（2）依據(jù)‘利潤(rùn)售價(jià)成本’，根據(jù)乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量的不同范圍，分別求出總利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式，并根據(jù)一次函數(shù)的增減性，結(jié)合取值范圍，求最大總利潤(rùn)，即可得到獲得最大總利潤(rùn)的進(jìn)貨方案．【小問(wèn)1詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得：；．當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得：，．與之間的函數(shù)表達(dá)式為：．【小