利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)專題課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2025新高考數(shù)學(xué)

二輪復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【知識梳理】

一、利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．二、數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個數(shù)．三、構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍【常用結(jié)論】

對于函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解【考點(diǎn)分類練】

命題點(diǎn)1

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的方法(1)數(shù)形結(jié)合法：先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的要求數(shù)形結(jié)合

求解；(2)分離參數(shù)法：由f(x)＝0分離出參數(shù)a，得a＝φ(x)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y＝φ(x)的

單調(diào)性、極值和最值，根據(jù)直線y＝a與y＝φ(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)得參數(shù)a的取值

范圍；(3)分類討論法：先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù)是否符合

題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)的范圍練基礎(chǔ)1.(人B選必三6.2節(jié)習(xí)題)已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x-1的圖象與直線y=c有3個不同的交點(diǎn),求實數(shù)c的取值范圍.2.(人A選必二第五章例題)給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出f(x)的極值;(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的個數(shù).解

(1)函數(shù)的定義域為R.f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=(x+2)ex.令f'(x)=0,解得x=-2.f'(x),f(x)的變化情況如表所示.x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-2,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x=-2時,f(x)有極小值f(-2)=.(2)令f(x)=0,解得x=-1.當(dāng)x<-1時,f(x)<0;當(dāng)x>-1時,f(x)>0.1.(2023·全國乙,文8)若函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個零點(diǎn),則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-2)

B.(-∞,-3)C.(-4,-1) D.(-3,0)B(方法二)令f(x)=0,得-ax=x3+2,易知x≠0,所以-a=設(shè)g(x)=,則函數(shù)f(x)存在3個零點(diǎn)等價于函數(shù)g(x)=的圖象與直線y=-a有三個不同的交點(diǎn).g'(x)=.當(dāng)x>1時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x<1且x≠0時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(-∞,0),(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,且g(1)=3,當(dāng)x從左側(cè)趨近于0時,g(x)→-∞,當(dāng)x從右側(cè)趨近于0時,g(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時,g(x)→+∞,由此可作出函數(shù)g(x)的大致圖象,如圖所示.根據(jù)以上信息,我們畫出f(x)的大致圖象如圖所示.3.(人A選必二第五章習(xí)題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.由圖知,當(dāng)-a>3時,函數(shù)g(x)=的圖象與直線y=-a有三個交點(diǎn),即函數(shù)f(x)有3個零點(diǎn),所以a<-3.故選B.2.(2024·全國甲,文16)當(dāng)x>0時,曲線y=x3-3x與曲線y=-(x-1)2+a有兩個交點(diǎn),則a的取值范圍是

.

(-2,1)解析

令x3-3x=-(x-1)2+a,得x3+(x-1)2-3x=a.令f(x)=x3+(x-1)2-3x,x>0,則f'(x)=3x2+2(x-1)-3=3x2+2x-5=(x-1)(3x+5).由f'(x)=0(x>0),得x=1.∴當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.∴f(x)min=f(1)=-2.又f(0)=1,f(2)=3>1,曲線y=x3-3x與y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有兩個不同的交點(diǎn)等價于y=f(x)與y=a有兩個不同的交點(diǎn),∴-2<a<1.3.(2021·全國甲,理21(2))已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=(x>0).若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點(diǎn),求a的取值范圍.練考點(diǎn)

探究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法(1)圖象法：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，

確定函數(shù)f(x)的圖象草圖，

判斷圖象與橫軸的交點(diǎn)個數(shù)，一般要結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理處理.(2)分離法：設(shè)f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，則f(x)的零點(diǎn)個數(shù)?g(x)與h(x)圖

象的交點(diǎn)個數(shù).考點(diǎn)一探究零點(diǎn)個數(shù)例1(2024·河南鄭州三模)已知函數(shù)f(x)=eax-x.(1)若a=2,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)討論f(x)的零點(diǎn)個數(shù).解

(1)若a=2,則f(x)=e2x-x,f'(x)=2e2x-1.又f(1)=e2-1,切點(diǎn)為(1,e2-1),曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線斜率k=f'(1)=2e2×1-1=2e2-1,故所求切線方程為y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1),即y=(2e2-1)x-e2.(方法二

分離參數(shù))[對點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·陜西安康模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=aexsinx+x-cosx,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),f'(0)=2.(1)求a的值;(2)求f'(x)在(0,π)上的零點(diǎn)個數(shù).解

(1)由f(x)=aexsin

x+x-cos

x,則f'(x)=aexsin

x+aexcos

x+1+sin

x=aex(sin

x+cos

x)+1+sin

x,又f'(0)=2,所以a+1=2,即a=1.(2)由(1)可知f'(x)=ex(sin

x+cos

x)+1+sin

x,設(shè)g(x)=f'(x)=ex(sin

x+cos

x)+1+sin

x,則g'(x)=ex(sin

x+cos

x)+ex(cos

x-sin

x)+cos

x=cos

x(2ex+1),考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)取值范圍例2(2024·河南一模)已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+a(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.[對點(diǎn)訓(xùn)練2]已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x-1相切,求實數(shù)a的值;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-x+1有且只有一個零點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.當(dāng)x∈(-∞,0)時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,2)時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(2,+∞)時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增.設(shè)t(x)=ex-x+1,則t'(x)=ex-1,當(dāng)x∈(-∞,0)時,t'(x)<0,函數(shù)t(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,t'(x)>0,函數(shù)t(x)單調(diào)遞增.畫出函數(shù)h(x)的圖象如圖所示.考點(diǎn)三隱零點(diǎn)問題*例3(2024·江西贛州一模)已知函數(shù)f(x)=ex-1-lnx.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知m>0,若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的零點(diǎn)x0.求證:1<x0<2.∴當(dāng)x>0時,l(x)即f'(x)單調(diào)遞增,又f'(1)=0,∴當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.∴f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+∞).