專題25以四邊形為載體的幾何綜合問題（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題25以四邊形為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊

上的點（點E不與點B，C重合），且．

∠???=45°

(1)當時，求證：；

(2)猜想??B=E，??EF，DF三條?線?段=之??間存在的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點，，垂足為K，交AC于點H且．若

，，請用含a，b的代數(shù)式表?示?E⊥F?的?長．??=??

?【?答=案?】(?1?)見=解?析

(2)，見解析

(3)??=??+??

2

2?+?

【分析】（1）先利用正方表的性質(zhì)求得，，再利用判定三角形全等

的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三??角=形?的?性質(zhì)∠?求=解∠；?=90°

（2）延長CB至M，使，連接AM，先易得，推出，

，進而得??到=??，最△后??利?用≌全△等?三??角?形??的性質(zhì)求?解?；=??

（∠?3?）?過=點∠H??作?于點△?N?，?易≌得△??????，進而求出，再根

2

據(jù)（2）的結(jié)論求??解⊥．??△???≌△????????=2??

（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴，．

在??=?和?∠?=中∠?=90°

△???△???

，

??=??

∠?=∠?

??=??

第1頁共68頁.

∴，

∴△???≌；△??????

（?2）?=??

解：BE，EF，DF存在的數(shù)量關系為．

理由如下：??=??+??

延長CB至M，使，連接AM，

則??．=??

在∠???=和∠?=9中0°

△???△???

，

??=??

∠???=∠?

∴，

??=??

∴△???≌，△??????．

∵??=??∠，???=∠???

∴∠???=45°．

∴∠?M?A?E+=∠∠F?A?E?，=∠???+∠???=45°

在和中

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△EM?=?E?F，≌△??????

∵EM=BE+BM，

∴；

??=??+??

（3）

解：過點H作于點N，

則?．?⊥??

∵∠???=，90°

∴??⊥??，

∴∠???=∠???．=90°

在∠???=和∠???中

△???△???

第2頁共68頁.

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌△．??????

∵??=??，，

∴∠???=45，°∠???=90°

??

∴sin45°=??，

2

由（??2）=知2，??．

2

??=??+??=??+??=2?+?

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，

作出輔助線，構(gòu)建三角形全等是解答關鍵．

【例2】（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形ABCD，點E為直線BD上的一個動點（點E

不與點B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），

連接DG．

(1)如圖1，當＝＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關系與位置關系；

????

(2)如圖2，當??＝??＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關系與位置關系，并說明理

????

由；????

(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點M，N，連接MN，

MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．

【答案】(1)BE＝DG，5BE⊥DG

(2)BE＝，BE⊥DG，理由見解析

1

(3)SMN2G?＝?

9

△

4

第3頁共68頁.

【分析】（1）證明△BAE≌△DAG，進一步得出結(jié)論；

（2）證明BAE∽△DAG，進一步得出結(jié)論；

（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根據(jù)（2）可得DG＝6，從而得出三角形BEG

??

的面積，可證得△MND≌△MNG，△MNG與△B?E?G=的2面積比等于1：4，進而求得結(jié)果．

（1）

解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，

∴∠BAE＝∠DAG，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，

∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，

∴∠BDG＝90°，

∴BE⊥DG；

（2）

BE＝，BE⊥DG，理由如下：

1

由（12）??得：∠BAE＝∠DAG，

∵＝＝2，

????

∴△??BA?E?∽△DAG，

∴，∠ABE＝∠ADG，

????

∴∠??A=D?G?+=∠2ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，

∴∠BDG＝90°，

∴BE⊥DG；

（3）

如圖，

作AH⊥BD于H，

第4頁共68頁.

∵tan∠ABD＝，

????

∴設AH＝2x，?B?H=＝?x?，=2

在Rt△ABH中，

x2+（2x）2＝（）2，

∴BH＝1，AH＝25，

在Rt△AEH中，

∵tan∠ABE＝，

??

∴??，

??°

∴E??H=＝tAaHn4＝52，=1

∴BE＝BH+EH＝3，

∵BD＝＝5，

2222

∴DE＝BD??﹣B+E＝??5﹣=3＝(2，5)+(25)

由（2）得：，DG⊥BE，

??

∴DG＝2BE＝??6，=2

∴SBEG＝＝＝9，

11

△

在Rt△BDG2和??R?t?△?DE2G×中3，×點6M是BG的中點，點N是CE的中點，

∴DM＝GM＝，

11

∵NM＝NM，2??,??=??=2??

∴△DMN≌△GMN（SSS），

∵MN是△BEG的中位線，

∴MNBE，

∴△B∥EG∽△MNG，

∴＝（）2＝，

?Δ?????1

Δ???

∴S?MNG＝?S?MNG4＝SBEG＝．

19

△△△

【點睛】本題主要考查4了正方形，4矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是類比的方法．

【例3】（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上

一點（不與點C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延長CG至點C′，使C′G＝CG，

連接CF，AC′．

第5頁共68頁.

(1)直接寫出圖中與AFB相似的一個三角形；

(2)若四邊形AFCC′△是平行四邊形，求CE的長；

(3)當CE的長為多少時，以C′，F(xiàn)，B為頂點的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？

【答案】(1)答案不唯一，如AFB∽△BCE

(2)CE＝7.5△

(3)當CE的長為長為或3時，以C′，F(xiàn)，B為頂點的三角形是以C′F為腰的等腰三角形

54

5

【分析】（1）因為AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三個直

角三角形和AFB△相似，解答時任意寫出一個即可；

（2）根據(jù)△AFB∽△BGC，得，即，設AF＝5x，BG＝3x，根據(jù)

??????155

AFB∽△△BCE∽△BGC，列比?例?=式?可?得C?E?的=長9；=3

△（3）分兩種情況：①當C'F＝BC'時，如圖2，②當C'F＝BF時，如圖3，根據(jù)三角形相似

列比例式可得結(jié)論．

（1）解：（任意回答一個即可）；①如圖1，AFB∽△BCE，理由如下：

△

∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，

∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；

②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG

＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝

∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；

（2）∵四邊形AFCC'是平行四邊形，∴AF＝CC'，由（1）知：AFB∽△BGC，∴，

????

即，設AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝△C'G，∴CG＝C'G＝??2.=5x?，?

??155

∵△??A=FB9∽=△3BCE∽△BGC，∴，即，∴CE＝7.5；

????2.5???

??=??3?=9

第6頁共68頁.

（3）分兩種情況：①當C'F＝BC'時，如圖2，∵C'G⊥BE，∴BG

＝GF，∵CG＝C'G，∴四邊形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：設AF＝5x，BG

＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴，即，∴，∴CE＝；②當

????5?6?5?954

??=??9=??6?=??5

C'F＝BF時，如圖3，由（1）知：AFB∽△BGC，

∴，設BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝△C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F

????155

＝5??a，=∴??F=G＝9=3＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；綜上，當

22??????3?

CE的長為長為?或?3?時?，?以C′，F(xiàn)，B為頂點的?三?=角?形?是以9C=′F4為?+腰5?的等腰三角形．

54

【點睛】本題是5四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題，屬于中考壓軸題．

【例4】（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD

＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點2F3沿著A→B→D

的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．

(1)如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒

2

時，設CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；3

(2)如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，

ΔAEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當x為3何值時，y的值最大，最大值為

多少？

第7頁共68頁.

(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB

1

上運動時，探究點E、F在什么位置3能使EM＝HM．并說明理由．

【答案】(1)；

??4

??=9

32

(2)y關于x的函數(shù)解析式為4?0≤?≤2；當時，y的最大值為

32334343

?=?4?+2?+2?2≤?≤3?=3

43

；6+23???3?3≤?≤23

2

(23+)當3E3F∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析

【分析】（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得，可得，根據(jù)題

????

意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△△P?G??C，~△即?可??求解；??=??

82

（2）分三種3情況討3論：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上；當時，E點在

43

BD上，F(xiàn)點在AB上；當時，點E、F均在BD上，即可求2解≤；?≤3

43

（3）當EF∥BD時，能使E3M≤＝?≤H2M．3理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．

（1）

解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴，

∴??∥??，

∴△???~，△???

????

∵點??=E?的?速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為秒，

2

∴AF=，AE=，3

82

∵AB=34，AD=32，

∴BF=，ED=，

44

33

第8頁共68頁.

∴8，

32

4

??

∴B3G==1，

∴CG=3，

∵，

∴△??P∥D??E∽△PGC，

∴，

????

∴??=?；?

??4

（2??）=9

解：根據(jù)題意得：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上，此時AE=x，，

∵，AB=4，AD=2，??=3?

∴??=23，

222

∴△??AB+D??是直=?角?三角形，

∵，

??1

∴∠??A=B2D=30°，

∴∠A=60°，

如圖，過點E作交于H，

??⊥??

∴，

°3

∴??=???sin60=2?；

11332

∴?當=x2＞×0??時×，??y=隨2x×的3增?×大而2?增=大4?，

此時當x=2時，y有最大值3；

當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上，

43

如圖2≤，?≤過3點E作交于N，過點D作交于M，則EN∥DM，

??⊥????⊥??

根據(jù)題意得：DE=x-2，

第9頁共68頁.

∴，

在?R?t△=2AB3D+中2?，?，AM=1，

∵EN∥DM，??=???sin?=3

∴△BEN∽△BDM，

∴，

????

∴??=??

??2+23??

∴3=23，

1

∴??=1+3?2?，

111323+3

此時?=該2函×?數(shù)?圖×?象?的=2對×稱(軸3?為)×直(1線+3?2?)=，?4?+2?

∴當時，y隨x的增大而?=增大3+，1

43

此時當2≤?≤3時，y有最大值；

432

當?=3時，點E、F均2在+3BD3上，

43

過點3E≤作?≤23交于Q，過點F作交于P，過點D作DM⊥AB于點M，

??⊥????⊥??

∴，DA+DE=x，

∵?AB?=+4?，?A=D=32?，

∴，，

∵?PF?∥=2DM3?，?+2??=4+3

∴△BFP∽△BDM，

∴，即，

????3??4??

∴??=??，23=3

3

∵??=2??，2

∴△??B/E/Q?∽?△BDM，

∴，即，

????23+2????

∴??=??2，3=3

1

∴??=3+1?2?，

1113

此時?=y2隨×?x?的×(增??大?而??減)=小2，×4×(3+1?2??2?+2)=6+23?1+3?

第10頁共68頁.

此時當時，y有最大值；

432

?=32+33

32

綜上所述：y關于x的函數(shù)解析式為4?0≤?≤2

323343

?=?4?+2?+2?2≤?≤3

43

3

當時，y最大值為；6+23???3?≤?≤23

432

（3?）=32+33

解：當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：

連接DH，如圖，

∵，AB=4，

1

∴?．?A=H3=?1，?

由（2）得：此時，

∵M是DF的中點?，?⊥??

∴HM=DM=MF，

∵EF∥BD，BD⊥AD，

∴EF⊥AD，

∴EM=DM=FM，

∴EM=HM．

【點睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．

【例5】（2022·上?！ぶ锌颊骖}）平行四邊形，若為中點，交于點，連接．

??????????????

(1)若，

①證明??=??為菱形；

????

第11頁共68頁.

②若，，求的長．

(2)以??為=圓5心，??=為3半徑，??為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點記為點，

且?．?若?在直線?上，求?的?值．?

??

【答??案=】(21?)①?見解?析；②????

(2)62

10

5

【分析】（1）①連接AC交BD于O，證AOE≌COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得

∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的△判定定理△得出結(jié)論；

②先證點E是ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設OE=x，則BE=2x，在RtAOE

中，由勾股定理△，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理，得△

OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解△得：x=,即可得OB=3x=3，再由平

行四邊形性質(zhì)即可得出BD長；22

（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點E是ABC的重心，又在直線上，則

CG是ABC的中線，則AG=BG=AB，根據(jù)重心性質(zhì)得△GE=CE＝AE，C?G=CE+G?E?=AE，

11232

在Rt△AGE中，由勾股定理，得2AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)22=AE22,則AG=AE,所以2

212

AB=2△AG=AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC22=BG2+C2G2=AE2+（2AE）2=5AE2，

132

則BC=A2E，代入即可△求得的值．22

??

(1)5??

①證明：如圖，連接AC交BD于O，

∵平行四邊形，

∴OA=OC，????

∵AE=CE，OE=OE，

∴△AOE≌COE(SSS)，

∴∠AOE=∠△COE，

∵∠AOE+∠COE=180°，

∴∠COE=90°，

第12頁共68頁.

∴AC⊥BD，

∵平行四邊形，

∴四邊形?是??菱?形；

②∵OA=O?C?，??

∴OB是ABC的中線，

∵為△中點，

∴?AP是??ABC的中線，

∴點E是△ABC的重心，

∴BE=2OE△，

設OE=x，則BE=2x，

在RtAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,

∴9-x△2=25-9x2，

解得：x=,

∴OB=3x=32，

∵平行四邊形2，

∴BD=2OB=6??；??

(2)2

解：如圖，

∵⊙A與⊙B相交于E、F，

∴AB⊥EF，

由（1）②知點E是ABC的重心，

又在直線上，△

∴?CG是A?B?C的中線，

∴AG=BG△=AB，GE=CE，

11

∵CE=AE2，2

∴GE=2AE，CG=CE+GE=AE，

232

22

第13頁共68頁.

在RtAGE中，由勾股定理，得

AG2=△AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,

21

∴AG=AE,22

2

∴AB=22AG=AE，

在RtBGC中2，由勾股定理，得

BC2=△BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，

132

∴BC=AE，22

∴5．

??2??10

【點??睛=】5本??題=考5查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公

共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關性質(zhì)是解題的關鍵，屬是考常考題目．

一、解答題【共20題】

1．（2022·山西實驗中學模擬預測）綜合與實踐：

問題情境：在綜合與實踐課上，數(shù)學老師出示了一道思考題：

如圖，在正方形中，是射線上一動點，以為直角邊在邊的右側(cè)作等腰直角三

角形，使得?????，??，且點恰好?在?射線上．??

???∠???=90°??=?????

(1)如圖1，當點在對角線上，點在邊上時，那么與之間的數(shù)量關系是_________；

探索發(fā)現(xiàn)：??????????

第14頁共68頁.

(2)當點在正方形外部時如圖2與圖3，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請利用

圖2進行?證明；若?不?成??立，請說明理由；

問題解決：

(3)如圖4，在正方形中，，當是對角線的延長線上一動點時，連接，

若，求???的?面積．??=22?????

【答??案=】6(12)△???；

(2)成立，證明??見=解析2?；?

(3)．

16?42

【分析】（1）連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)和是等腰直角三角形，證得，

可得，即可??；??△???△???～△???

????

（2）?連?=接??，根據(jù)正方形的性質(zhì)和是等腰直角三角形，證得，可

得，??即可；??△???△???～△???

????

（3??）=連?接?交于點，過點作交直線于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得

，再??證得????，可??得⊥??，???，在中，根據(jù)?勾?股=

?定?理=可2得△???，?△即可??．???=????=??=2??△???

【詳解】（?1?）=解4：2如?圖2，連接，

??

∵四邊形是正方形，

∴??，??，

∴??=??∠???=∠???=9，0°

∴∠???=∠???=∠，???=45°

??2

∵cos∠???是=等??腰=直2角三角形，

∴??△???，

∴∠???=∠???=45°，

∴∠????∠???，=∠????∠???

∴∠???=∠???，

∴△???，～△???

????

??=??

第15頁共68頁.

∴．

??2

即??=2；

故答??案=為：2??；

（2）解：（?1）?=中的2結(jié)??論還成立，證明如下：

如圖2，連接，

∵四邊形??是正方形，

∴????，，

∴??=??=??=??∠???=，∠???=90°

∴∠???=∠???=∠，???=45°

??2

∵cos∠???是=等??腰=直2角三角形，

∴??△???，

∴∠???=∠???=45°，

∴∠???+∠???，=∠???+∠???

∴∠???=∠???，

∴△???，～△???

????

∴??=??．

??2

即??=2；

??=2??

（3）解：如圖4，連接交于點，過點作交直線于點，

????????⊥?????

∵四邊形是正方形，，

??????=22

第16頁共68頁.

∴，，，

∴??=??=2，2∠???=90°??，⊥??

∴∠???=45°，∠???=∠???=90°，

∴∠???=，45°∠???+∠???=90°

∴??=??，

在??=??=中?，??sin45°=2，，

∴??△???∠???=，90°??=??

∴∠???+∠???，=90°

∵∠???=，∠???

∴??⊥??，

∴∠???=∠???=90°，

∴△????，△??????，

在??=??中?，?由=勾??股=定2理得，，

222

設??△???，??=??+??

∴??=??=?，

2

22

解得6，2=2+?+，2+?（舍去），

即?1=42，?2?2=?42?2

∴??=42?2．

11

【點?△睛??】?本=題2?是?四??邊?形=綜2合2題+4，考2查?了2全×等4三角2?形2的判=定16與?性4質(zhì)2，相似三角形的判定與性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．

2．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學三模）（1）如圖，在正方形中，

是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并1延長交?于??點?．求?

證：??；???????????

（2）△在?（??1）≌△的條??件?下，如圖，延長交邊于點．若，求的值；

??2??

（3）如圖，四邊形為矩形2，同樣沿??著??折疊，連?接，?延?=長3，??分別交于，

兩點，若3???，?則的值為______?__?___．（直接?寫?出結(jié)果?）???????

??3??4??

??=4,??=5??

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

117

74

第17頁共68頁.

【分析】（）根據(jù)證明三角形全等即可；

（）如圖1中，連A接AS．根據(jù)，求出即可解決問題；

2222

（2）如圖2中，連接??．由??+??，=可?以?設+????，

??3??4

根據(jù)3相似三3角形的判定?和?性質(zhì)?可?=得4,??=5，則??=3?,??=4?,??=4，?利,?用?勾=股5?定

理構(gòu)建方程求解即可．??=12???=?????=3??12?

【詳解】（）證明：如圖中，

11

是由折疊得到，

∵△???，△???

∴??⊥??，

∴四∠?邊?形?+∠??是?正=方90形°，

∵????，

∴∠?=∠???=90°，

∴∠???+∠???，=90°

∴在∠???=和∠???中，

△???△???

，

∠???=∠?

∠???=∠???

??=??（）；

∴（△）??解?：≌如△圖???中，AA連S接．

22??

，

∵△???≌，△???

∴由?折?疊=可?知?，

??=，??,??=??

∴∠???=∠???

第18頁共68頁.

四邊形是正方形，

∵????，

∴??∥??,??=，??

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠，???

∴??=，??

??2

∵設??=3，則，

??=2???=，??=3?,??=??=2?

∴設??=?????，=?

??=??=?，

∴由??折=疊可??知???=2???，

∴∠?，??=∠???=90°

∴∠???=90°，

2222

∴??+（??）=??（+??），

22

22

∴?+或2?（舍=棄）2，???+?

∴?=4?0，

∴??=2??；?=7?

???1

（∴??）=解7：?=如7圖中，連接．

33??

由，

??3??4

設??=4,??=5，

由?（?）=知??=3?,??=4?，,??=4?,??=5?

2?，?=??=5?

∴由?折?疊=可9知?，

??⊥??，

∴∠???+∠，???=90°

∵∠?=90°，

∴∠???+∠???，=90°

∴∠???=∠???

第19頁共68頁.

，

∵∠???=∠?=9，0°

∴△???∽△???，

??????3

∴??=?，?=??=4

9?3

∴??=4，

∴??=12?=??，

∴??=3??12?

，

∵∠?=∠???=90°

2222

∴（??+）??=（??）+??（）（），

2222

∴5?+12或?=4?（舍+棄）3，??12?

∴?=4?+17?4??17?，

∴??=3??12?．=12?+317??12?=317?

??317?17

∴【?點?睛=】1本2?題=屬于4四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相

似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．

3．（2022·浙江嘉興·一模）如圖1，已知正方形和正方形，點B、C、E在同一直

線上，，．連接、?．???????

??=?(?>1)??=1????

(1)求圖1中、的長（用含m的代數(shù)式表示）．

(2)如圖2，正?方?形??固定不動，將圖1中的正方形繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)度（

），試探究、????之間的數(shù)量關系，并說明理由．?????0°<?≤

9(30)°如圖3，在（??2）?條?件下，當點A，F(xiàn)，E在同一直線上時，連接并延長交于點H，

若，求m的值．????

【答??案=】(21)BG=，AF＝

22

(2)AF=BG?+12?+2

(3)2

1+3

【分析】（1）延長FG交AB于H，在RtBCG中，由勾股定理，求BG的長，在RtAHG

中，由勾股定理，求AF的長；△△

第20頁共68頁.

（2）連接AC、CF，在等腰RtABC中，由勾股定理，得AC=BC，在等腰RtFGC中，

由勾股定理，得CF=CG，則△，從而可證ACF∽2BCG，得△，

????????

即可得出結(jié)論；2??=??=2△△??=??=2

（3）連接AC，證明AHF∽CHA，得，又由正方形，EF=CE=1，

????

可求得CF=△，△即從而求?得?=CH??=CF+FH=+??=?2?，代入得，即

22??2

可求得AH=2，??D+H=?A?D-=AG=2m-2，然后在RtCDH中，由2勾股2定理2，得22=??

，即△求解即可．

222222

?（?1）+??=???+??2=22

解：延長FG交AB于H，如圖1，

∵正方形和正方形，點B、C、E在同一直線上，

∴∠ABC=?∠??B?CD=∠CGD?=?∠??CGH=90°，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，

在RtBCG中，由勾股定理，得

△；

22222

?∴?∠=BH?G?=90+°，??=?+1=?+1

∴四邊形BCGH是矩形，∠AHG=90°，

∴GH=BC=m，BH=CG=1，

∴AH=m-1，

在RtAHG中，由勾股定理，得

△；

22222

?（?2）=??+??=??1+?+1=2?+2

解：連接AC、CF，如圖2，

∵正方形和正方形，

????????

第21頁共68頁.

∴∠ACB=∠FCG=45°，

∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG，

∴∠BCG=∠ACF，

在等腰RtABC中，由勾股定理，得

AC=BC△，

在等腰2RtFGC中，由勾股定理，得

CF=CG△，

∴2，

????

∴??A=CF??∽=B2CG，

∴△△，

????

即?A?F==??B=G；2

（3）2

解：連接AC，如圖3，

∵正方形和正方形，

∴∠CAD?=∠??C?FE=45°，C?D??=A?D=BC=m，

∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CAD=∠CAF+∠FAH，

∴∠FAH=∠ACF，

∵∠AHF=∠CHA，

∴AHF∽CHA，

∴△，△

????

∵正??方=形??，EF=CE=1，

∴CF=????，

22

∴CH=C?F?+F+H=??+==22，

∴，222

??2

∴A2H2==2，??

∴DH=AD-AG=m-2，

在RtCDH中，由勾股定理，得

△

第22頁共68頁.

，

222

?即?+??=??

2

22

解得?：+??2=，22(不符合題意，舍去)．

∴m的值?1為=1+3．?2=1?3

【點睛】本題1考+查3正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的

性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)并能靈活運用是解題的關鍵．

4．（2022·北京市第十九中學三模）如圖，在中，，，是的

中點，是延長線上一點，平移到，△線?段??的中∠垂??線?與=線90段°?的?延>長??線交?于點??，

連接?、??．?????????

????

(1)連接，求證：；

(2)依題意??補全圖形，∠?用?等?式=表2∠示?線??段，，之間的數(shù)量關系，并證明．

【答案】(1)見解析??????

(2)圖見解析，結(jié)論：，理由見解析

222

??+??=??

【分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可解決問題；

（2）圖形如圖所示，結(jié)論：，想辦法證明即可．

222

（1）??+??=??∠???=90°

證明：連接．

??，，

∵∠???=90°?，?=??

∴??=??=??，

∴∠???=∠???；

∴（∠2）???=∠???+∠???=2∠???

解：圖形如圖所示，結(jié)論：．

222

理由：連接，，取的??中點+?，?連=接??，，．

?????????????

第23頁共68頁.

點在的垂直平分線上，

∵???，

∴??=??，，，

∵??=????，=????=??

∴??=?，?=??

∵四??邊∥形??，四邊形是平行四邊形，

∴?，???，????

∴??∥????∥??，

∴∠???=，∠???=∠???

∵??∥??，

∴∠???=，∠???=90，°

∵??=??，??=??，

∴??⊥??∠???=∠，???

∴四∠?邊?形?=∠???四=點90共°圓，

∴?,?,?,?，

∴∠???=∠???，

∴∠，???，=∠，??四?點共圓，

∴????，

∴∠???+∠??，?=180°

∴∠???=90°．

222

∴【?點?睛+】?本?題=考?查?作圖平移變換，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

線段的垂直平分線的性質(zhì)?，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是

靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

5．（2022·浙江紹興·一模）如圖①，在正方形中，點E與點F分別在線段上，

且四邊形是正方形．??????,??

????

第24頁共68頁.

(1)試探究線段與的關系，并說明理由．

(2)如圖②若將條??件中??的四邊形與四邊形由正方形改為矩形，，．

①線段在（1）中的關系?仍?然??成立嗎？若?成??立?，請證明，若不成立，??請=寫3出?你?=認4為正

確的關系??，,?并?說明理由．

②當為等腰三角形時，求的長．

【答案△?】?(?1)，理由??見解析

(2)①位置關系??保=持??不,?變?⊥，?數(shù)?量關系變?yōu)?；理由見解析；②當為等腰三角形時，

??3

的長為或或．??=4△?????

32115

2208

【分析】（1）如圖1，根據(jù)證明，可得，及，則，

°

所以；SAS△????△?????=??∠???=90??⊥??

（2）?①?⊥如?圖?2，連接交于點O，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的

性質(zhì)得：??,??，可知??在以點O為圓心的圓上，根據(jù)直徑所對的圓

周角是直?角?得=??=??=?，?=再?證?明?,?,?,?,?，得；

°????3

②先根據(jù)∠，??設?=90△，???～△?????=??=4

??3

分三種情況??：=4??=3?