專題09 二次函數(shù)-將軍飲馬求最小值（對(duì)稱）（原卷版）

第九講二次函數(shù)--將軍飲馬求最值（對(duì)稱）

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn).....................................................................................................................................2

考點(diǎn)二一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn).....................................................................................................................................4

考點(diǎn)三兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn).....................................................................................................................................5

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；

（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：

A、A’是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：

（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：

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（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形

ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

考點(diǎn)一兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)

1．如圖，拋物線y＝﹣+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+1過B、C兩

點(diǎn)，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M（3，1）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x

軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PM的最小值．

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2．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）

經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；

（2）當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP周長(zhǎng)的最小值；

2

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝﹣x+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，若點(diǎn)E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在該拋物線的對(duì)稱軸上，求使得△ECD

面積取最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)EF+CF的最小值；

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考點(diǎn)二一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)

4．如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5交于B，

C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M，N分別是直線BC和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△DMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，并寫

出△DMN周長(zhǎng)的最小值；

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），求△DEF

周長(zhǎng)的最小值；

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6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線為

．點(diǎn)C為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)DE＝2時(shí)，求四邊形CAEB的面積；

（2）若直線CE移動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸位置，點(diǎn)P、Q分別為直線CE和x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求△BPQ周

長(zhǎng)的最小值；

考點(diǎn)三兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)

7．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，4），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)

B的坐標(biāo)為（3，0）

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為

拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D，G，H，F(xiàn)四點(diǎn)所圍

成的四邊形周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G，H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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8．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為D（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（2，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，M為線段O、B之間一動(dòng)點(diǎn)，N為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在使M、C、D、N四點(diǎn)圍

成的四邊形周長(zhǎng)最小？若存在，求出這個(gè)最小值及M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H且與y軸

平行的直線與BC、CE分別交于點(diǎn)F、G．試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段HF的最長(zhǎng)，求點(diǎn)H的坐