專題14 二次函數(shù)-主從聯(lián)動（瓜豆原理）求最小值（原卷版）

第十四講二次函數(shù)--主從聯(lián)動（瓜豆原理）求最值

知識導(dǎo)航

必備知識點

一、軌跡為線段

引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌

跡是？

【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂

線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到

BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．

【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運動時，

求Q點軌跡？

【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時

候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡

線段．

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【模型總結(jié)】

必要條件：

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾

角）

P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

二、軌跡為圓

引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．

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考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP

一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．

Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放．

根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；

根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．

引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

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【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接

下來確定圓心與半徑．

考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？

【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

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【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．

按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

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例題演練

1．如圖①，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，連接

BC，點P是拋物線上一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）當(dāng)點P不與點A、B重合時，作直線AP，交直線BC于點Q，若△ABQ的面積是△BPQ面積的4

倍，求點P的橫坐標(biāo)．

（3）如圖②，當(dāng)點P在第一象限時，連接AP，交線段BC于點M，以AM為斜邊向△ABM外作等腰

直角三角形AMN，連接BN，△ABN的面積是否變化？如果不變，請求出△ABN的面積；如果變化，

請說明理由．

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2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c

經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，當(dāng)點M運動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC面積

的，求此時點M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的B與x軸交于E、F兩點（F在E右側(cè)），若P點是B上一動

點，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PA⊙D，使∠PAD＝90°（P、A、D三點為逆時針順序），連⊙接FD．求

FD長度的取值范圍．

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3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點A（1，0），點B（﹣

3，0），與y軸交于點C，連接BC，點P在第二象限的拋物線上，連接PC、PO，線段PO交線段BC

于點E．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；

（3）已知點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點N，連接BN，點H在x軸上，當(dāng)∠HCB＝∠NBC時，

①求滿足條件的所有點H的坐標(biāo)

②當(dāng)點H在線段AB上時，點Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，保持QH＝，連接BQ，將線段BQ繞著

點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QM，連接MH，請直接寫出線段MH的取值范圍．

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4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）若以點C為圓心，1為半徑的圓上有一動點P，連接BP，點Q為線段BP上一點，且BQ＝BP，

求線段OQ的最大值；為線段BP上一點，且BQ＝BP，求線段OQ的最大值；

（2）若點D為拋物線上一點且橫坐標(biāo)為﹣3，點E為y軸上一點，點F在以點A為圓心，2為半徑的

圓上，求DE+EF的最小值