2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：三角形（10題）

第1頁（共1頁）2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：三角形（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，點D，E分別在AB，AC上，BD＝CE，AB＝AC，BE，CD相交于點O．求證：∠B＝∠C．小剛同學的證明過程如下：證明：在△ABE和△ACD中，AB=ACBD=CE…第一步∴△ABE≌△ACD…第二步∴∠B＝∠C…第三步（1）小剛同學的證明過程中，第步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．2．（2024?長沙模擬）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB＝AC，點E是BD上一點，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求證：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度數(shù)．3．（2024?錫山區(qū)校級一模）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點，且AF＝CE．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度數(shù)．4．（2024?松原二模）已知：如圖，AE⊥AB，BC⊥AB，EA＝AB，D為AB上一點，連接ED、AC相交于F，ED＝AC，求證：Rt△EAD≌Rt△ABC．5．（2024?綏江縣模擬）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC≌△ADE．6．（2024春?南海區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．7．（2024?吉安三模）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是邊BC上任意一點，連接AD，過點C作CE⊥AD于點E．（1）如圖1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求線段BD的長；（2）如圖2，過點C作CF⊥CE，且CF＝CE，連接FE并延長交AB于點M，連接BF，求證：AM＝BM．8．（2024?婁星區(qū)二模）如圖，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三點共線，∠ACB＝∠DCE＝90°，延長DE交AB于點F．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）若CD＝1，AC＝2，求AF的長度．9．（2024?汕尾一模）如圖，點E，C，D，A在同一條直線上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：BC＝EF．10．（2024?濟寧一模）已知正方形ABCD的邊長為8，點E是對角線AC上的一點．（1）如圖①，若點E到AD的距離為6，則點E到AB的距離為；（2）連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F．①如圖②，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG．求證：矩形DEFG是正方形；②如圖③，在①的條件下，連接AG，求AG+AE的值．

2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：三角形（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，點D，E分別在AB，AC上，BD＝CE，AB＝AC，BE，CD相交于點O．求證：∠B＝∠C．小剛同學的證明過程如下：證明：在△ABE和△ACD中，AB=ACBD=CE…第一步∴△ABE≌△ACD…第二步∴∠B＝∠C…第三步（1）小剛同學的證明過程中，第一步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）一；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得出答案；（2）先證明AD＝AE，再由SAS證明△ABE≌△ACD，即可得證．【解答】（1）解：由題意得：小剛同學的證明過程中，第一步出現(xiàn)錯誤；（2）證明：∵BD＝CE，AB＝AC，∴AB﹣BD＝AC﹣CE，∴AD＝AE在△ABE和△ACD中，AB=AC∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關鍵．2．（2024?長沙模擬）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB＝AC，點E是BD上一點，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求證：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計算題；證明題；圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）證明△ABE≌△ACD（ASA），可得出結(jié)論；（2）由三角形內(nèi)角和可求出答案．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中∠ABD=∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2024?錫山區(qū)校級一模）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點，且AF＝CE．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計算題；證明題；圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠FCD，根據(jù)SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角和等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2024?松原二模）已知：如圖，AE⊥AB，BC⊥AB，EA＝AB，D為AB上一點，連接ED、AC相交于F，ED＝AC，求證：Rt△EAD≌Rt△ABC．【考點】直角三角形全等的判定；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)HL證明三角形全等．【解答】證明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB＝∠ABC＝90°，在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=ACEA=AB∴Rt△EAD≌Rt△ABC（HL）．【點評】本題考查的是全等三角形的判定，掌握利用HL判定兩個三角形全等是解決此題的關鍵．5．（2024?綏江縣模擬）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC≌△ADE．【考點】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)SAS證明△ABC≌△ADE即可．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE（SAS）．【點評】此題考查全等三角形的判定，關鍵是根據(jù)SAS證明△ABC≌△ADE解答．6．（2024春?南海區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先可證明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根據(jù)三角形角平分線的逆定理求得AD是角平分線即可．【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．BD=DCBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD是△ABC的角平分線．【點評】此題主要考查了角平分線的逆定理，綜合運用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正確解答本題的關鍵．7．（2024?吉安三模）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是邊BC上任意一點，連接AD，過點C作CE⊥AD于點E．（1）如圖1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求線段BD的長；（2）如圖2，過點C作CF⊥CE，且CF＝CE，連接FE并延長交AB于點M，連接BF，求證：AM＝BM．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先求得：∠CAE＝45°﹣15°＝30°，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)可得AC＝2CE＝2，再得∠ECD＝90°﹣60°＝30°，設ED＝x，則CD＝2x，利用勾股定理得：3x＝1，求得x的值，可得BD的長；（2）如圖2，連接CM，先證明△ACE≌△BCF，則∠BFC＝∠AEC＝90°，證明C、M、B、F四點共圓，則∠BCM＝∠MFB＝45°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AM＝BM．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠BAD＝15°，∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°，Rt△ACE中，CE＝1，∴AC＝2CE＝2，Rt△CED中，∠ECD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝2ED，設ED＝x，則CD＝2x，∴CE=3x∴3x＝1，x=3∴CD＝2x=2∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣CD＝2-2（2）如圖2，連接CM，∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF，∵AC＝BC，CE＝CF，∴△ACE≌△BCF，∴∠BFC＝∠AEC＝90°，∵∠CFE＝45°，∴∠MFB＝45°，∵∠CFM＝∠CBA＝45°，∴C、M、B、F四點共圓，∴∠BCM＝∠MFB＝45°，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵AC＝BC，∴AM＝BM．【點評】本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理，第二問有難度，構(gòu)建輔助線，證明△ACE≌△BCF是關鍵．8．（2024?婁星區(qū)二模）如圖，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三點共線，∠ACB＝∠DCE＝90°，延長DE交AB于點F．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）若CD＝1，AC＝2，求AF的長度．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）32【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°，利用SAS即可判定△ACE≌△BCD；（2）結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF＝AF，∠DFA＝90°，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠DCE=90°∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，∠EDC＝45°，∠BAC＝45°，∴DF＝AF，∠DFA＝90°，∴AF2+DF2＝2AF2＝AD2，∵CD＝1，AC＝2，∴AD＝CD+AC＝3，∴AF=3【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．9．（2024?汕尾一模）如圖，點E，C，D，A在同一條直線上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：BC＝EF．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠FDE，再利用ASA證明△ABC≌△DEF，進而證明即可．【解答】證明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠FDE，在△ABC與△DEF中，∠B=∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是利用ASA證明△ABC≌△DEF解答．10．（2024?濟寧一模）已知正方形ABCD的邊長為8，點E是對角線AC上的一點．（1）如圖①，若點E到AD的距離為6，則點E到AB的距離為6；（2）連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F．①如圖②，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG．求證：矩形DEFG是正方形；②如圖③，在①的條件下，連接AG，求AG+AE的值．【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）6．（2）①見解答．②82．【分析】（1）如圖①中，過點E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題即可．（2）①如圖②中，連接EB．證明DE＝EB，EF＝EB，可得結(jié)論．②證明△GDA≌△EDC（SAS），推出AG＝EC，可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖①中，過點E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAM＝∠EAN＝45°，∵EM⊥AM，EN⊥AN，∴EM＝EN＝6，∴點E到AB的距離為6，故答案為：6．（2）①證明：如圖②中，連接EB．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，在△DCE和△BCE中，CD=CB∠DCE=∠BCE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝EB，∠CDE＝∠CBE，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠EBF＝∠ADE，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠ADE＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝EB，∴DE＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．②解：如圖③中，∵四邊形DEFG，四邊形ABCD都是正方形，∴∠ADC＝∠GDE＝90°，DA＝DC，DG＝DE，∴∠GDA＝∠EDC，在△GDA和△EDC中，DG=DE∠GDA=∠EDC∴△GDA≌△EDC（SAS），∴AG＝EC，∴AG+AE＝EC+AE＝AC=2AD＝82【點評】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相關圖形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．

考點卡片1．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．2．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．4．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)