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前面例題中所求的不定積分,都得到了原函

幾種特殊類型函數(shù)的不定積分

但有相當(dāng)多的初等函數(shù)雖然存在原函數(shù),原函例如

等不定積分都“積不出來(lái)”.數(shù)的解析表達(dá)式,因而都是初等函數(shù).數(shù)卻不是初等函數(shù).兩個(gè)多項(xiàng)式之商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).即5.4.1有理函數(shù)的積分其中

m、n都是非負(fù)整數(shù);及

下面我們介紹幾類原函數(shù)一定是初等函數(shù)的不定積分.都是實(shí)數(shù),并且假定分子與分母之間沒(méi)有公因式.稱為有理真分式；稱為有理假分式.

利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多例如,難點(diǎn):將有理函數(shù)化為部分分式之和.項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和.(1)分母中若有因式

則可以分解為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律:特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).(2)分母中若有因式，其中則可以分解為特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).真分式化為部分分式之和的方法為待定系數(shù)法.任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),分別討論上述幾種類型的不定積分.并且四種典型部分分式的積分之和.k為大于1的正整數(shù).用遞推公式綜上所述,所有有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

例5.34

計(jì)算

解比較等式兩端x項(xiàng)系數(shù)得代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將

值代入解例5.35

計(jì)算

故整理得解例5.36

計(jì)算

故所以解作變換原式練習(xí)

計(jì)算

常見(jiàn)類型解決方法

作代換去掉根號(hào).5.4.2簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分

某些無(wú)理函數(shù)的積分,通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,分別令可以化為有理函數(shù)的積分.

解

令例5.37

計(jì)算

解

令原式=例5.38

計(jì)算

解

令例5.39

計(jì)算

三角有理式是指：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)5.4.3三角函數(shù)有理式的積分化為的有理函數(shù)的積分.

三角函數(shù)有理式可以通過(guò)萬(wàn)能代換:成的函數(shù)．記為令(萬(wàn)能代換公式)解

設(shè)例5.40

計(jì)算

解1

設(shè)例5.41

計(jì)算

解2修改萬(wàn)能代換公式令解3

可以不用萬(wàn)能代換公式結(jié)論:

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