期末復(fù)習(xí)之全等三角形相關(guān)的熱考幾何模型（原卷版）

全等三角形相關(guān)的熱考幾何模型（熱考必刷34題8種題型專項訓(xùn)練）倍長中線模型一線三垂直模型一線三等角模型截長補短模型半角模型手拉手模型對角互補模型婆羅摩及多模型一．倍長中線模型（共5小題）1．（23-24八年級上·貴州銅仁·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE=AD，請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點E，使DE=AD在△ABD和△ECD中∵∴△ABD≌△ECD（__________）請補齊空白處(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是__________；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】如圖2，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的長．2．（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）【方法學(xué)習(xí)】數(shù)學(xué)興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC邊上的中線AD的取值范圍．小李在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1），①延長AD到E，使得DE=AD；②連接BE，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABE中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍為AB-BE<AE<AB+BE，從而得到AD的取值范圍；方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（1）如圖1，請寫出AD的取值范圍是．（2）如圖2，OA=OB，OC=OD，∠AOB與∠COD互補，連接AC、BD，E是AC的中點，求證：OE=1【問題拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E，使DE=AD，再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF>EF；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4．（22-23八年級上·北京東城·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小麗在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，可證△ACD≌△MBD，從而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍．

【方法總結(jié)】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，有時需要考慮倍長中線（或與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求集中到同一個三角形中．我們把這種添加輔助線稱為“倍長中線法”．【問題解決】(1)直接寫出圖1中AD的取值范圍：(2)猜想圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，判斷線段AD和線段EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．5．（22-23八年級下·吉林·階段練習(xí)）【閱讀理解】數(shù)學(xué)興趣小組活動時，老師提出如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明提出了如下解決方法，延長線段AD至點E，使DE=AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法回答下列問題．(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)探究得出AD的取值范圍___________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【問題解決】(3)如圖2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE．二．一線三垂直模型（共4小題）6．（24-25八年級上·云南文山·階段練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直線過頂點C，過A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：△AEC≌△CFB；（2）如圖3，若改變直線的位置，其余條件與（1）相同，請寫出EF，AE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題提出】（3）在（2）的條件下，若BF=4AE，EF=5，求△BFC的面積．7．（23-24八年級上·遼寧大連·期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點A在直線l上，∠BAD=90°,AB=AD，過點B作BC⊥l于點C，過點D作DE⊥l交于點E．得∠1=∠D．又∠BCA=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE(AAS)．進(jìn)而得到結(jié)論：AC=_____，BC=_____．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠∠BAD=∠MAN=90°,AB=AD,AM=AN,BM⊥l于點C，DE⊥l于點E，ND與直線l交于點P，求證：NP=DP．8．（20-21七年級下·廣東深圳·期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，AD⊥MN，BE⊥MN．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：△ADC?△CEB；（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系：____________．9．（21-22八年級上·湖北恩施·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．(1)若點A的坐標(biāo)為A-2,0，點B的坐標(biāo)為B0,-4，點C在第三象限，且AB=AC，求點(2)若點A的坐標(biāo)為A-2,0，點B的坐標(biāo)為B2,0，AB=AC，點P為y軸正半軸上一動點，連接PC交x軸于點E，點F是點E關(guān)于y軸為對稱軸的對稱點連接PF且延長PF交BC于點D，連接AD交PC于點G．點P在運動過程中是否存在AD⊥PC，若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由（提示：作∠BAC的平分線交PC于點(3)若點A的坐標(biāo)為A-2,-2，點B的坐標(biāo)為B0,m，點C的坐標(biāo)為Cn,0三．一線三等角模型（共5小題）10．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=60°且點B、C、E在一條直線上，連接BD和AE，BD、AE相交于點P，則線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是__________，【深入探究1】（2）如圖2，AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=60°，連接BD和AE，BD、AE相交于點P，則線段BD和【深入探究2】（3）如圖3，AC=BC，CE=CD，且∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE，過點C作CK⊥BE，并延長KC交AD于點Q．求證：Q為11．（21-22八年級上·云南昆明·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC．(1)如圖1，直線NM過點B，AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N，且∠ABC=90°，求證：MN=AM+CN．(2)如圖2，直線NM過點B，AM交NM于點M，CN交NM于點N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，則MN=AM+CN是否成立？請說明理由！12．（2021九年級·浙江·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．

(1)當(dāng)∠BDA=115°時，∠EDC=°，∠DEC=°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌(3)在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．13．（19-20八年級上·河南安陽·期末）（1）如圖①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．則線段DE、BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問：（1）中的結(jié)論是還否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE．若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．14．（22-23八年級下·河南洛陽·期中）綜合與實踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直線l經(jīng)過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證△ABD≌△CAE，此時，線段DE、BD、CE(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知點C的坐標(biāo)為(-2,0)，點B的坐標(biāo)為(1,2)．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點A的坐標(biāo)：；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直線l上取兩點D、E，使得∠BAC=∠BDA=∠AEC，請你幫助小華判斷（1）中線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，點D、E在直線l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，請直接寫出線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系．四．截長補短模型（共3小題）15．（21-22七年級下·遼寧阜新·期末）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點，且∠EAF=1(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=116．（21-22八年級上·四川南充·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求證：DA=DC．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長BA到點N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接AC，當(dāng)∠DAC=60°時，探究線段AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，請寫出線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系．17．（22-23八年級上·湖北孝感·期中）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求證：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度數(shù)．

∵CA平分∠BCD，五．半角模型（共4小題）18．（20-21七年級下·上海嘉定·期末）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，P為△ABC外一點，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP．探究：當(dāng)點M、N分別在直線AB、(1)如圖①，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且PM=PN時，試說明(2)如圖②，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時，答：．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”)．(3)如圖③，當(dāng)點M、N分別在邊AB、19．（22-23八年級上·山西朔州·期末）（1）問題背景：如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、CD上的點且∠EAF=60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=1（3）實際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)2小時后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．20．（20-21七年級下·上海松江·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，點E、F分別在直線BC、CD上，且∠EAF=1(1)當(dāng)點E、F分別在邊BC、CD上時（如圖1），請說明EF=BE+FD的理由．(2)當(dāng)點E、F分別在邊BC、CD延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．（20-21九年級上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且∠MAN=45°，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，連接AM、AN、MN．(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，∠MAN=45°，連接MN，請寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，請直接寫出BN，DM，MN之間數(shù)量關(guān)系．六．手拉手模型（共7小題）22．（21-22八年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，△ABC是一個銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、△ACE，連接BE、CD交于點F，連接AF．(1)求證：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度數(shù)；(3)求證：AF平分∠DFE．23．（20-21八年級上·云南昆明·期末）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

24．（20-21八年級上·山西陽泉·期中）問題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來了如下一道題目（原問題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖①，△ACB和△∠CDE均為等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點A、D、E在同一條直線上，連接BE．求證：∠CDE=∠BCE+∠CBE．問題發(fā)現(xiàn)：小華說：我做過一道類似的題目：如圖②，△ACB和△CDE均為等邊三角形，其他條件不變，求∠AEB的度數(shù)．（1）請聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫出小華的題目要求．拓展研究：（2）如圖③，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一條直線上，CF為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數(shù)及線段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．25．（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若∠AOB=∠COD=60°，連接AC、BD交于點P；(1)求證∶△AOC≌△BOD．(2)求∠APB的度數(shù)．(3)如圖（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，點D是射線AB上的一點，連接CD，在直線AB上方作以點C為直角頂點的等腰直角△CDE，連接BE，若BD=4cm，求26．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與實踐【問題情境】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DE，CD，BE，P為CD的中點，連接AP【數(shù)學(xué)思考】（1）線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系，說明理由．【猜想證明】（2）若把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結(jié)論并說明理由．【深入探究】（3）若把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，若N是BE的中點，連接AN，若AN=1，直接寫出CD的長．∵∠CAB=90°∴∠CAM=∠CAB=90°27．（22-23八年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，(1)如圖1，求證：△ADE?△CDF；(2)直線AE與CF相交于點G．①如圖2，BM⊥AG于點M，BN⊥CF于點N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB=6，DE=3，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值為．28．（22-23八年級上·江西吉安·期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCA應(yīng)轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD，則①∠BEC=；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，若AE=12，DE=7（3）如圖3，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，且∠APC=150°，∠APD=30°，AP=4，CP=3，DP=7，求七．對角互補模型（共3小題）29．（23-24八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D，∠EPF=90°，點P在AD上，射線PE，PF分別交AB，AC兩邊于E，F(xiàn)兩點，(1)當(dāng)點P與點D重合時，如圖2所示，直接寫出：①AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系：_____________________；②AE+AF與AP之間的數(shù)量關(guān)系：_______________________；(2)當(dāng)點P在線段AD上時（不與端點重合），如圖1所示，則AE+AF與AP之間的數(shù)量關(guān)系：．30．（23-24八年級上·北京海淀·期中）小宇和小明一起進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲：已知∠MON=90°，將等腰直角三角板△ABC擺放在平面內(nèi)，使點A在∠MON的內(nèi)部，且兩個底角頂點B，C分別放在邊OM,ON上．

(1)如圖1，小明擺放△ABC，恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON，又由于△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，從而直接可以判斷出點A在∠MON的角平分線上．請回答：小明能夠直接作出判斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是(2)如圖2，小宇調(diào)整了△ABC的位置，請判斷OA平分∠MON是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．31．（22-23八年級下·全國·期中）（1）【問題初探】蘇科版教材八年級下冊第九章《中心對稱圖形一一平行四邊形》復(fù)習(xí)題中有這樣的問題：如圖1正方形ABCD的邊長為2，∠EOF的頂點O在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠EOF=90°，將∠EOF繞點O旋轉(zhuǎn)，∠EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合），問：在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形OECF的面積會發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論．愛思考的浩浩和小航同學(xué)分別探究出了如下兩種解題思路：浩浩：如圖a，充分利用正方形對角線垂直、相等且互相平分等性質(zhì)證明了△OEC≌△OFD，則S△OEC=S△OFD，那么小航：如圖b，也是考慮到正方形對角線的特征，過點O分別作OG⊥BC于點G，OH⊥CD于點H，證明△OGE≌△OHF，從而將四邊形OECF的面積轉(zhuǎn)化成了小正方形通過他們的思路點撥，你認(rèn)為：S四邊形OECF=（填一個數(shù)值），其實，在這樣的旋轉(zhuǎn)變化過程中，線段CE與CF（2）【類比探究】①如圖2，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點O是AD邊的中點，∠EOF=90°，點E在AB上，點F在BC上，則四邊形EBFO的面積為；②如圖3，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“∠BCD=120°，邊長為8的菱形ABCD，當(dāng)∠EOF=60°時，其他條件不變，四邊形OECF的面積還是一個定值嗎？是，請求出來；不是，請說明理由；③如圖4，在②的條件下，當(dāng)點O在對角線AC上運動，頂點O與B點的距離為7，且∠EOF旋轉(zhuǎn)至CF=1時，CE的長度為．（3）【拓展延伸】如圖5，∠BOD=α（α為鈍角），∠CAD=180°-α，∠BAC是鈍角，OA平分∠BOD，OD=3八．婆羅摩及多模型（共3小題）32．（24-25八年級上·河北保定·階段練習(xí)）勾