專題05 有理數(shù)的乘方及混合運算(含科學(xué)記數(shù)法)壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題05有理數(shù)的乘方及混合運算(含科學(xué)記數(shù)法)壓軸題六種模型全攻略

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.......................................................................................................................................................1

【考點一有理數(shù)冪的概念理解】......................................................................................................................1

【考點二有理數(shù)的乘方運算】..........................................................................................................................2

【考點三用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)】.........................................................................................4

【考點四程序流程圖與有理數(shù)計算】..............................................................................................................5

【考點五含乘方的有理數(shù)混合運算】..............................................................................................................6

【考點六乘方的應(yīng)用】......................................................................................................................................7

【過關(guān)檢測】.......................................................................................................................................................9

【典型例題】

【考點一有理數(shù)冪的概念理解】

例題：（2023·全國·七年級假期作業(yè)）若一個算式中，3是底數(shù)，4是指數(shù)，則這個算式是（）

43

A．34B．3C．43D．4

【答案】B

【分析】根據(jù)an中，a叫做冪的底數(shù)，n叫做冪的指數(shù)，去列式即可．

4

【詳解】解：3是底數(shù)，4是指數(shù)，這個算式是3．

故選：B．

【點睛】本題考查了冪的構(gòu)造，底數(shù)，指數(shù)，正確理解冪的意義是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

222

1．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）算式可以表示為（）

333

33

22322

A．3B．C．D．

3333

【答案】C

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【分析】運用乘方的運算解題即可．

3

2222

【詳解】解：=

3333

故選C．

【點睛】本題考查乘方的運算，掌握乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．

2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）式子(3)5表示()

A．3乘5B．5個3相乘C．3個5相乘D．3個5相加

【答案】B

【分析】根據(jù)乘方的含義：am表示m個a相乘，即可解答．

【詳解】解：(3)5，表示5個3相乘．

故選：B．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，充分理解乘方的含義即可，難度不大．

3

3．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）在（）4中，底數(shù)是．

8

3

【答案】

8

【分析】對于a2，其中a是底數(shù)，2是指數(shù)，由此解答即可.

33

【詳解】在()4中，底數(shù)是.

88

3

故答案為：.

8

【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的定義.熟練掌握有理數(shù)乘方的有關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵.

【考點二有理數(shù)的乘方運算】

例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：

32

(1)(2)3；(2)24；(3)

4

【答案】(1)8

(2)16

9

(3)

4

【分析】（1）根據(jù)乘方計算法則計算即可；

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（2）根據(jù)乘方法則計算；

（3）根據(jù)乘方法則計算．

【詳解】（1）解：(2)3[(2)(2)(2)](8)8；

（2）24(2222)16；

32339

（3）．

444

【點睛】此題考查了有理數(shù)乘方計算法則：n個相同因數(shù)的乘法等于這個數(shù)的n次冪，同時可以逆用．

【變式訓(xùn)練】

1.（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）計算：

23

(1)(5)4；(2)；(3)(0.3)3．

5

【答案】(1)625

8

(2)

5

(3)0.027

【分析】（1）(5)4表示4個5相乘，即可得出答案；

（2）先計算2的立方，即可得出答案；

（3）根據(jù)在一個數(shù)的前面加上負(fù)號就是這個數(shù)的相反數(shù)，乘方是幾個相同因數(shù)的簡便運算，可得答案．

【詳解】（1）(5)4(5)(5)(5)(5)625；

232228

（2）；

555

（3）(0.3)3(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027．

【點睛】本題考查了乘方的定義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵．

2.（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）計算：

2

32123

(1)(3)；(2)(1.5)；(3)；(4)(3)；(5)(2)．

7

【答案】(1)27

(2)2.25

1

(3)

49

(4)9

(5)8

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【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則逐個計算即可．

【詳解】（1）(3)3(3)(3)(3)27；

（2）(1.5)2(1.5)(1.5)2.25；

2

1111

（3）；

77749

（4）(3)2(3)(3)9

（5）(2)3(2)(2)(2)8．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練運用運算法則是解本題的關(guān)鍵．

【考點三用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)】

例題：（2023春·江西南昌·九年級?？茧A段練習(xí)）我國神舟十三號載人飛船的起飛推力為5923000牛．將

5923000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．

【答案】5.923106

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值10時，n是正整

數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值1時，n是負(fù)整數(shù)．

【詳解】解：59230005.923106．

故答案為：5.923106．

【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n

為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋·山西太原·七年級?？计谀?016年5月下旬，中國大數(shù)據(jù)博覽會在貴陽舉行，參加此次大會的

約有89000人，將89000用科學(xué)記數(shù)法表示為．

【答案】8.9′104

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n

是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．

【詳解】解：890008.9104,

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故答案為：8.9′104．

【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．

2（.2022秋·山西忻州·七年級?？茧A段練習(xí)）第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2019年4月25日至27日

在北京召開，“一帶一路”建設(shè)進(jìn)行5年多來，中資金融機構(gòu)為“一帶一路”相關(guān)國家累計發(fā)放貸款約2500億

元，重點支持了基礎(chǔ)設(shè)施、社會民生等項目．?dāng)?shù)據(jù)2500億用科學(xué)記數(shù)法表示為．

【答案】2.51011

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n

是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．

【詳解】解：2500億2500000000002.51011，

故答案為：2.51011．

【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．

【考點四程序流程圖與有理數(shù)計算】

例題：（2023秋·山西太原·七年級?？计谀┫聢D是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，若輸入的a的值為2，則輸出的結(jié)果

應(yīng)為．

【答案】0

【分析】按照程序流程圖，把a2代入求解即可．

【詳解】解：由題意得，2240.5440.500.50，

故答案為：0．

【點睛】本題考查了程序流程圖與有理數(shù)混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1.（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖是一個計算程序，若輸入的值為1，則輸出的值應(yīng)為．

【答案】4

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【分析】根據(jù)程序流程圖的流程，列出算式，進(jìn)行計算即可．

【詳解】解：輸入的值為1時，由圖可得：122420；

2

輸入2可得：22440；

∴輸出的值應(yīng)為4；

故答案為：4．

【點睛】本題考查程序流程圖．按照流程圖的流程準(zhǔn)確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．

2.（2023·全國·七年級假期作業(yè)）按下圖的程序計算，如果輸入1，則輸出的結(jié)果為．

【答案】5

【分析】把x=-1代入程序中計算，判斷結(jié)果大于3，輸出即可．

2

【詳解】解：把x=1代入得：1542，

由于第一次所得結(jié)果不滿足大于3的要求，所以再將x2輸入，得：

22545，滿足大于3的要求；

則輸出結(jié)果是5，

故答案為：5．

【點睛】本題考查了程序框圖和有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)運算法則是解題關(guān)鍵．

【考點五含乘方的有理數(shù)混合運算】

31

例題：（2022秋·陜西西安·七年級西安市東方中學(xué)?？计谀┯嬎悖?51115

5

【答案】5

【分析】按照先計算乘方和絕對值，再計算乘法，最后計算加減法的運算順序求解即可．

31

【詳解】解：251115863=5．

5

【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

12

1.（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）計算：1315327

4

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【答案】2

【分析】根據(jù)含有乘方的有理數(shù)的混合運算法則即可求解．

121

【詳解】解：1315327112531632．

44

【點睛】本題主要考查含有乘方的有理數(shù)的混合運算，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．

5

2.（2023秋·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）計算：12022(5)2()15．

3

【答案】22

【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則求解即可．

3

【詳解】原式125()6115622．

5

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．

3.（2022秋·廣東深圳·七年級?？茧A段練習(xí)）混合運算：

21420134213

(1)24(1)．(2)12(3)．

4922

【答案】(1)7

17

(2)

3

【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加減；

（2）先算乘方，再算除法，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有絕對值，要先

做絕對值內(nèi)的運算．

1419

【詳解】（1）解：224(1)20134411917；

4944

421312117

（2）解：12(3)12917．

222333

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再

算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算，注

意乘法運算定律的應(yīng)用．

【考點六乘方的應(yīng)用】

例題：（2023·全國·七年級假期作業(yè)）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在

一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條．如圖所示：這樣捏合

到第6次后可拉出幾根面條？

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【答案】第6次后可拉出64根面條．

【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．

【詳解】解：根據(jù)題意得：2664，

答：這樣捏合到第6次后可拉出64根面條．

【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方的意義．

【變式訓(xùn)練】

1（.2023·全國·七年級假期作業(yè)）如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根

據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細(xì)胞經(jīng)過2小時后可分裂成多少個細(xì)胞？

(2)這樣的一個細(xì)胞經(jīng)過多少小時后可分裂成64個細(xì)胞？

【答案】(1)16

(2)3

【分析】（1）根據(jù)題意，2小時是4個30分鐘，從而得到答案；

（2）根據(jù)題意，得到規(guī)律，設(shè)經(jīng)過n個30分鐘得到64個細(xì)胞，列方程求解即可得到答案．

【詳解】（1）解：經(jīng)過2小時，即第4個30分鐘后，可分裂成2416個細(xì)胞，

經(jīng)過2小時后，可分裂成16個細(xì)胞；

（2）解：根據(jù)題意，一個細(xì)胞第1個30分鐘分裂成2個，即21個細(xì)胞；

第2個30分鐘分裂成4個，即22個；

…

依此類推，第n個30分鐘分裂為2n個細(xì)胞；

\2n=64，解得n6，

經(jīng)過6個30分鐘，即3小時后可分裂成64個細(xì)胞．

【點睛】本題考查冪的應(yīng)用，熟記冪的相關(guān)定義及計算是解決問題的關(guān)鍵．

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【過關(guān)檢測】

一、單選題

1．（2023·甘肅平?jīng)觥ば？既＃?2等于（）

11

A．B．C．4D．4

44

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則，進(jìn)行計算即可．

【詳解】解：224；

故選D

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方運算．熟練掌握有理數(shù)的乘方法則，是解題的關(guān)鍵．

2．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機商業(yè)首航取得圓滿成

功，C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．0.186105B．1.86105C．18.6104D．186103

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于10時，

n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)整數(shù)．

【詳解】解：將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.86105；

故選B

【點睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．

3．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

1

A．1與(1)2B．2與C．2與2D．2與3

232

【答案】A

【分析】只有符號不同兩個數(shù)互為相反數(shù)，化簡判斷．

【詳解】A.(1)2=1，符合相反數(shù)的定義，本選項符合題意；

1

B.2與，不合題意；

2

C.2=2，不合題意；

D.32=9，-23=-8，不合題意；

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故選：A

【點睛】本題考查相反數(shù)的定義、乘方運算、絕對值的化簡，理解相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．

2005

4．（2023春·黑龍江綏化·六年級校聯(lián)考期末）已知4個數(shù)中：(1)，(1.5)，32，0，其中正數(shù)的個數(shù)

有（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】利用乘方的意義計算出(1)20051和329，利用相反數(shù)的定義得到(1.5)1.5，從而得到正

數(shù)的個數(shù)．

2005

【詳解】解：(1)1，(1.5)1.5，329，0，

所以正數(shù)為(1.5)．

故選：A．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，涉及乘方、化簡多重符號等知識，熟練掌握相關(guān)的運算法則以及相關(guān)

概念是解題的關(guān)鍵．

5．（2023秋·廣東中山·七年級?？计谀┪覀円?guī)定這樣一種運算：a&babab1，例如：

2&3232313，那么3&2值為（）

A．14B．2C．4D．16

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列式計算即可．

2

【詳解】解：3&2332196116，故D正確．

故選：D．

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出算式，準(zhǔn)確計算．

6．（2023·浙江溫州·?？级＃┪覈糯兑捉?jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)

量，即“結(jié)繩計數(shù)”．母親甲在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子1出生后的天數(shù)，

如圖1所示，孩子1出生后的天數(shù)是173+372+271+470=508（天），母親乙按照母親甲的做法記錄孩

子2出生后的天數(shù)，如圖2所示，則孩子2出生后的天數(shù)比孩子1出生后的天數(shù)（）

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A．少41天B．少42天C．多41天D．多42天

【答案】A

【分析】根據(jù)已知算法求出孩子2出生后的天數(shù)，相減即可得到答案．

【詳解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天數(shù)是173272371570467（天），

46750841（天），

孩子2出生后的天數(shù)比孩子1出生后的天數(shù)少41天，

故選A．

【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，理解題意，掌握“結(jié)繩計數(shù)”滿七進(jìn)一的計算方法是解題關(guān)鍵．

二、填空題

2

7．（2023春·上海寶山·六年級校考期中）底數(shù)是，指數(shù)是2的冪可寫成．

5

2

2

【答案】

5

【分析】根據(jù)冪的書寫規(guī)則即可求解．

2

【詳解】解：底數(shù)為，指數(shù)為2，

5

2

2

得，

5

2

2

故答案為：．

5

【點睛】本題考查了冪的概念，關(guān)鍵是注意分?jǐn)?shù)為底時，需要把底數(shù)加括號．

33

2223

8．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）計算：；；．

333

888

【答案】

27273

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則計算即可．

33

2828238

【詳解】解：,;，

32732733

888

故答案為：①，②，③．

27273

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方計算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．

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2

12023

9．（2023秋·重慶秀山·七年級統(tǒng)考期末）計算：151．

2

【答案】2

【分析】先算乘方，再乘除，最后加減，計算即可．

2

12023

【詳解】解：151

2

1

41

4

11

2．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合計算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的運算順序，先算乘方，再乘除，最后

加減，如果有括號，先算括號里面的．

10．（2023春·上海閔行·六年級校聯(lián)考期末）4月28日，鐵路上海站迎來今年以來單日最高客流，共計發(fā)送

旅客55.8萬人次，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為人．

【答案】5.58105

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變

成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．

【詳解】解：55.8萬5580005.58105，

故答案為：5.58105．

【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為

整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

2

11．（2023春·河南周口·七年級校考階段練習(xí)）若a2ab10，那么ba．

【答案】1

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求型號a、b的值，再代入計算即可．

2

【詳解】解：∵a2ab10

∴a20，ab10，

解得a2，b=-1，

2

所以ba11，

故答案為：1．

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【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握偶次方和絕對值的非負(fù)性是解決問題的關(guān)鍵．

12．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）根據(jù)如圖的程序計算，若輸入x的值為﹣1，則輸出y的值為．

【答案】4

【詳解】解：由圖中的程序可得，

當(dāng)x＝﹣1時，2x2﹣4＝2×（﹣1）2﹣4＝﹣2＜0，

當(dāng)x＝﹣2時，2x2﹣4＝2×（﹣2）2﹣4＝4＞0，

故輸出的y的值為4，

故答案為：4．

三、解答題

13．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算：

3

341

(1)5；(2)(3)；(3)．

2

【答案】(1)125

(2)81

1

(3)

8

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則計算即可．

【詳解】（1）53555125；

（2）(3)4(3)(3)(3)(3)81；

3

11111

（3）．

22228

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練運用乘方運算法則的是解本題的關(guān)鍵．

14．（2023秋·山西太原·七年級?？计谀┯嬎悖?/p>

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3

11311

(1)3；(2)(31)46．

4223

【答案】(1)6

(2)3

【分析】（1）根據(jù)含乘方的有理數(shù)的混合運算法則計算即可；

（2）根據(jù)含乘方的有理數(shù)的混合運算法則、有理數(shù)乘法運算律計算即可．

3

11313

【詳解】（1）解：386．

42484

31111

（2）解：(31)46(2)3466，

2323

84322323．

【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運算、有理數(shù)的乘法運算律等知識點，靈活運用運算法則是

解答本題的關(guān)鍵．

15．（2023春·浙江衢州·七年級?？茧A段練習(xí)）計算題，要求寫出具體計算過程：

132

(1)324；(2)()()；

343

21777

(3)23(1)2；(4)(9)(18)；

33131313

21232212