專題13 難點(diǎn)探究專題：利用一元一次方程解決實(shí)際問題壓軸題五種模型全攻略（解析版）

專題13難點(diǎn)探究專題：利用一元一次方程解決實(shí)際問題壓軸題五種模

型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】....................................................................................................................................................1

【類型一一元一次方程的應(yīng)用--古代問題】..................................................................................................1

【類型二一元一次方程的應(yīng)用--銷售問題】..................................................................................................5

【類型三一元一次方程的應(yīng)用--方案問題】................................................................................................11

【類型四一元一次方程的應(yīng)用--電費(fèi)和水費(fèi)問題】...................................................................................18

【類型五一元一次方程的應(yīng)用--數(shù)軸上的行程問題】...............................................................................25

【典型例題】

【類型一一元一次方程的應(yīng)用--古代問題】

例題：（2023秋·安徽淮北·七年級?？计谀┪覈鞔樗慵页檀笪坏拿吨敝杆惴ńy(tǒng)宗》里有一道著名

算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？”意思是：有100個(gè)和尚分

100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完．試問大、小和尚各多少人？

【答案】大和尚有25人，小和尚有75人

【分析】設(shè)大和尚有x人，則小和尚有100x人，根據(jù)“大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分

完．”再建立方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有100x人，根據(jù)題意，得

1

3x100x100．

3

解這個(gè)方程，得x25．

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．

100x75．

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答：大和尚有25人，小和尚有75人．

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022·江西新余·統(tǒng)考一模）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有

趣．《孫子算經(jīng)》記載“今有婦人河上蕩杯，津吏問曰：杯何以多？婦人曰：家有客．津吏曰：客幾何？婦

人曰：二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客幾何？譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃

一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個(gè)碗，問有多少客人？”設(shè)共有客人x人，可列方程為．

111

【答案】xxx65

234

【分析】設(shè)共有客人x人，根據(jù)“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個(gè)碗”列出方

程即可．

【詳解】解：設(shè)共有客人x人，

111

根據(jù)題意，得xxx65．

234

111

故答案為：xxx65．

234

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給

出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程．

2．（2023秋·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)校考開學(xué)考試）《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”有這樣的問題，“今

有共買羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，問人數(shù)幾何？”題意是：若干人共同出資買羊，每人出

6元，則差45元；每人出8元，則差3元．則買單的人有個(gè)．

【答案】21

【分析】設(shè)買單的人有x個(gè)，根據(jù)每人出6元，則差45元；每人出8元，則差3元，列出方程，解方程即

可．

【詳解】解：設(shè)買單的人有x個(gè)，根據(jù)題意得：

6x458x3，

解得：x21，

即買單的人有21個(gè)，

故答案為：21．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系，列出方程．

3．（2023秋·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中第六章《均輸》卷

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記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今

鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)

野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇？

63

【答案】天

16

【分析】首先設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：野鴨x天的路程＋大雁x天的路程1，再根據(jù)等量

關(guān)系列出方程，再解即可．

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x天相遇，

11

根據(jù)題意，得∶x1，

79

63

解得：x．

16

63

答：經(jīng)過天相遇．

16

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．

4．（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）我國古代對于利用方程解決實(shí)際問題早有研究，《九章算術(shù)》中提到這么一

道“以繩測井”的題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾

何？這道題大致意思是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份去測，那么繩子會多出四尺；如果

將繩子折成四等份去測，那么繩子會多出一尺．繩長和井深各多少尺？

【答案】繩子長為36尺，井深8尺

【分析】設(shè)井深為x尺，則根據(jù)“將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺”即可列出方程求解.

【詳解】設(shè)繩子長x尺，

11

依題意得x4x1，解得x36，

34

11

所以x43648．

33

答：繩子長為36尺，井深8尺．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在弄清題意，找到等量關(guān)系并列出方程．

5．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒

一斗直粟二斗，今持粟兩斛，問清、醐酒各幾何？”大意：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值8斗谷子，一斗醐酒價(jià)值2斗

谷子，拿20斗谷子共換了4斗酒，問清酒、醐酒各幾斗？

【答案】清酒2斗，醐酒有2斗．

【分析】設(shè)清酒x斗，則醐酒有4x斗．根據(jù)“拿20斗谷子，共換了4斗酒”，即可得出關(guān)于x的方程，

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解之可得答案．

【詳解】解：設(shè)清酒有x斗，則醐酒有4x斗．

根據(jù)題意，得8x24x20，

∴x2，

x22．

答：清酒2斗，醐酒有2斗．

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此列

出方程．

6．（2023秋·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3～4世紀(jì)），是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一．在

11

他的墓碑上記載著：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，兩?長起了細(xì)細(xì)的胡須；又度過了一

612

1

生的，他結(jié)婚了；再過5年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死后，

7

他在極度痛苦中度過了4年，與世長辭了．”

(1)設(shè)丟番圖的壽命為x歲，根據(jù)題意得兒子出生時(shí)丟番圖的年齡為_________歲，兒子的壽命為_________

歲；

(2)用你喜歡的方式，求出丟番圖和兒子的壽命分別為多少歲？

331

【答案】(1)x5，x

842

(2)丟番圖的壽命為84歲，兒子的壽命為42歲

11

【分析】（1）根據(jù)他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，兩?長起了細(xì)細(xì)的胡須；又度過了一生

612

1

的，他結(jié)婚了；再過5年，他有了兒子列式即可，再根據(jù)兒子只活了他全部年齡的一半列式；

7

111

（2）設(shè)丟番圖的壽命為x歲，則根據(jù)題中的描述他的年齡x的童年生命的xx5年兒子的年齡

6127

4年，可列出方程，即可求解．

【詳解】（1）解：設(shè)丟番圖的壽命為x歲，

111331

根據(jù)題意得兒子出生時(shí)丟番圖的年齡為xxx5x5歲，兒子的壽命為x歲,

6127842

331

故答案為：x5，x；

842

（2）設(shè)丟番圖的壽命為x歲，

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1111

根據(jù)題意得：xxxx5x4，

61272

解得：x84，

11

當(dāng)x84時(shí)，可得兒子的壽命為x8442，

22

答：丟番圖的壽命為84歲，兒子的壽命為42歲．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出丟

番圖的年齡的表達(dá)式，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程再求解．

【類型二一元一次方程的應(yīng)用--銷售問題】

例題：（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）2023年4月16日至18日“金沙貢茶文化節(jié)”在巖孔貢茶古鎮(zhèn)舉

行，開幕式上12家茶企茶商代表進(jìn)行了集中簽約．其中某采購商計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種茶葉商品．已知甲種

茶葉商品的每件進(jìn)價(jià)比乙種茶葉商品的每件進(jìn)價(jià)少20元．若購進(jìn)甲種茶葉商品5件，乙種茶葉商品3件，

共需要700元．

(1)求甲、乙兩種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?

(2)該采購商購進(jìn)了甲種茶葉商品300件，乙種茶葉商品200件．在銷售時(shí)，甲種茶葉商品的每件售價(jià)為110

元，要使得這500件茶葉商品所獲利潤率為30％，求每件乙種茶葉商品的售價(jià)是多少元?

【答案】(1)甲、乙兩種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)分別是80，100元

(2)每件乙種茶葉商品的售價(jià)是121元

【分析】（1）設(shè)甲種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)為x元，則乙種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)為x20元，由題意知，

5x3x20700，計(jì)算求解，然后作答即可；

11080300a100200

（2）設(shè)每件乙種茶葉商品的售價(jià)是a元，由題意知，100％30％，計(jì)算求

80300100200

解即可．

【詳解】（1）解：設(shè)甲種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)為x元，則乙種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)為x20元，

由題意知，5x3x20700，

解得x80，

∴x20100（元），

∴甲、乙兩種茶葉商品每件的進(jìn)價(jià)分別是80，100元；

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（2）解：設(shè)每件乙種茶葉商品的售價(jià)是a元，

11080300a100200

由題意知，100％30％，

80300100200

解得，a121，

∴每件乙種茶葉商品的售價(jià)是121元．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）某百貨超市經(jīng)銷甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)

150元；乙種服裝每件進(jìn)價(jià)200元，售價(jià)320元．

(1)若該百貨超市同時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種服裝共40件，總進(jìn)價(jià)用去6000元，購進(jìn)甲種服裝多少件？

(2)在“雙11購物節(jié)”當(dāng)天，該百貨超市實(shí)行“每滿100元減30元”的優(yōu)惠促銷（比如：某顧客購物120元，他

只需付款90元），張先生這天買了一件乙種服裝．到了第二天，百貨超市又推出：先打折，再參與“每滿100

元減30元”的讓利活動，他發(fā)現(xiàn)一件乙種服裝打折后的價(jià)錢在200元到299元之間此時(shí)購買反而要多付7.6

元．在該百貨超市第二天推出的讓利活動下，購買一件甲種服裝需要多少元？

【答案】(1)購進(jìn)甲種服裝25件

(2)購買一件甲種服裝需要109.5元

【分析】（1）設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，則購進(jìn)乙種服裝40x件，根據(jù)總進(jìn)價(jià)用去6000元列方程求解即可；

（1）該超市第二天推出的讓利活動是先打y折再進(jìn)行滿減活動，根據(jù)乙種服裝打折后的價(jià)錢在200元到299

元之間此時(shí)購買反而要多付7.6元列方程求解．

【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，則購進(jìn)乙種服裝40x件，

根據(jù)題意得：120x20040x6000，

解得：x25．

答：購進(jìn)甲種服裝25件．

（2）該超市第二天推出的讓利活動是先打y折再進(jìn)行滿減活動，

y

根據(jù)題意得：3202307.6320330，

10

解得：y9.3，

1509.310139.5(元)，

139.530109.5(元)．

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答：購買一件甲種服裝需要109.5元．

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵．

2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）某水果店第一次購進(jìn)西瓜400千克，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上

又購進(jìn)800千克西瓜，進(jìn)貨價(jià)比第一次每千克少0.5元，兩次進(jìn)貨共花費(fèi)4400元．

(1)這兩次購進(jìn)的西瓜進(jìn)貨價(jià)分別是每千克多少元?

(2)在銷售過程中，兩次進(jìn)的西瓜售價(jià)相同．由于西瓜是易壞水果，第一次購進(jìn)的西瓜有4%的損耗，第二次

購進(jìn)的西瓜有5%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利3036元，每千克西瓜的售價(jià)為多少元?

【答案】(1)4元

(2)6.5元

【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)西瓜的進(jìn)價(jià)為每千克x元，則第二次購進(jìn)西瓜的進(jìn)價(jià)為每千克x0.5元，根據(jù)

題意列一元一次方程即可求解．

（2）設(shè)每千克西瓜的售價(jià)為y元，求出兩次的銷售總額，再減去成本就是獲利，列出一元一次方程，即可

求解．

【詳解】（1）設(shè)第一次購進(jìn)西瓜的進(jìn)價(jià)為每千克x元，則第二次購進(jìn)西瓜的進(jìn)價(jià)為每千克x0.5元，

依題意得：400x800x0.54400，

解得：x4．

答：第一次購進(jìn)西瓜的進(jìn)價(jià)為每千克4元．

（2）設(shè)每千克西瓜的售價(jià)為y元，

依題意得：40014%y80015%y44003036

解得：y6.5．

答：每千克西瓜的售價(jià)為6.5元．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意弄清楚題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．（2023春·山東泰安·六年級?？奸_學(xué)考試）玉玲超市經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價(jià)80元，

利潤率60%；乙種商品每件進(jìn)價(jià)40元，售價(jià)60元．

(1)每件甲種商品的進(jìn)價(jià)為元；每件乙商品的利潤率為．

(2)若該商場同時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種商品共500件，總進(jìn)價(jià)為21000元，求購進(jìn)甲種商品多少件？

(3)“元旦”期間，該超市對乙商品進(jìn)行如下優(yōu)惠促銷活動：

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打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

少于或等于450元不優(yōu)惠

超過450元，但不超過600元按購物總金額打九折

超過600元其中600元部分八五折優(yōu)惠，超過600元的部分打三折優(yōu)惠

按上述優(yōu)惠條件，若小華購買乙種商品實(shí)際付款564元，求小華在商場購買乙商品多少件？

【答案】(1)50；50%

(2)購進(jìn)甲種商品100件

(3)購進(jìn)乙種商品13件

【分析】（1）設(shè)每件甲種商品的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)利潤售價(jià)進(jìn)價(jià)列出方程解方程即可，根據(jù)

利潤

利潤率100%求出乙商品的利潤率即可；

進(jìn)價(jià)

（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品y件，則購進(jìn)乙種商品500y件，根據(jù)甲、乙兩種商品的總進(jìn)價(jià)為21000元，列出

方程，解方程即可；

（3）設(shè)小華購買乙種商品總價(jià)為m元，根據(jù)小華購買乙種商品實(shí)際付款564元列出方程，解方程得出實(shí)際

付款數(shù)，然后再求出件數(shù)即可．

【詳解】（1）解：設(shè)每件甲種商品的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意得：

80x60%x，

解得：x50，

6040

每件乙商品的利潤率為：100%50%；

40

故答案為：50；50%．

（2）解：設(shè)購進(jìn)甲種商品y件，則購進(jìn)乙種商品500y件，根據(jù)題意得：

50y40500y21000，

解得：y100，

500100400（件），

答：購進(jìn)甲種商品100件．

（3）解：6000.9540（元），

6000.85510（元），

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∵564540510，

∴小華購買乙種商品總價(jià)超過600元，

設(shè)小華購買乙種商品總價(jià)為m元，根據(jù)題意得：

6000.85m6000.3564，

解得：m780，

7806013（件），

答：購進(jìn)乙種商品13件．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，熟練掌握

利潤

利潤售價(jià)進(jìn)價(jià)，利潤率100%．

進(jìn)價(jià)

4．（2023秋·江蘇鹽城·七年級?？计谀└鶕?jù)疫情防控有關(guān)部署和上級教育行政部門既有安排，結(jié)合我市中

小學(xué)幼兒園實(shí)際，為保護(hù)廣大師生安全健康，市教育局經(jīng)研究決定：2022年12月19日起，全市中小學(xué)本

學(xué)期剩余時(shí)間全部進(jìn)行線上教學(xué)．七年級某班家委會決定在網(wǎng)上統(tǒng)一購買一批防藍(lán)光眼鏡，網(wǎng)上某店鋪的

標(biāo)價(jià)為90元/副，優(yōu)惠活動如下：

銷售量單價(jià)

不超過10副的部分每副立減14元

超過10副但不超過20副的部分每副立減22元

超過20副的部分每副立減30元

(1)①若該班級家委會購買了2副這種防藍(lán)光眼鏡，花了___________元；

②若該班級家委會購買了15副這種防藍(lán)光眼鏡，花了___________元；

③若該班級家委會購買了xx20副這種防藍(lán)光眼鏡，花了___________元；（用含x的代數(shù)式表示）

(2)若該班級家委會購買的這種防藍(lán)光眼鏡均價(jià)為69.6元，求他們購買的數(shù)量．

【答案】(1)①152，②1100，③60x240

(2)25副

【分析】（1）①根據(jù)購買“不超過10副”確定優(yōu)惠條件，并列式計(jì)算；②根據(jù)購買“超過10副但不超過20

副”確定優(yōu)惠條件，并列式計(jì)算；③購買了xx20副這種防藍(lán)光眼鏡，根據(jù)根據(jù)銷售量“不超過10臺

的部分”、“超過20臺的部分”確定優(yōu)惠條件，然后列出代數(shù)式；；

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（2）設(shè)購買了x副這種防藍(lán)光眼鏡，需要對銷售量分三種情況進(jìn)行討論．

【詳解】（1）①90142152（元），

故答案為：152；

②901410+151090221100（元），

故答案為：1100；

③901410+20109022+x20903060x240（元）

故答案為：60x240

（2）設(shè)他們購買了x副防藍(lán)光眼鏡，

①當(dāng)0x10時(shí)，均價(jià)76元，不合題意，舍去；

②當(dāng)10x20時(shí)，68x1076069.6x

解之得，x50，不在范圍內(nèi)，舍去；

③當(dāng)x20時(shí)，24060x69.6x

解之得，x25

答：他們購買了25副防藍(lán)光眼鏡．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

5．（2023秋·四川成都·七年級校考期末）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會將于2023年7月28日在成都舉行，

某經(jīng)銷商銷售帶有“蓉寶”吉祥物標(biāo)志的甲、乙兩種紀(jì)念品，若經(jīng)銷商購進(jìn)30個(gè)甲類紀(jì)念品和40個(gè)乙類紀(jì)念

品共需要4300元．已知甲、乙兩種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：

種類種類進(jìn)價(jià)（元/件）售價(jià)（元/件）

甲a80

乙a2090

(1)甲、乙兩種紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)各多少元？

(2)經(jīng)銷商第一次購進(jìn)甲類和乙類紀(jì)念品共200個(gè)，全部售完后總利潤（利潤售價(jià)進(jìn)價(jià)）為4700元，求

甲類和乙類紀(jì)念品分別購進(jìn)多少個(gè)？

(3)經(jīng)銷商第二次購進(jìn)了與第（2）問中第一次同樣多的甲類和乙類紀(jì)念品，由于兩類紀(jì)念品進(jìn)價(jià)都比上次優(yōu)

惠了20%，甲類紀(jì)念品進(jìn)行打折出售，乙類紀(jì)念品價(jià)格不變，全部售完后總利潤比上次還多賺1400元，求

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甲類紀(jì)念品打了幾折？

【答案】(1)甲紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)50元，乙紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)70元

(2)甲類紀(jì)念品購進(jìn)70個(gè)，乙類紀(jì)念品購進(jìn)130個(gè)

(3)甲類紀(jì)念品打了8折

【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求解；

（2）設(shè)甲類x個(gè)，則乙類200x個(gè)，根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可求解；

（3）設(shè)甲類打y折，根據(jù)題意列出關(guān)于y的一元一次方程，解方程即可求解．

【詳解】（1）由題意得：30a40a204300，

解得：a50（元），

∴a2070（元）．

答：甲紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)50元，乙紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)70元．

（2）設(shè)甲類x個(gè)，則乙類200x個(gè)，

由題意得：8050x9070200x4700，

解得：x70（個(gè)），

∴200x130（個(gè)），

答：甲類紀(jì)念品購進(jìn)70個(gè)，乙類紀(jì)念品購進(jìn)130個(gè)．

y

（3）設(shè)甲類打y折，由題意得：70805080%130907080%47001400，

10

解得：y8．

答：甲類紀(jì)念品打了8折．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

【類型三一元一次方程的應(yīng)用--方案問題】

例題：（2023秋·河南省直轄縣級單位·七年級校聯(lián)考期末）按照“雙減”政策，為豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)

校準(zhǔn)備訂購一批籃球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個(gè)定價(jià)70元，跳繩每條定價(jià)10元．某體育用品

商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案：

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A方案：買一個(gè)籃球送一條跳繩；

B方案：籃球和跳繩都按定價(jià)的90%付款．

已知要購買籃球50個(gè)，跳繩x條（x50）

(1)若按A方案購買，一共需付款_________元（用含x的代數(shù)式表示）；若按B方案購買，一共需付款_________

元（用含x的代數(shù)式表示）．

(2)購買跳繩條數(shù)為多少時(shí)，兩種方案的收費(fèi)相同？

(3)當(dāng)x100時(shí)，你能設(shè)計(jì)出一種最省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計(jì)算需付款多少元？

【答案】(1)300010x，31509x

(2)購買150根跳繩時(shí)，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多

(3)按A方案買50個(gè)籃球，剩下的50條跳繩按B方案購買，付款3950元

【分析】（1）由題意按A方案購買可列式：5070x5010，在按B方案購買可列式：507010x0.9；

（2）由（1）列等式求解即可；

（3）先算全按同一種方案進(jìn)行購買，計(jì)算出兩種方案所需付款金額，再根據(jù)A方案是買一個(gè)籃球送跳繩，

B方案是籃球和跳繩都按定價(jià)的90%付款，考慮可以按A方案買50個(gè)籃球，剩下的50條跳繩按B方案購

買，計(jì)算出所需付款金額，進(jìn)行比較即可．

【詳解】（1）解：A方案購買可列式：5070x5010300010x元；

按B方案購買可列式：507010x0.931509x元；

故答案為：300010x，31509x；

（2）由（1）可知，

當(dāng)A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多時(shí)，

即300010x31509x

解得x150．

答：購買150根跳繩時(shí)，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多．

（3）當(dāng)x100時(shí)，

按A方案購買需付款：300010x3000101004000（元）；

按B方案購買需付款：31509x315091004050（元）；

按A方案購買50個(gè)籃球配送50個(gè)跳繩，按B方案購買50個(gè)跳繩合計(jì)需付款：

5070105090%35004503950（元）；

∵395040004050，

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∴省錢的購買方案是：

按A方案買50個(gè)籃球，剩下的50條跳繩按B方案購買，付款3950元．

【點(diǎn)睛】此題考查的是列代數(shù)式并求值，也可作為一元一次方程來考查，因此做此類題需要掌握解應(yīng)用題

的能力．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）暑假期間，甲、乙兩單位準(zhǔn)備組織退休職工到某風(fēng)景區(qū)游玩，甲、

乙兩單位共102人，其中甲單位人數(shù)多于乙單位人數(shù)，且甲單位人數(shù)不夠100人．經(jīng)了解，該風(fēng)景區(qū)的門票

價(jià)格如下表：

數(shù)量(張)1~5051~100101張及以上

單價(jià)(元/張)60元50元40元

如果兩單位分別單獨(dú)購買門票，一共應(yīng)付5500元．

(1)甲、乙兩單位各有多少名退休職工準(zhǔn)備參加游玩？

(2)如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購買方案，通過比較，你該如何購

買門票才能最省錢？

【答案】(1)甲單位有62人，乙單位有40人

(2)甲乙兩單位聯(lián)合起來選擇按40元一次購買101張門票最省錢

【分析】（1）設(shè)甲單位有退休職工x人，則乙單位有退休職工(102x)人，根據(jù)“如果兩單位分別單獨(dú)購買

門票，一共應(yīng)付5500元”建立方程求出其解即可；

（2）有三種方案：方案一：各自購買門票；方案二：聯(lián)合購買門票；方案三：聯(lián)合購買101張門票．分別

求出三種方案的付費(fèi)，比較即可求解．

【詳解】（1）解：設(shè)甲單位有退休職工x人，則乙單位有退休職工102x人．

依題意得：50x60102x5500，

解得：x62．

則乙單位人數(shù)為：102x40．

答：甲單位有62人，乙單位有40人；

（2）解：甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，

甲單位外出游玩的人數(shù)有621250人，

方案一：各自購買門票需506040605400(元)；

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方案二：聯(lián)合購買門票需5040504500(元)；

方案三：聯(lián)合購買101張門票需101404040(元)；

綜上所述：因?yàn)?40045004040．

故應(yīng)該甲乙兩單位聯(lián)合起來選擇按40元一次購買101張門票最省錢．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，一元一次方程的解法的運(yùn)用，有理數(shù)大小比

較的運(yùn)用，設(shè)計(jì)方案的運(yùn)用.解答時(shí)建立方程求出各單位人數(shù)是關(guān)鍵．

2．（2023秋·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校計(jì)劃購買書柜20張和書架x只（x＞20），現(xiàn)從

A、B兩家超市了解到：書柜每張300元，書架每只80元．A超市的優(yōu)惠政策為每買一張書柜贈送一只書架；

B超市的優(yōu)惠政策為所有商品八折．

(1)若學(xué)校到同一家超市選購所有商品，則到A超市購買費(fèi)用是______元（用含x的式子表示），到B超市購

買費(fèi)用是_____元（用含x的式子表示）；

(2)在（1）的條件下，當(dāng)購買書架x多少只時(shí)？到A、B兩家超市購買費(fèi)用相等．

(3)學(xué)校要購買20張書柜和60只書架．

①若學(xué)校到同一家超市選購所有商品，則到A超市購買費(fèi)用是______元，到B超市購買費(fèi)用是____元；

②假如你是本次購買的負(fù)責(zé)人，且可到兩家超市自由選購，請你設(shè)計(jì)一種購買方案，使購買費(fèi)用更少，并

求出購買費(fèi)用是多少元？

【答案】(1)(80x4400)，(64x4800)

(2)25只

(3)①9200，8640②8560元

【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)超市的優(yōu)惠政策列代數(shù)式即可；

（2）根據(jù)購買費(fèi)用相等以及（1）題中的代數(shù)式列方程求解即可；

（3）①將書架數(shù)量為60分別代入（1）題中的代數(shù)式求解即可；②選擇最便宜的方案后再代入計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：A超市：由題意得，在A超市只需買20張書柜及x20只書架，

∴A購買費(fèi)用為：2030080x20600080x160080x4400元

B超市費(fèi)用為：203000.8800.8x480064x元

故答案為：(80x4400)，(64x4800)

（2）解：由題意得：80x440064x4800

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解得：x25，

答：購買25只書架時(shí)，到A、B兩家超市購買費(fèi)用相等．

（3）①解：將x60代入80x4400

得806044009200元

將x60代入64x4800

得646048008640元

故答案為：9200，8640；

②到A超市購買20個(gè)書柜（贈送20個(gè)書架），到B超市購買40只書架

2030080(6020)0.88560元．

答：購買費(fèi)用是8560元．

【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式以及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解決本題的關(guān)

鍵．

3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）2022年11月30日，神舟十五號載人飛船與中國空間站成功完

成全自主快速交會對接．中國首次實(shí)現(xiàn)空間站三船三艙構(gòu)型，以及6名航天員同時(shí)在軌駐留．正式開啟了

中國空間站常態(tài)化運(yùn)營的新篇章．中國空間站模型在某商店價(jià)格規(guī)定如下表：

購買數(shù)量1—50套51—100套100套以上

每套價(jià)格13元11元9元

某校七年級（1）班和（2）班共104人計(jì)劃購買模型，其中（1）班有40

多人，不足50人，經(jīng)估算，如果兩個(gè)班以班為單位每人購買一套，則一共應(yīng)付1240元，問：

(1)兩班各有多少學(xué)生？

(2)如果兩班聯(lián)合起來，作為一個(gè)團(tuán)體購買模型，可省多少錢？

(3)如果七年級（1）班單獨(dú)組織去購買模型，作為組織者的你如何采購才最省錢？

【答案】(1)（1）班有學(xué)生48名，（2）班有學(xué)生56名；

(2)兩班聯(lián)合起來，作為一個(gè)團(tuán)體購買模型，可省304元；

(3)組織（1）班去購買51套模型最省錢．

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【分析】（1）由（1）班人數(shù)確定（2）班人數(shù)在51—100范圍內(nèi)，且每套售價(jià)11元，依題意列方程求解即

可；

（2）兩班共104人，超過100，計(jì)算出12401049即為所省的錢；

（3）計(jì)算出51套模型的錢數(shù)與實(shí)際比較即可．

【詳解】（1）因?yàn)椋?）班有40多人，所以根據(jù)題意可知，（2）班人數(shù)在51—100范圍內(nèi)，且每套售價(jià)11元．

設(shè)（1）班有x名學(xué)生，則（2）班有104x名學(xué)生．

13x11104x1240

解得：x48

104x56

答：班有學(xué)生48名，（2）班有學(xué)生56名．

（2）124010491240936304（元）

答：如果兩班聯(lián)合起來，作為一個(gè)團(tuán)體購買，可省304元．

（3）因?yàn)椋?）班有48名學(xué)生，

正常花費(fèi)1348624元；

而買51套模型則花費(fèi)1151561元，

62456163元，

所以，組織（1）班去購買51套模型最省錢．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是正確建立方程求解，結(jié)合題意分析比較．

4．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）有下列兩種移動電話計(jì)費(fèi)方法：

月使用費(fèi)/元主叫限定時(shí)間/min主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）被叫

A套餐381000.2免費(fèi)

B套餐985000.25免費(fèi)

其中，月使用費(fèi)固定收，主叫不超過限定時(shí)間不再收費(fèi)，主叫超過部分加收超時(shí)費(fèi)，被叫免費(fèi)．

(1)小慧的爸爸6月份主叫時(shí)間200分鐘，則選用A套餐比選用B套餐節(jié)省_________元．

(2)小宇的爸爸選擇A套餐，小謙的爸爸選擇B套餐，7月份他們的通話費(fèi)相等，小宇的爸爸比小謙的爸爸

主叫時(shí)間少20分鐘，求小宇的爸爸7月份的主叫時(shí)間．

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(3)設(shè)主叫時(shí)間為t分鐘，直接寫出t滿足什么條件時(shí)，B套餐省錢．

【答案】(1)40

(2)400分或900分

(3)400t900

【分析】（1）根據(jù)“A套餐”“B套餐”的計(jì)費(fèi)方式，分別求得通話時(shí)間200分鐘時(shí)的計(jì)費(fèi)，再進(jìn)行比較即可得

出結(jié)論；

（2）設(shè)小宇的爸爸7月份的主叫時(shí)間為x分，分別討論若100x500和x500，根據(jù)“A套餐”“B套餐”

的計(jì)費(fèi)方式，列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可，

（3）根據(jù)（2）所求即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）根據(jù)題意得：

∵200100

∴A套餐需交費(fèi)：38(200100)0.258（元），

∵200500

∴B套餐需交費(fèi)98元

所以，選用A套餐比選用B套餐節(jié)省的費(fèi)用為：985840（元）

故答案為：40；

（2）設(shè)小宇的爸爸7月份的主叫時(shí)間為x分，

若100x500，根據(jù)題意得：

38x1000.298，

解得：x400，

若x500，根據(jù)題意得：

38x1000.298+(x500)0.25，

解得：x900，

綜上所述，小宇的爸爸7月份的主叫時(shí)間為400分或900分

（3）當(dāng)400t900，選擇B套餐省錢

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出一元一次方程，正確掌握分類討論思

想是解題的關(guān)鍵．

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【類型四一元一次方程的應(yīng)用--電費(fèi)和水費(fèi)問題】

例題：（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）目前，某市“一戶一表”居民用電實(shí)行階梯電價(jià)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下．

一戶居民一個(gè)月用電量（單位：度）電價(jià)（單位：元/度）

第1檔不超過180度的部分0.5

第2檔超過180度的部分0.6

(1)若該市某戶12月用電量為200度，該戶應(yīng)交電費(fèi)________元．

(2)若該市某戶12月用電量為x度，請用含x的式子分別表示0x180和x180時(shí)該戶12月應(yīng)交電費(fèi)多少

元．

(3)若該市某戶12月應(yīng)交電費(fèi)126元，則該戶12月用電量為多少度？

【答案】(1)102

(2)當(dāng)0x180時(shí)，該戶12月應(yīng)交電費(fèi)為0.5x元；當(dāng)x180時(shí)，該戶12月應(yīng)交電費(fèi)為(0.6x18)元；

(3)該戶12月用電量為240度

【分析】（1）根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量結(jié)合階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，即可求出結(jié)論；

（2）分0x180及x180兩種情況，用含x的代數(shù)式表示出該戶12月應(yīng)交電費(fèi)；

（3）由（1）可得出x180，結(jié)合（2）的結(jié)論即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）解：0.51800.6200180，

0.51800.620，

9012，

102（元）．

故答案為：102．

（2）解：當(dāng)0x180時(shí)，該戶12月應(yīng)交電費(fèi)為0.5x元；

當(dāng)x180時(shí)，該戶12月應(yīng)交電費(fèi)為0.51800.6x180，

900.6x108，

0.6x18（元）．

（3）解：102126，

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x180，

0.6x18126，

x240．

答：該戶12月用電量為240度．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各

數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出該戶12月應(yīng)交電費(fèi)；（3）

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）為鼓勵居民節(jié)約用電，某市電力公司實(shí)行“階梯電價(jià)”收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)

準(zhǔn)如下表：

每戶每月用電量（度）電費(fèi)（元/度）

不超過200度0.5

超過200度且不超過500度的部分0.6

超過500度的部分0.8

(1)小明家今年3月份用電310度，求小明家3月份應(yīng)繳電費(fèi)多少元？

(2)小明家今年7月份用電增大，7月份的平均電價(jià)為0.64元/度，求小明家今年7月份用電多少度？

【答案】(1)3月份應(yīng)繳電費(fèi)166元

(2)7月份用電750度

【分析】（1）根據(jù)題意列算式求解即可；

（2）設(shè)7月份用電x度，依題意可得x500，進(jìn)而列一元一次方程求解即可．

【詳解】（1）解：0.52000.6310200166（元），

答：3月份應(yīng)繳電費(fèi)166元．

（2）解：設(shè)7月份用電x度，依題意可得x500，

則0.52000.65002000.8x5000.64x，

解得x750，

答：7月份用電750度．

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【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出算式和方程是

解答的關(guān)鍵．

2．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）一家通訊公司推出兩種移動電話計(jì)費(fèi)方法，如表所示：

計(jì)費(fèi)方法A計(jì)費(fèi)方法B

每月基本服務(wù)費(fèi)（元/月）68元98元

每月免費(fèi)通話時(shí)間（分）200分500分

超出后每分鐘收費(fèi)（元/分）0.25元0.20元

(1)若月通話時(shí)間是5小時(shí)，則使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶話費(fèi)為元，使用計(jì)費(fèi)方法B的用戶話費(fèi)為

元；

(2)若月通話時(shí)間是x分鐘x＞500，則按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)分別是多少？（用含x的代數(shù)式表

示）

(3)當(dāng)通話時(shí)間為多長時(shí)，按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法所需的用戶話費(fèi)相等？

【答案】(1)93；98；

(2)按A種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)為(0.25x18)元，按B種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)為(0.2x2)元；

(3)當(dāng)通話320分鐘時(shí)，按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法所需的用戶話費(fèi)相等

【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出月通話時(shí)間是5小時(shí)，計(jì)費(fèi)方法A和B對應(yīng)的費(fèi)用；

（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以含x的代數(shù)式表示出按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)；

（3）根據(jù)題意，可以分兩種情況，然后列出相應(yīng)的方程，求解即可．

【詳解】（1）5小時(shí)560300（分鐘），

若月通話時(shí)間是5小時(shí)，則使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶話費(fèi)為：68(300200)0.2593（元)，

使用計(jì)費(fèi)方法B的用戶話費(fèi)為：98元，

故答案為：93；98；

（2）由題意可得，

若月通話時(shí)間是x分鐘(x500)，按A種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)為：68(x200)0.25(0.25x18)元，

按B種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)為：98(x500)0.20(0.2x2)元；

（3）當(dāng)200x500時(shí)，

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令68(x200)0.2598，

解得x320；

當(dāng)x500，顯然方式B比方式A便宜，

答：當(dāng)通話320分鐘時(shí)，按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法所需的用戶話費(fèi)相等．

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．

3．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水電發(fā)電量嚴(yán)重受限，再加上高溫

天氣持續(xù)，居民用電量居高不下，電力供需形勢十分嚴(yán)峻．已知該地為節(jié)約用電，利用價(jià)格調(diào)控的手段，

規(guī)定了居民生活用電的階梯收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

價(jià)目表

每月用電量價(jià)格

不超過180千瓦時(shí)的部分0.5元/千瓦時(shí)

超過180千瓦時(shí)，但不超過280千瓦時(shí)的部分0.6元/千瓦時(shí)

超過280千瓦時(shí)的部分0.8元/千瓦時(shí)

(1)若小明家8月份用電200千瓦時(shí)，則應(yīng)繳多少電費(fèi)；

(2)若小明家8月份用電a千瓦時(shí)（其中a280），則應(yīng)繳多少電費(fèi)；（用含a的代數(shù)式表示，并化簡）

(3)若小明家8月份繳電費(fèi)326元，求小明家8月份用電多少千瓦時(shí)．

【答案】(1)102元

(2)0.8a74

(3)500千瓦時(shí)

【分析】（1）由小明家8月份用電200千瓦時(shí)，可知小明家8月份電費(fèi)應(yīng)分2部分計(jì)算；

（2）由a280，可知小明家8月份電費(fèi)應(yīng)分3部分計(jì)算；

（3）先根據(jù)繳電費(fèi)326元判斷用電量的范圍，再求解即可．

【詳解】（1）1800.5(200180)0.6102（元）

答：應(yīng)繳電費(fèi)102元．

（2）1800.5(280180)0.6(a280)0.80.8a74

（3）由于用電280千瓦時(shí)應(yīng)繳電費(fèi)為0.828074150元，而326150，

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所以用電量超過了280千瓦時(shí)，

故由（2）得0.8a74326

a500

答：小明家8月份用電500千瓦時(shí)．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減的應(yīng)用，解一元一次方程的應(yīng)用，掌握一元一次方程的解法，根據(jù)題意列式

或列方程是解題關(guān)鍵．

4．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）某市為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，采用價(jià)格調(diào)控的

手段以達(dá)到節(jié)水的目的，該市2022年自來水收費(fèi)的價(jià)目表如下（注：水費(fèi)按月份結(jié)算，m3表示立方米），

請根據(jù)表中的內(nèi)容解答下列問題：

每月用水量價(jià)格

價(jià)不超出12m3的部分2.5元/m3

目超出12m3不超出20m3的部分4元/m3

表超出20m3的部分7.5元/m3

(1)若某用戶9月份用水10m3，則應(yīng)交水費(fèi)__________元；

(2)若該用戶10月份應(yīng)收水費(fèi)77元，則用水__________m3;

(3)若該用戶11月份和12月份兩個(gè)月共用水40m3（11月份用水量超過了12月份），設(shè)12月份用水xm3，

求該用戶11?12兩個(gè)月各交水費(fèi)多少元．（用含x的代數(shù)式表示，并化簡）

【答案】(1)25

(2)22

(3)11月應(yīng)交水費(fèi)2127.5x元，12月份當(dāng)x12時(shí)，交水費(fèi)為2.5x元；

當(dāng)12x20時(shí)，總水費(fèi)為4x18元．

【分析】（1）根據(jù)不超出12m3的部分，價(jià)格為2.5元/m3，據(jù)此計(jì)算即可；

3

（2）設(shè)該用戶10月份用水x，超出20m3的部分為a20m，然后列一元一次方程求解即可；

（3）設(shè)12月份用水xm3；可知x20，然后根據(jù)12月份用水量分類討論即可解答；

【詳解】（1）解：∵不超出的部分12m3，價(jià)格為2.5元/m3，

∴應(yīng)收水費(fèi)為：102.525（元）．

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故答案為25．

（2）解：設(shè)該用戶10月份用水x，則由題意可得：

∴122.5487.5a2077，解得：a22．

故答案為22．

（3）解：11?12月共用水40m3,11月份用水量超過了12月份

11月份用水量大于20m3，

12月用水x，則11月份用水40x20，

此用戶11月應(yīng)交水費(fèi)為

2.512420127.540x202127.5x元

12月份用水量x20m3，

①當(dāng)x12時(shí)，12月應(yīng)交水費(fèi)：2.5x元；

②當(dāng)12x20時(shí)；12月應(yīng)交水費(fèi)：2.5124x124x18元；

答：此用戶11月應(yīng)交水費(fèi)2127.5x元，12月份當(dāng)x12時(shí)，交水費(fèi)為2.5x元；

當(dāng)12x20時(shí)，總水費(fèi)為4x18元．