新教材高中數學第四章立體幾何初步45幾種簡單幾何體的表面積和體積452幾種簡單幾何體的體積導學案

4.5.2幾種簡單幾何體的體積教材要點要點柱、錐、臺、球的體積公式幾何體體積公式柱體圓柱、棱柱底面積為S，高為h，V＝________錐體圓錐、棱錐底面積為S，高為h，V＝________臺體圓臺、棱臺上底面積為S′，下底面積為S，高為h，V＝13(S′＋S'S＋球V球＝________(R為球的半徑)狀元隨筆柱體、錐體、臺體體積之間的關系基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)底面積相等且高相等的兩個同類幾何體的體積相等．()(2)在三棱錐P-ABC中，VP-ABC＝VA-PBC＝VB-PAC＝VC-PAB.()(3)錐體的體積等于底面面積與高之積．()(4)若長方體的相鄰三個面的面積分別為2，6，9，則長方體的體積是63.()2．三棱錐V-ABC底面是邊長為2的正三角形，高為3，求三棱錐的體積()A．3B．23C．33D．23．若圓錐的母線長為8，底面周長為6π，則其體積是()A．24πB．24C．355πD．3554．若球的表面積為4π，則體積為________．題型1柱體、錐體、臺體的體積例1(1)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為()A．20＋123B．282C．563D．(2)如圖所示，已知E，F分別是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點，則四棱錐C1-B1EDF的體積為________．(3)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．23B．C．43D．方法歸納簡單幾何體體積的求法(1)直接法：直接套用體積公式求解．(2)等體積轉移法：在三棱錐中，每一個面都可作為底面．為了求解的方便，我們經常需要換底，此法在求點到平面的距離時也常用到．(3)分割法：在求一些不規(guī)則的空間圖形的體積時，我們可以將其分割成規(guī)則的、易于求解的空間圖形．(4)補形法：對一些不規(guī)則(或難求解)的空間圖形，我們可以通過補形，將其補為規(guī)則(或易于求解)的空間圖形．跟蹤訓練1(1)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是162π，則圓錐的體積是()A．64π3B．128π(2)三棱錐A-BCD的高為4，底面BCD為直角三角形，兩直角邊BD和CD的長分別為5，3，則該三棱錐的體積為()A．60B．30C．20D．10(3)已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的體積為________．題型2有關球的體積問題角度1球的切、接問題例2(1)已知正方體的內切球的體積是82A．22B．223C．4(2)棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，則球的體積為________．方法歸納常見幾何體與球的切、接問題的解決策略(1)處理有關幾何體外接球或內切球的相關問題時，要注意球心的位置與幾何體的關系．一般情況下，由于球的對稱性，球心總在特殊位置，比如中心、對角線的中點等．(2)解決此類問題的實質就是根據幾何體的相關數據求球的直徑或半徑，關鍵是根據“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉化為平面問題來計算．角度2球的體積在實際中的應用例3把半徑分別為6cm，8cm，10cm的三個鐵球熔成一個鐵球，則這個大鐵球的半徑是________cm.方法歸納解決本題的關鍵是總體積不變．跟蹤訓練2(1)圓柱形容器內部盛有高度為h的水，若放入兩個直徑為3cm的鐵球(球的半徑與圓柱底面半徑相等)后，水恰好淹沒最上面的鐵球(如圖所示)，則h＝()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm(2)一底面邊長為4的正六棱柱，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點都在此球面上)的體積為________．題型3簡單組合體的體積例4如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2，深為4的圓柱形孔，求打孔后的幾何體的表面積和體積．方法歸納求組合體的表面積與體積的關鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結構特征及組合形式，對于與旋轉體有關的組合體問題，要根據條件分清各個簡單幾何體的底面半徑及母線長，再分別代入公式求解．跟蹤訓練3已知某幾何體的直觀圖如圖所示(單位：cm)，求這個幾何體的體積為________cm3.易錯辨析忽略對側面展開圖的分類討論致錯例5已知一個正三棱柱的側面展開圖是一個長為9cm，寬為6cm的矩形，則此正三棱柱的體積為________cm3.解析：設正三棱柱的高為hcm，底面等邊三角形的邊長為acm.①若正三棱柱的底面周長為9cm，則高h＝6cm，3a＝9cm，∴a＝3cm.∴S底面＝12×3×3×32＝93∴V正三棱柱＝Sh＝934×6＝273②若正三棱柱的底面周長為6cm，則高h＝9cm，3a＝6cm，∴a＝2cm.∴S底面＝12×2×2×32＝3(cm∴V正三棱柱＝Sh＝3×9＝93(cm3)．故該正三棱柱的體積為2732cm3或93cm答案：2732易錯警示易錯原因糾錯心得易忽略另一種情況，導致錯誤答案．解答此類問題一定要注意側面展開圖的長、寬都可能是底面的周長，不要漏解．課堂十分鐘1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．486B．64C．16D．962．將半徑為1，圓心角為2πA．22πB．22π81C．3．如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，則三棱錐P-ABC的體積V＝________．4．正四棱臺的底面邊長分別為20cm和10cm，側面面積為780cm4.5.2幾種簡單幾何體的體積新知初探·課前預習要點Sh13Sh43π[基礎自測]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：底面是正三角形，邊長為2，則面積為3，V＝13Sh＝13·3·3＝答案：A3．解析：設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，由底面周長為2πr＝6π，得r＝3，所以h＝l2-r2＝82-32＝55.由圓錐的體積公式可得V＝答案：C4．解析：∵S＝4πR2＝4π∴R＝1∴V＝43πR3＝4答案：4題型探究·課堂解透例1解析：(1)作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高h＝22-2下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺的體積V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13(2)方法一連接EF，由題意得，VC1-B1EDF＝VB1-C1EF＋VD-C1EF＝2VB1-C1EF＝2VE-B1C1F＝2×13·S△B1C1F·a＝16a方法二連接EF，B1D.設B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝2a.由題意得，VC1-B1EDF＝VB1-C1EF＋VD-C1EF＝13·S△C1EF·(h1＋h2)＝16a(3)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，易得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，則△BHC中BC邊的高h＝∴S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，∴該多面體的體積V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC答案：(1)D(2)16a3跟蹤訓練1解析：(1)作圓錐的軸截面，如圖所示，由題意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.設圓錐的高為h，底面半徑為r，則h＝r，PB＝2r.由S側＝π·r·PB＝162π，得2πr2＝162π，所以r＝4.則h＝4.故圓錐的體積V圓錐＝13πr2h＝64(2)如圖所示的三棱錐A-BCD符合題意，把三棱錐A-BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5，3，4，△BCD為直角三角形，直角邊長分別為5和3，三棱錐A-BCD的高為4，故該三棱錐的體積V＝13(3)設上底面半徑為r，則下底面半徑為4r，高為4r，如圖．∵母線長為10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.∴下底面半徑R＝8，高h＝8，∴V圓臺＝13π(r2＋rR＋R2)h答案：(1)A(2)D(3)224π例2解析：(1)正方體的棱長為a，其內切球的半徑為R，則a＝2R，又43πR3＝823π，∴R3＝22，∴R＝2，∴a(2)把正四面體放在正方體中，設正方體棱長為x，則a＝2x，由題意知2R＝3x＝3×2a2＝所以R＝64a所以V＝43π64a3＝答案：(1)A(2)68a3例3解析：設大鐵球半徑為Rcm，則43πR3＝43π×63＋43π×83＋43π×10∴R＝31728答案：12跟蹤訓練2解析：(1)依題意由體積相等可得π×322h＋43π×323(2)因為正六棱柱的底面邊長為4，所以它的底面圓的半徑為4，所以球的半徑為42+32＝5，故球的體積為43π×R3＝4答案：(1)A(2)5003例4解析：正方體的表面積為S正方體＝4×4×6＝96，圓柱形孔的半徑為1，高為4，∴圓柱的側面積S圓柱側＝2π×1×4＝8π，∴所求的表面積為S＝96＋8π－2π＝96＋6π，正方體的體積為V正方體＝4×4×4＝64，圓柱的體積為V圓柱＝4π，∴所求的體積為V＝64－4π.跟蹤訓練3解析：這個幾何體可看成是正方體ABCD-A1B1C1D1與直三棱柱B1C1Q-A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的體積V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3答案：10[課堂十分鐘]1．解析：設正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a2＝16，∴a＝4，∴V正方體＝a3＝43＝64.答案：B2．解析：設圓錐底面半徑為r，扇形弧長為l，則l＝2πr＝23π×1，∴r＝1∴圓錐的高為1-19∴圓錐的體積為V＝13×π×19×答案：B3．解析：三棱錐的體積V＝13Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點，△PAC作為底面求解．故V＝13S△PAC·PB