2024-2025學(xué)年上海閔行中學(xué)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）（2024.11）

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.0;5.;6.;7.;8.;9.;10.-4；11.912.11.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，是1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，的最大值是_______.【答案】9【解析】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，的最大值是________.，，，因?yàn)?，，所以?shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，所以n的最大值為9二、選擇題13.C14.A15.D16.C15.在中，已知，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一個(gè)角為的直角三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，可得又，所以，可得，又因?yàn)?，所以，可得，所以的形狀為等邊三角?故選:.16.設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列，記集合，下列結(jié)論:(1)若與均為等差數(shù)列，則中最多有1個(gè)元素;(2)若與均為等比數(shù)列，則中最多有2個(gè)元素;(3)若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中最多有3個(gè)元素;(4)若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則中最多有1個(gè)元素.其中正確的是（）A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)【答案】C【解析】對(duì)于(1)，均為等差數(shù)列，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，所以中至多一個(gè)元素，故(1)正確;

對(duì)于(2)，令，滿足均為等比數(shù)列，

但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故(2)錯(cuò)誤；

對(duì)于(3)，設(shè)，

若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，

若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，

當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因?yàn)閱握{(diào)性相反，

方程至多一個(gè)偶數(shù)解，

當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為

方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)，即，否則，

因?yàn)閱握{(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椴豢赡芡瑫r(shí)成立，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；故不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故(3)正確.

對(duì)于(4)，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增，為遞減數(shù)列，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故(4)正確.所以正確的是：(1)(3)(4).故答案為:C.三．解答題17.（1）證，再證，所以四棱錐的體積為（2）18.（1），.（2）值域?yàn)?零點(diǎn)為19.（1）2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球可分為兩種情況，1個(gè)紅球及1個(gè)白球和2個(gè)紅球，任取2個(gè)球，其中1個(gè)紅球及1個(gè)白球的概率為任取2個(gè)球，2個(gè)均是紅球的概率為可知A，B為互斥事件，所以從中任取2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率（或用對(duì)立事件：兩個(gè)均是白球來(lái)求）（2）從中任取4個(gè)球，白球個(gè)數(shù)不比紅球多可分為三種情況，分別是4紅球、3個(gè)紅球及1個(gè)白球，2個(gè)紅球2個(gè)白球它們的概率分別為所以任取4個(gè)球，白球個(gè)數(shù)不比紅球多的概率為=（3）由已知可得，所以總分不少于7分的概率20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)。（1）若，線段的中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo);（2）已知直線交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若有一個(gè)內(nèi)角的余弦值為，求的值;（3）若橢圓上存在點(diǎn)到直線的距離為，且滿足，則當(dāng)變化時(shí)，求的最小值.【答案】（1）（2）或.（3）【解析】（1）由題意知半焦距，又，所以2，所以.

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以可設(shè)，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

又線段的中點(diǎn)在軸上，所以，解得，所以.

（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€，所以直線的斜率，則直線的傾斜角為，所以.

因?yàn)橛幸粌?nèi)角的余弦值為，所以只能是或的余弦值為.若的余弦值為，即，則，

則.其中為直線的傾斜角.

因?yàn)?，所以?/p>

所以，即，解得.

若的余弦值為，則，即，因?yàn)槭卿J角，所以，即，即，解得.綜上，或.（3）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.因?yàn)榘虢咕啵?

因?yàn)?，所以，因?yàn)榍?，所?

設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，所以其中，因?yàn)?，所以，所以即，解得，又，所以，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）若函數(shù)在處取得極值，且（常數(shù)），則稱是函數(shù)的"相關(guān)點(diǎn)".（1）若函數(shù)存在"相關(guān)點(diǎn)"，求的值;（2）若函數(shù)(常數(shù))存在"1相關(guān)點(diǎn)"，求的值;（3）設(shè)函數(shù)且，若函數(shù)有兩個(gè)不相等且均不為零的"2相關(guān)點(diǎn)"，過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因?yàn)樵谔幦〉脴O值（最值），

由，解得，

（2）記，在處取得極值且，

由得，所以且，所以，

由，得，設(shè)，所以，

所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增，

又，所以方程有唯一實(shí)數(shù)根，即解得，

當(dāng)時(shí)，，令，得或(舍去)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，滿足題意，綜上所述，的值為1.

（3）由得，所以，設(shè)為函數(shù)的"2相關(guān)點(diǎn)"，則且，.則且，所以且，解得，由，

設(shè)