2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、填空題1.設(shè)集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.【正確答案】【分析】先解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，故，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得，解得.故答案為.3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且法向量為直線方程為_(kāi)____.【正確答案】【分析】首先求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橹本€的法向量為，則直線的斜率，所以直線方程為，即.故4.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____【正確答案】１５【詳解】常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為5.設(shè)，若拋物線的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則_____.【正確答案】##【分析】根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由圖象平移規(guī)則即可得解.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線向上或向下平移個(gè)單位可得到拋物線，由焦點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?，可?故答案為.6.設(shè)，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，則_____.【正確答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性與最值的關(guān)系，可得，即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】的圖象的一條對(duì)稱軸為，故是函數(shù)的最大值或者最小值，即，故，化簡(jiǎn)可得，故，即，故7.今年國(guó)際國(guó)內(nèi)金價(jià)屢創(chuàng)新高，金價(jià)波動(dòng)也被金融媒體競(jìng)相報(bào)道.現(xiàn)抽取2024年前11個(gè)月的每月日的實(shí)物黃金價(jià)格數(shù)據(jù)如下表所示，則這組黃金價(jià)格數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是_____月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黃金價(jià)格(元/克)624616630691708716714737743768815【正確答案】743【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，因?yàn)?，所以這組黃金價(jià)格數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第九個(gè)數(shù)據(jù)，為.故答案為.8.圓錐的頂點(diǎn)為，將該圓錐的側(cè)面沿母線剪開(kāi)并展平得到一個(gè)圓心角為，半徑為1的扇形，則該圓錐的體積為_(kāi)____【正確答案】【分析】由題意可得圓錐底面圓的半徑，從而可得圓錐的高，再由錐體的體積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓錐的母線，設(shè)底面圓的半徑為，則，解得，所以圓錐的高，則圓錐的體積為.故9.銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，則其最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)比值的取值范圍是______【正確答案】【分析】求出的值，設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，求出的取值范圍，利用正弦定理、兩角和與差的余弦公式、弦化切，可求得所求代數(shù)式的取值范圍.【詳解】若銳角的三個(gè)內(nèi)角、、的度數(shù)成等比數(shù)列，則，解得，不妨設(shè)角為最小角，設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，則，，所以，，，由題意可知，因、為銳角，且，即，解得，則，所以，.故答案為.10.設(shè)，滿足，則_____.【正確答案】4【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性，以及用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)，都有且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又因?yàn)?，因?yàn)椋院愠闪?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以所以，解得，故答案?4.11.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)任意的和中有且僅有一個(gè)成立，且.記.給出下列四個(gè)結(jié)論.①不可能是等差數(shù)列；②中最大項(xiàng)為；③不存在最大值；④的最小值為34.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____.【正確答案】③④【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說(shuō)明判斷②③；求出最小值判斷④作答.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí),由得,由得,于是與僅只一個(gè)為1,即,因此數(shù)列不能是等差數(shù)列,①錯(cuò)誤;對(duì)于④，令,依題意,與均為整數(shù),且有且僅有一個(gè)為1(即隔項(xiàng)為1),若,則,,而,因此,當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時(shí)取等號(hào),若,則,,而,因此,當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時(shí)取等號(hào),從而的最小值為34,④正確;對(duì)于②，當(dāng)時(shí),取,數(shù)列為:,滿足題意,取p=2,a8=16>12=a對(duì)于③，由于的任意性,即無(wú)最大值,因此不存在最大值,③正確,所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是③④.故答案為:③④.關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.12.如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為正八面體內(nèi)(含表面)的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______【正確答案】【分析】設(shè)交于點(diǎn)，，分析可知可知點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面，建系，設(shè)點(diǎn)，可得，進(jìn)而確定截面的形狀，整理可得，分析長(zhǎng)度的最值即可得解.【詳解】設(shè)交于點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，即，可知點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面，如圖，以為坐標(biāo)運(yùn)算，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，則，可得，可得，直線上的點(diǎn)滿足，結(jié)合可得，可知直線與平面的交點(diǎn)為，同理可得：平面與直線的交點(diǎn)依次為，又因?yàn)?，注意到，則，即，可知平面，當(dāng)點(diǎn)為與平面的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值，可設(shè)，可得，結(jié)合可得，即，則，所以取到最小值，檢驗(yàn)可知：當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，取到最大值，所以取到最大值；綜上所述：的取值范圍為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用空間向量求平面上的點(diǎn)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而確定平面與正八面體的棱的交點(diǎn)，進(jìn)而分析求解.二、選擇題13.在中，""是為鈍角三角形的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和充分條件、必要條件的定義即可求解.【詳解】由，可得，所以為鈍角，是鈍角三角形，所以由可以得出為鈍角三角形，若為鈍角三角形，不一定為鈍角，所以也得不出，所以在中，""是為鈍角三角形的充分不必要條件，故選：A.14.已知事件和相互獨(dú)立，且則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件的概率公式，相互獨(dú)立事件的概率公式及概率的基本性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由事件A與事件B相互獨(dú)立，得.故選：C15.已知函數(shù)若存在，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】分，，三種情況討論，由題意分別確定的范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，則，因?yàn)樵?,1上遞增，所以；當(dāng)，，所以，所以，不存在，使得；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，則，令，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上所述，的取值范圍是，故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是分，，三種情況討論，再結(jié)合題意分別確定的范圍.16.已知數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，若正整數(shù)滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，均有，則稱數(shù)列為“階弱減數(shù)列”.現(xiàn)有以下兩個(gè)命題：①數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列且（為正整數(shù)），則是數(shù)列是“階弱減數(shù)列”的充分條件；②數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列且（為正整數(shù)），則存在，使得數(shù)列是“階弱減數(shù)列”的充要條件是.那么（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①、②都是真命題 D.①、②都是假命題【正確答案】A【分析】分別證明①是真命題，②是假命題，即可得到答案.【詳解】下面證明：①是真命題，②是假命題.對(duì)于①，若，則.若，由可得，故，從而.所以只要，就一定有，所以①是真命題.對(duì)于②，由于當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都有c2+l故不是“階弱減數(shù)列”，從而②的充分性不成立，所以②是假命題.綜上，①是真命題，②是假命題.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解弱減數(shù)列的定義，只有理解了定義，方能解決相應(yīng)的問(wèn)題.三、解答題17.已知鈍角，滿足.（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可求解；（2）確定函數(shù)單調(diào)性即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，又，又為鈍角，兩方程聯(lián)立求解可得：，又為鈍角，所以可得：，【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，

當(dāng)x=0時(shí),有最大值，當(dāng)時(shí)有最小值，函數(shù)的值域?yàn)?8.如圖所示四棱錐，其中交BD于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以均在BD的垂直平分線上，所以，圖為，所以，圖為，所以，又圀為平面平面，所以平面，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，所以平面平?由(1)可知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于底面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，從而由等面積法，可知，由勾股定理，可知，由(1)可知，所以，由(1)可知，而平面平面平面平面，且二面角為，所以，所以與軸所在直線的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.為迎接“五一小長(zhǎng)假”到來(lái)，某商場(chǎng)開(kāi)展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿200元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球，其中，紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球5個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個(gè)球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧客摸出的2個(gè)球的顏色分成以下四種情況：：1個(gè)紅球1個(gè)白球，：2個(gè)紅球，：2個(gè)白球，：至少一個(gè)黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng).（1）求顧客在某次抽獎(jiǎng)中，第二個(gè)球摸到為紅球的概率（2）求顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；（3）若三名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為，求的分布列和期望.【正確答案】（1）（2）顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)的概率分別為、、（3）分布列答案見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)古典概型概率公式及組合數(shù)公式計(jì)算可得；（3）由（2）可知，顧客抽獎(jiǎng)一次獲獎(jiǎng)的概率為，則，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)顧客第次摸到紅球?yàn)?，則；【小問(wèn)2詳解】由題意知，，，，，因此，顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)的概率分別為、、；【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，顧客抽獎(jiǎng)一次獲獎(jiǎng)的概率為，則，所以，，，，則分布列為：123數(shù)學(xué)期望.20.設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)(2,3)處切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意的成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）.（2）上是嚴(yán)格增函數(shù)，上是嚴(yán)格減函數(shù).（3）.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可由點(diǎn)斜式求解.（2）求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)值正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間.（3）先探求不等式成立的必要條件，再證明充分性即可，證明時(shí)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值即可證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，則，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上嚴(yán)格增函數(shù)，在上嚴(yán)格減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，不等式恒成立，即恒成立，?dāng)時(shí)，必成立，則，令，求導(dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，所以的取值范圍是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在定義域上恒有成立求的范圍，首先根據(jù)恒成立探求其成立的必要條件，由可知必有，證明充分性時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)求出恒成立，即可求解，屬于難題.21.已知橢圓的左、右、下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)、點(diǎn)（1）點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）求面積的最大值；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)(異于點(diǎn)、)，試探究直線、BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【正確答案】（1）（2）（3）是定值4.【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得三角形的高，再由三角形