2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上冊11月期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上學期11月期中考試數(shù)學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.已知集合，，則______【正確答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式求解集合元素，結合交集【詳解】由，則.故答案為.2.已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為_________________．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義及計算公式直接可得解.【詳解】由已知，，則則在方向上數(shù)量投影為，故答案.3.曲線在點處的切線方程是__________．【正確答案】【分析】直接求導得，代入求得斜率即可.【詳解】由，則，所以，所以在點0,1處的切線方程為，即．故答案為.4.某老年健康活動中心隨機抽取了6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)，分別為120，96，153，146，112，136，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______【正確答案】120【分析】先將6個數(shù)據(jù)從小到大進行排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟即可求解.【詳解】6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)從小到大排列為：96，112，120，136，146，153，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為120.故120.5.二項式的展開式中，常數(shù)項為______【正確答案】【分析】先求出二項式的通項公式，令x的指數(shù)為0即可求解.【詳解】由題得二項式通項公式為：，令，所以二項式的展開式中，常數(shù)項為.故答案為.6.關于x的方程的解集為______【正確答案】【分析】分類討論的范圍，去絕對值解方程即可.【詳解】關于x的方程，若，則，可得，解得，不合題意；若，則，可得，解得，不合題意；若，則，可得，解得，符合題意；若，則，可得，解得，不合題意；綜上所述：方程的解集為.故答案為.7.已知，，，則的最小值為______【正確答案】9【分析】將轉化為，再由展開后利用基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】因為，，，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.故9.8.《九章算術》卷第五《商功》中，有“假令芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假設一個芻童，上底面寬1尺，長2尺：下底面寬3尺，長4尺，高1尺（如圖，芻童為上下底面為相互平行的不相似長方形，兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體）”.若該幾何體所有頂點在一球體的表面上，則該球體的表面積為_______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得球心在幾何體的外部，設球心到幾何體下底面的距離為，從而可得，解方程可得，再利用球的面積公式即可求解.【詳解】由已知得球心在幾何體的外部，設球心到幾何體下底面的距離為，則，解得，，該球體表面積.故本題考查了幾何體的外接球問題，需熟記球的表面積公式，屬于基礎題.9.意大利著名畫家、自然科學家、工程師達芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時，曾仔細思索女人脖子上黑色項鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問題.后續(xù)的數(shù)學家對這一問題不斷研究，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相似的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2024項和______【正確答案】4048【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可得的圖象關于對稱，即，即可求解.【詳解】由于為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故的圖象關于對稱，即，因此，,因此,故10.已知橢圓，點和分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上一點，則內(nèi)切圓半徑的最大值為______【正確答案】【分析】利用等面積法即可求解，根據(jù)取時最大求解.【詳解】如圖所示，由橢圓定義，，，則，故，要使最大，則，故故11.在中，，，分別是角，，的對邊，若，則的值為______.【正確答案】2023【分析】由已知可利用余弦定理轉化為新的關系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的邊角互化思想就可得到結果.【詳解】因為，由余弦定理得，所以，所以，故2023.12.已知關于的方程在上有兩個不相等的實很，則實數(shù)的取值范圍是________.【正確答案】【分析】原方程可化為，令，，即得在有兩個不相等的實根，再轉化為和，有兩個不同的交點，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，并結合圖象得到結果即可.詳解】由，可得方程可化為，令，，因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時，值域為.方程可化為，當時，方程可化為，不成立，故，故原方程可化為，由已知在有兩個不相等的實根，即和，有兩個不同的交點.，當和時，，即在上遞減，在上遞減；當時，，在遞增.另外，時，；時，；，當時，，當，且時，，當，且時，，根據(jù)以上信息，函數(shù)，大致圖象如下，當時，和，的圖象有兩個不同的交點.所以的取值范圍是.故答案為.方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)或已知零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分.）13.設，則是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【正確答案】B【分析】由“”不能推出“”，“”能推出“”，據(jù)此可判斷選項.【詳解】令，則，但，故“”不能推出“”.設，由得，，故“”能推出“”.綜上得，是的必要非充分條件.故選：B.14.在中，，為中點，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意作圖，根據(jù)圖象，利用平面向量的線性運算，結合數(shù)量積的運算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：則，，由為的中點，則，.故選：A.15.已知定義在R上的函數(shù)，其導數(shù)為，記，且，，則下列說法中正確的個數(shù)為（）①；②的圖象關于對稱；③；④.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【正確答案】B【分析】對于①，根據(jù)求導運算，利用賦值法，可得答案；對于②，取關于已知對稱中心的兩個點，代入函數(shù)解析式建立方程組，整理等式，結合題意，可得答案；對于③，根據(jù)求導運算，結合題目中的等式，可得答案；對于④，根據(jù)等式可得函數(shù)的對稱性，結合對稱性可得點的坐標，可得等差數(shù)列，可得答案.【詳解】對于①，由等式，兩邊求導可得，則，令，則，解得，故①錯誤；對于②，取點在函數(shù)的圖象上，易知點關于0,2的對稱點為，假設該點也在函數(shù)的圖象上，可得，消去可得，整理可得，故②正確；對于③，由等式，兩邊求導可得，則，顯然與題意不符，故③錯誤；對于④，由等式，可得函數(shù)的對稱中心為0,2，由等式，可得函數(shù)的對稱中心為1,0，點0,2關于1,0的對稱點為也是對稱中心，點1,0關于的對稱點為3,?4也是對稱中心，歸納可得函數(shù)圖象的對稱中心為，當時，，成立；假設當時，成立；當時，，由數(shù)學歸納法，則，所以函數(shù)圖象對稱點為，則，易知數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故④正確.故選：B.16.已知正項數(shù)列滿足，下列說法正確的是（）A.當時，數(shù)列單調(diào)遞減B.當時，數(shù)列單調(diào)遞增C.當時，存在正整數(shù)，當時，D.當時，存在正整數(shù)，當時，【正確答案】D【分析】構建，結合導數(shù)分析fx,gx的單調(diào)性和大小關系，利用遞推法分析數(shù)列的單調(diào)性和取值范圍，結合選項即可判斷【詳解】設，可知fx,gx在構建，則，可知Fx在0,+∞當時，則，可得；當時，則，可得；當時，則，可得；可得fx對于選項AC：若，則，且，可得，若，則，且，可得，依此類推，可得，可知數(shù)列單調(diào)遞增，且，即不存在正整數(shù)，當時，，故AC錯誤；對于選項BD：若，則，且，可得，若，則，且，可得，依此類推，可得，可知數(shù)列單調(diào)遞減，且，所以存在正整數(shù)，當時，（只需即可），故B錯誤，D正確；故選：D.關鍵點點睛：構建，分析兩個函數(shù)的單調(diào)性哈大小關系，結合圖象分析數(shù)列性質(zhì).三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.某市數(shù)學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若只有前的學生能進決賽，則入圍分數(shù)應設為多少分？（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W生中抽取容量為的樣本，再從該樣本中隨機抽取名學生進行問卷調(diào)查，設為其中達到分及以上的學生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學期望.【正確答案】（1）分（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，結合頻率分布直方圖，可得答案；（2）寫出變量的可能取值，分別求得概率，寫出分布列，利用期望公式，可得答案.【小問1詳解】成績在區(qū)間的比例為：；成績在區(qū)間的比例為：，因此分位數(shù)位于區(qū)間；因此入圍分數(shù)為：，因此入圍分數(shù)應設為分.【小問2詳解】在這六個人中，有兩人的分數(shù)在分及以上，因此，，，，變量的分布列為：所以的數(shù)學期望為.18.已知函數(shù)y=fx是定義在?1,1上的奇函數(shù)，并且當時，.（1）求函數(shù)y=fx（2）求關于x的不等式的解集.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）當時，化簡，再根據(jù)為奇函數(shù)求解當時，函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【小問1詳解】當時，函數(shù).當時，；當時，，即；因為，所以.因此；【小問2詳解】當時，，因此有在上嚴格單調(diào)遞增；而當時，因此有在上嚴格單調(diào)遞增；原不等式可化為：；而是定義在上的嚴格增函數(shù)，所以；因此不等式的解集為.19.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為直線．（1）求證：直線平面；（2）若直線上存在一點（與都在的同側），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證明，再證明平面，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標系，然后再求出相關平面的法向量，最后用夾角公式計算即可.【小問1詳解】證明：∵，分別是，的中點，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，則平面．【小問2詳解】以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，由題意得：A2,0,0，，，，，∴，，設，則．依題意可得：，即：又與都在的同側，所以，即于是：，設平面的法向量為則，取，可得再設平面的法向量為m=x,y,z則，取，得于是所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．20.已知點G是圓T:上一動點（T為圓心），點H的坐標為，線段的垂直平分線交線段于點R，動點R的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）M，N是曲線C上的兩個動點，O是坐標原點，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；（3）設P為曲線C上任意一點，延長至Q，使，點Q的軌跡為曲線E，過點P的直線l交曲線E于A、B兩點，求面積的最大值.【正確答案】（1）（2）為定值，（3）【分析】（1）由已知得，可得動點的軌跡為橢圓，然后求出即可得解；（2）設兩點的坐標，表示出△的面積，利用橢圓的參數(shù)方程結合三角函數(shù)的運算，求△的面積；（3）求出點的軌跡方程曲線，，分類討論設直線方程，利用韋達定理表示，由直線與曲線有交點確定參數(shù)范圍，求面積最大值．【小問1詳解】，則，則曲線C是以和1,0為焦點，4為長軸的橢圓；設橢圓方程為，則，，，曲線.【小問2詳解】設所以則化簡得：，則，又，直線則到直線的距離，所以為定值；【小問3詳解】設點，則點，代入橢圓方程得到曲線；當直線l的斜率不存在時：設，代入E中有，則當直線l斜率存在時：設，Ax1,y代入E的方程：，則，，；而l與橢圓C有公共點，代入得：，由有，記，則，綜上，面積的最大值為.方法點睛：設而不求結合換元是解決圓錐曲線解答題最常用的方法，也是本題核心解題思路.21.已知函數(shù)的表達式為.（1）當時，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若當時，恒成立，求a的取值范圍；（3）證明.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)二次求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）分