江西省五市九校2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試卷 附答案

江西省五市九校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷考試時間：120分鐘分值:150分本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，那么陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．63.甲、乙兩人各射擊一次，是否命中目標(biāo)互不影響，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率分別為，，則至少有一人命中目標(biāo)的概率（）A． B． C． D．4.已知，則（）A．B．C．D．5.當(dāng)前疫情階段，口罩成為熱門商品，為了賺錢，小明決定在家制作兩種口罩：N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2張熔噴布和2張針刺棉，制作一只N90口罩需要3張熔噴布和1張針刺棉，現(xiàn)小明手上有36張熔噴布和20張針刺棉，且一只N95口罩有4元利潤，一只N90口罩有3元利潤，為了獲得最大利潤，那么小明應(yīng)該制作（）A．5只N95口罩，8只N90口罩 B．6只N95口罩，6只N90口罩C．7只N95口罩，6只N90口罩 D．6只N95口罩，8只N90口罩6.古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（，公元3世紀末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動點軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直.若動點M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動點M在直線之間的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線7.已知橢圓C：的右焦點和上頂點分別為，且焦距等于4，的延長線交橢圓于點，,則橢圓C的離心率為（）A.B.C.D.8.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的表面積為（）A． B． C． D．甲乙9．八一起義紀念碑(如圖甲所示)是江西省南昌市的標(biāo)志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一廣場.紀念碑的碑身為長方體，正北面是葉劍英元帥題寫的“八一南昌起義紀念塔”九個銅胎鎏金大字.建軍節(jié)那天，李華同學(xué)去八一廣場瞻仰紀念碑，把地面抽象為平面?碑身抽象為線段，李華同學(xué)抽象為點，則李華同學(xué)站在廣場上瞻仰紀念碑的情景可簡化為如圖乙所示的數(shù)學(xué)模型，設(shè)A?B兩點的坐標(biāo)分別為，，要使看上去最長(可見角最大)，李華同學(xué)(點)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10.已知雙曲線的左、右焦點分別為,點在雙曲線上，且,的延長線交雙曲線于點，若雙曲線的離心率，則（）A.B.C.D.11．如圖，已知正四面體ABCD的棱長為1，過點B作截面分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的，則EF的最小值為（）A． B． C． D．12.已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的最大值為（）A． B．1C．D．第Ⅱ卷（非選擇題）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生必須做答，第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中常數(shù)項為_________．（用數(shù)字作答）14.在平行四邊形中，是的中點，，且，，則___________.15.已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.16.已知，，是正實數(shù)，且，則最小值為__________.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～22為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。(一）必考題：共60分17.(12分)已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，，為數(shù)列的前n項和，若對一切成立，求最小正整數(shù)m.18.(12分)如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點，使得平面與平面的夾角為，求點到平面的距離.19.(12分)某地區(qū)為落實體育總局和教育部聯(lián)合提出的《關(guān)于深化體教融合，促進青少年健康發(fā)展的意見》，初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠?擲實心球?1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行測試，得到頻率分布直方圖(如圖所示)，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個數(shù)得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差.已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練，正式測試時跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設(shè)中考正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：①全年級有1000名學(xué)生，預(yù)估正式測試每分鐘跳182個以上人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))②若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：若，則.20.(12分)已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且.(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓的上頂點為，不過的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，若，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由21.(12分)已知函數(shù)，.若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：.（二）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時請寫清題號。22.(10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且．以極點O為直角坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求的極坐標(biāo)方程；(2)若曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求曲線C與交點的極坐標(biāo)．23.(10分)選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數(shù)的取值范圍．

一．序號123456789101112答案DBDCDAAAABDD二．填空題13.18214.15.1016.6解答題：17.解（1）數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，，，，是方程的兩個根，解方程，得，，，，．（2）由（1）得：，，數(shù)列的前項和：，且對一切成立，，解得，最小正整數(shù)為2022．18.（1）證明：取的中點，連接交于，連接，，因為是菱形，所以，且是的中點，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中點，由四邊形是菱形，，則，是正三角形，，，又平面，所以以為原點，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點使得平面與平面的夾角為，則，，，，，，則設(shè)，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，即，令，，得平面的法向量可以為，，解得，所以，則設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得，所以點到平面的距離.19.（1）由頻率分步直方圖得，得分為17，18的人數(shù)分別為6人，12人，所以兩人得分之和不大于35分為兩人得分均為17分，或兩人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式測試時，，所以，①所以，所以人；②由正態(tài)分布模型，任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為，即，所以，所以，所以的分布列為0123所以.20（1）設(shè)橢圓的右焦點為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即化簡得.所以橢圓的離心率；。。。。。。5分（2）因為橢圓的上頂點為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標(biāo)準方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，根據(jù)韋達定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過點，所以舍去，于是直線的方程為，恒過定點，該點在橢圓內(nèi)，滿足關(guān)于的方程①有兩個不相等的解，所以直線恒過定點，定點坐標(biāo)為.。。。。。。12分21．(1)；(2)【分析】(1)在內(nèi)有兩個不同的極值點、，等價于在內(nèi)有兩個不同的零點、.研究的單調(diào)性和零點情況即可求出a的范圍；(2)設(shè)，由(1)知且，則，將a=代入要證的不等式，可將不等式化為，令，則不等式化為，問題轉(zhuǎn)化為在(0，1)恒成立即可．(1)函數(shù)定義域為，在內(nèi)有兩個不同的極值點、，等價于在內(nèi)有兩個不同的零點、．設(shè)，由，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符題意；當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點，則必有，即，解得．易證，證明如下：令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，故，得證．∴，又，∴在和上各有一個零點、，此時：00↓極小值↑極大值↓故在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點時，a的范圍為；(2)方法1：由(1)可知是的兩個零點，不防設(shè)，由且，得．∵．令，則，記，，則，令，．又，則，即，∴在上單調(diào)遞增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲證，由，，則只需證：．不妨設(shè)，則且，則，∴，令，則，記，，由，即在上單調(diào)遞增，故，即成立.故．22．(1)；(2).【詳解】（1）對點，設(shè)