山東省濟(jì)南市2022屆高三上學(xué)期期末考試學(xué)情檢測(cè)（一模）+數(shù)學(xué) 含答案

山東省濟(jì)南市2022屆高三上學(xué)期期末考試學(xué)情檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)2022．1(滿(mǎn)分：150分考試時(shí)間：120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合A＝{x|2x≥4}，B＝{x|－1≤x≤5}，則A∩B＝()A.{x|－1≤x≤2}B.{x|2≤x≤5}C.{x|x≥－1}D.{x|x≥2}2.復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,1＋i)(其中i為虛數(shù)單位)的虛部是()A.－1B.1C.－iD.i3.(1－2x)5的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為()A.40B.－40C.80D.－804.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<|φ|<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則()A.f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))B.f(x)＝2sin(2x－eq\f(π,3))C.f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))D.f(x)＝2sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))6.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－x2＋2mx－m2，,x≤m，,|x－m|，,x>m.)))若f(a2－4)>f(3a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－1，4)B.(－∞，－1)∪(4，＋∞)C.(－4，1)D.(－∞，－4)∪(1，＋∞)7.酒后駕駛是嚴(yán)重危害交通安全的行為，某交通管理部門(mén)對(duì)轄區(qū)內(nèi)四個(gè)地區(qū)(甲、乙、丙、丁)的酒駕治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若“連續(xù)8天，每天查獲的酒駕人數(shù)不超過(guò)10”，則認(rèn)為“該地區(qū)酒駕治理達(dá)標(biāo)”．根據(jù)連續(xù)8天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，酒駕治理一定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是()A.甲地：均值為4，中位數(shù)為5B.乙地：眾數(shù)為3，中位數(shù)為2C.丙地：均值為7，方差為2D.丁地：極差為3，75%分位數(shù)為88.已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB⊥F1F2.現(xiàn)將平面AF1F2沿F1F2所在直線(xiàn)折起，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P處，使平面PF1F2⊥平面BF1F2.若cos∠PF2B＝eq\f(5,9)，則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(5)二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面向量a＝(1，0)，b＝(1，2eq\r(3))，則下列說(shuō)法正確的是()A.|a＋b|＝16B.(a＋b)·a＝2C.向量a＋b與a的夾角為30°D.向量a＋b在a上的投影向量為2a10.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a>b>c>0，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\f(1,a（c－a）)<eq\f(1,b（c－a）)B.eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)C.ab＋c2>ac＋bcD.(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))的最小值為411.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(－1，0)，B(1，0)，C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列條件中使得點(diǎn)C的軌跡為圓的有()A.|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|B.|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|C.eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝212.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為側(cè)面BCC1B1(不含邊界)內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，Q為線(xiàn)段A1C上的動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)A1P與A1B1的夾角為45°，則下列說(shuō)法正確的是()A.線(xiàn)段A1P的長(zhǎng)度為eq\r(2)B.eq\f(\r(3),3)A1Q＋PQ的最小值為1C.對(duì)任意點(diǎn)P，總存在點(diǎn)Q，使得D1Q⊥CPD.存在點(diǎn)P，使得直線(xiàn)A1P與平面ADD1A1所成的角為60°三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線(xiàn)y2＝4x，作過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，則AB的最小值為_(kāi)_______．14.已知α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，且sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，則tanα的值為_(kāi)_______．15.甲、乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面向上，從甲箱中隨機(jī)摸出一個(gè)球；若硬幣反面向上，從乙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到紅球的概率為_(kāi)_______．16.某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類(lèi)似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類(lèi)推，不斷得到新的數(shù)列．如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1，2；第二行得到數(shù)列1，2，2；第三行得到數(shù)列1，2，2，4，2；…，則第5行從左數(shù)起第6個(gè)數(shù)的值為_(kāi)_______．用An表示第n行所有項(xiàng)的乘積．若數(shù)列{Bn}滿(mǎn)足Bn＝log2An，則數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.(本小題滿(mǎn)分10分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知eq\f(2b－c,a)＝eq\f(cosC,cosA)，a＝3.(1)求角A的大?。?2)若點(diǎn)D在邊AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求△BCD面積的最大值．18.(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2.(1)記bn＝a2n－1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S30.18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，G為棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)是否存在點(diǎn)G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

20.(本小題滿(mǎn)分12分)某機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)交通的滿(mǎn)意度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查．結(jié)果如下：回答“滿(mǎn)意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿(mǎn)意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的eq\f(3,7)；在回答“不滿(mǎn)意”的人中，“非上班族”占eq\f(1,5).(1)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民對(duì)于交通的滿(mǎn)意度與是否為上班族有關(guān)聯(lián)．滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)上班族非上班族合計(jì)(2)為了改善市民對(duì)交通狀況的滿(mǎn)意度，機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)查．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過(guò)n(n∈N*)，若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿(mǎn)意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取的市民屬于滿(mǎn)意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿(mǎn)意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到n時(shí)，抽樣結(jié)束．抽樣結(jié)束時(shí)，記抽樣的總次數(shù)為隨機(jī)變量Xn，以頻率代替概率．①若n＝5，寫(xiě)出X5的分布列和數(shù)學(xué)期望；②請(qǐng)寫(xiě)出Xn的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式(不需證明)，根據(jù)你的理解說(shuō)明Xn的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義．參考公式和數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.0050.001x02.7063.8416.6357.87910.828χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex＋1＋(1－a)x＋b.(1)若曲線(xiàn)y＝f(x)在(0，f(0))處的切線(xiàn)方程為y＝ex，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若不等式f(x)≥0恒成立，求eq\f(b,a)的最小值．22.(本小題滿(mǎn)分12分)已知P為圓M：x2＋y2－2x－15＝0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(－1，0)，線(xiàn)段PN的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段PM于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C，過(guò)點(diǎn)N作曲線(xiàn)C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)EF的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)G，使得GH為定值？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.B2.A3.D4.A5.A6.B7.C8.D9.BD10.BC11.BCD12.ABC13.414.－eq\f(1,2)15.eq\f(1,2)16.8Bn＝eq\f(3n－1＋1,2)(第一空2分，第二空3分)17.解：(1)因?yàn)閑q\f(2b－c,a)＝eq\f(cosC,cosA)，所以(2b－c)cosA＝acosC，所以2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB.因?yàn)閟inB>0，所以cosA＝eq\f(1,2).因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(5分)(2)因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以S△BCD＝eq\f(1,3)S△ABC＝eq\f(1,6)bcsinA＝eq\f(\r(3),12)bc.因?yàn)閍2＝b2＋c2－2bccosA，所以9＝b2＋c2－bc≥bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立，所以S△BCD＝eq\f(\r(3),12)bc≤eq\f(3\r(3),4)，所以△BCD面積的最大值為eq\f(3\r(3),4).(10分)18.解：(1)因?yàn)閍n＋2＋(－1)nan＝3，令n取2n－1，則a2n＋1－a2n－1＝3，即bn＋1－bn＝3，b＝a1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以bn＝3n－2.(6分)(2)令n取2n，則a2n＋2＋a2n＝3，所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30).由(1)可知a1＋a3＋…＋a29＝b1＋b2＋…＋b15＝330，a2＋a4＋…＋a2n＝a2＋(a4＋a6)＋…＋(a28＋a30)＝2＋21＝23，所以S30＝330＋23＝353.(12分)19.(1)證明：連接D1E，D1F，取BB1的中點(diǎn)為M，連接MC1，ME.因?yàn)镋為AA1的中點(diǎn)，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1，所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.(2分)因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，所以BM∥C1F，且BM＝C1F，所以四邊形BMC1F為平行四邊形，所以BF∥MC1，所以BF∥D1E，所以B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(4分)(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)G，設(shè)G(0，0，t).(6分)由已知B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(－1，0，t－1).設(shè)平面BEF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(EB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x1＋y1＝0，,y1－z1＝0，))取x1＝1，則n1＝(1，1，1).(8分)設(shè)平面GEF的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋y2＝0，,－x2＋（t－1）z2＝0，))取x2＝t－1，則n2＝(t－1，t－1，1).(10分)因?yàn)槠矫鍳EF⊥平面BEF，所以n1·n2＝0，所以t－1＋t－1＋1＝0，所以t＝eq\f(1,2)，所以存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG的長(zhǎng)度為eq\f(1,2).(12分)20.解：(1)由題意知滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)上班族154055非上班族351045合計(jì)5050100(2分)零假設(shè)為H0：市民對(duì)交通的滿(mǎn)意度與是否上班獨(dú)立．因?yàn)棣?＝eq\f(100×（15×10－35×40）2,50×50×55×45)＝eq\f(2500,99)≈25.253>10.828，(4分)根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為市民對(duì)交通的滿(mǎn)意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.(6分)(2)①當(dāng)n＝5時(shí)，X5的取值為1，2，3，4，5，由(1)可知市民的滿(mǎn)意度和不滿(mǎn)意度均為eq\f(1,2)，所以P(X5＝1)＝eq\f(1,2)，P(X5＝2)＝eq\f(1,22)，P(X5＝3)＝eq\f(1,23)，P(X5＝4)＝eq\f(1,24)，P(X5＝5)＝eq\f(1,24)，所以X5的分布列為X512345Peq\f(1,2)eq\f(1,22)eq\f(1,23)eq\f(1,24)eq\f(1,24)所以E(X5)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋4×eq\f(1,24)＋5×eq\f(1,24)＝eq\f(31,16).(9分)②E(Xn)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋…＋(n－1)·eq\f(1,2n－1)＋n·eq\f(1,2n－1)＝2－eq\f(1,2n－1)，當(dāng)n趨向于正無(wú)窮大時(shí)，E(Xn)趨向于2，此時(shí)E(Xn)恰好為不滿(mǎn)意度的倒數(shù)，也可以理解為平均每抽取2個(gè)人，就會(huì)有一個(gè)不滿(mǎn)意的市民．(12分)21.解：(1)由已知f(0)＝e＋b＝0，所以b＝－e.又f′(x)＝ex＋1＋1－a，所以k＝f′(0)＝e＋1－a＝e，所以a＝1.(4分)(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒′(x)＝ex＋1＋1－a，①若1－a>0，即a<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)x<－1時(shí)，f(x)<(1－a)x＋b＋1≤(1－a)x＋|b|＋1，所以取x0＝－1－eq\f(|b|＋1,1－a)<－1，則f(x0)<0，不合題意．(6分)②若1－a＝0，即a＝1時(shí)，f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，若不等式f(x)＝ex＋1＋b≥0恒成立，則b≥0，(8分)所以eq\f(b,a)≥0，即eq\f(b,a)的最小值為0.③若1－a<0，即a>1時(shí)，令f′(x)>0，解得x>ln(a－1)－1，令f′(x)<0，解得x<ln(a－1)－1，所以f(x)在(－∞，ln(a－1)－1)上單調(diào)遞減，在(ln(a－1)－1，＋∞)上單調(diào)遞增；若不等式f(x)≥0恒成立，則f(ln(a－1)－1)＝2(a－1)＋(1－a)ln(a－1)＋b≥0，即b≥2(1－a)＋(a－1)ln(a－1)，所以eq\f(b,a)≥eq\f(2（1－a）＋（a－1）ln（a－1）,a)；(10分)設(shè)a－1＝t(t>0)，則eq\f(2（1－a）＋（a－1）ln（a－1）,a)＝eq\f(t（lnt－2）,t＋1).設(shè)g(t)＝eq\f(t（lnt－2）,t＋1)(t>0)，則g′(t)＝eq\f(t＋lnt－1,（t＋1）2)，所以當(dāng)t∈(0，1)時(shí)，g′(t)<0，g(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(1，＋∞)時(shí)，g′(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；所以g(t)≥g(1)＝－1，此時(shí)a＝2；即eq\f(b,a)的最小值為－1.綜上所述，eq\f(b,a)的最小值為－1.(12分)22.解：(1)由題意可知圓M的圓心為(1，0)，半徑為4，因