重慶市南坪中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

20242025學(xué)年度高一上期數(shù)學(xué)12月月考卷數(shù)學(xué)試題（滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知全集，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合交集、補集的知識求得正確答案.【詳解】，陰影部分表示的集合為.故選：A2.“”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合充分不必要條件的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)充分不必要條件的定義，可得的一個充分不必要條件，即找集合的一個真子集，結(jié)合選項，可得集合是它的一個真子集.故選：B.3.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即，又，即，所以.故選：D.4.已知扇形的周長為12，半徑為4，則該扇形的面積是（）A. B. C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】求出扇形的弧長，利用扇形面積公式求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，解得：，所以扇形的面積為.故選：C5.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.【詳解】因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以的零點所在的區(qū)間為.故選：C.6.若，，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【詳解】因為，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；所以，即的最大值為，故選：C.7.已知函數(shù)，若，則正實數(shù)的值為（）A.1 B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】就、分類計算后可得方程的解.【詳解】因為，故，而當(dāng)時，有，故，故，而在為增函數(shù)，且，故，若，則，故，而，故在上無解，故的正實數(shù)解為，故選：C.8.《荀子·勸學(xué)》中：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！保凇斑M(jìn)步率”和“退步率”都是的前提下，我們把看作是經(jīng)過365天的“進(jìn)步值”，把看作是經(jīng)過365天的“退步值”.則經(jīng)過200天時，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.22倍 B.55倍 C.217倍 D.407倍【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出經(jīng)過200天的“進(jìn)步值”和“退步值”，再結(jié)合對數(shù)與指數(shù)運算求解作答【詳解】依題意，經(jīng)過200天的“進(jìn)步值”為，“退步值”為，則“進(jìn)步值”與“退步值”比，兩邊取對數(shù)得，因此，所以“進(jìn)步值”大約是“退步值”的55倍.故選：B二、多選題（每小題6分，共18分）9.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.為偶函數(shù)C.為單調(diào)遞增函數(shù) D.的值域為【答案】ABD【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可得，然后可得奇偶性，單調(diào)性，值域.【詳解】對于A，因為冪函數(shù)，則，故A正確；對于B，由A，為偶函數(shù)，故B正確；對于C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯誤；對于D，注意到，則的值域為，故D正確.故選：ABD10.下列說法不正確的是（）A.已知，，若，則取值集合為B.的定義域為，則的定義域為C.不等式解集為，則D.“”是“不等式對一切實數(shù)恒成立”的充要條件【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用集合的包含關(guān)系分類討論即得；對于B，把函數(shù)符號內(nèi)看成整體,將其范圍代入計算即得；對于C，利用三個二次之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理找到數(shù)量關(guān)系即可推得；對于D，根據(jù)一元二次不等式恒成立問題，按參數(shù)分類討論，數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】對于A，易知，對于集合，由，可知包括，或三種情況，故的取值集合為，故A錯誤；對于B，由的定義域為，可知，要求的定義域，需使，即，故的定義域為，故B錯誤；對于C，依題意，方程有兩根為和，且，則解得，故，故C正確；對于D，由不等式對一切實數(shù)恒成立，可得：①當(dāng)時，不等式為顯然恒成立；②當(dāng)時，由，可得.綜上可得，的取值范圍為，故D錯誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)若方程有4個不同的零點，，，，且，則（）A. B.C. D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，即可結(jié)合圖象，根據(jù)選項即可求解.【詳解】作出的圖象如下：令，則，故，，A錯誤，BC正確，令，則或，結(jié)合圖象可知，D正確.故選：BCD第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.求值：__________.【答案】10【解析】【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪運算法則，對數(shù)的運算法則即可求解.【詳解】解：；故答案為：10.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性知識，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)在上遞減，函數(shù)的對稱軸是，且在上遞增，在上遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故填：.【點睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù).若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再將不等式轉(zhuǎn)化為，再將不等式，轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求最值，即可求解.【詳解】因為的定義域為，，所以為奇函數(shù).因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為為R上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以不等式即為，則.因為，所以，即.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.四、解答題（15題13分，16、17題每小題15分，18、19題每小題17分）15.設(shè)全集為，集合，，．（1）求，；（2）；（3）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），.（2）（3）【解析】【分析】（1）由集合的交集與并集的運算求解即可；（2）由集合的補集運算與交集運算求解即可；（3）由交集為空集，列出不等式求解參數(shù)的范圍即可.【小問1詳解】集合，，所以，.【小問2詳解】或，所以.【小問3詳解】因為集合，，，則，故，所以實數(shù)a的取值范圍.16.已知角滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡，再由即可得到結(jié)果.（2）由及，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】原式，，原式.【小問2詳解】，且，，.17.為響應(yīng)“湘商回歸，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號召，某企業(yè)回永州投資特色農(nóng)業(yè)，為了實現(xiàn)既定銷售利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：按銷售利潤進(jìn)行獎勵，總獎金額（單位：萬元）關(guān)于銷售利潤（單位：萬元）的函數(shù)的圖象接近如圖所示，現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供企業(yè)選擇：①②③（1）請你幫助該企業(yè)從中選擇一個最合適的函數(shù)模型，并說明理由；（2）根據(jù)你在（1）中選擇的函數(shù)模型，如果總獎金不少于6萬元，則至少應(yīng)完成銷售利潤多少萬元？【答案】（1）③,理由見解析（2）72萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)所過的點，以及函數(shù)的增長速度，即可求解．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將對應(yīng)的點代入，即可求解函數(shù)表達(dá)式，列不等式求解即可.【小問1詳解】對于模型①，，圖象為直線，故①錯誤，由圖可知，該函數(shù)的增長速度較慢，對于模型②，指數(shù)型函數(shù)是爆炸型增長，故②錯誤，對于模型③，對數(shù)型的函數(shù)增長速度較慢，符合題意，故選項模型③，【小問2詳解】由（1）可知，選項模型③，所求函數(shù)過點，，則，解得，，故所求函數(shù)為，，即，，，至少應(yīng)完成銷售利潤72萬元．18.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式；（3）設(shè)函數(shù)，若，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)利用可得，經(jīng)檢驗可知符合題意；（2）根據(jù)（1）中解析式判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)解不等式可得結(jié)果；（3）依據(jù)題意可得只需滿足，結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得可得結(jié)果.【小問1詳解】因為定義域是上的奇函數(shù)，所以，即解得.經(jīng)驗證時，是奇函數(shù).【小問2詳解】設(shè)，則，因為在上遞增，且在上遞減，所以是上減函數(shù)，又因為在上是奇函數(shù)，則可轉(zhuǎn)化為，且在是減函數(shù)，則，整理得，解得或，可得或，所以不等式的解集為或.【小問3詳解】由題意可得因為，即，則，可得，所以的值域是，若，使成立，只需，設(shè)，則可知在[1，2]上單調(diào)遞增，可知，即時，取到最大值為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解實數(shù)的取值范圍時關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為求解的問題，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性計算解不等式即可.19.設(shè)函數(shù)的定義域為D，對于區(qū)間（，），若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱I為的一個“區(qū)間”.性質(zhì)1：對任意，有；性質(zhì)2：對任意，有.（1）分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”（直接寫出結(jié)論）；①；②.（2）若（）是函數(shù)的“區(qū)間”，求m的取值范圍；（3）已知定義在R上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)滿足：對任意a，，且，有.求證：存在“區(qū)間”，且存在，使得不屬于的任意一個“區(qū)間”.【答案】（1）①是（滿足性質(zhì)1）；②不是（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的新定義，結(jié)合函數(shù)和，進(jìn)行判定，即可求解；（2）若I為的“區(qū)間”，則不滿足性質(zhì)②，必滿足性質(zhì)①，即，由，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解；（3）對于任意區(qū)間，記，根據(jù)單調(diào)性得到，若I為的“區(qū)間”，必滿足性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為或，得出一定存在“區(qū)間”，記，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點的存在性定理，得到存在，使得，即可求解.【小問1詳解】解：①中，函數(shù)，當(dāng)時，可得，所以區(qū)間是函數(shù)的一個“區(qū)間”；②中，函數(shù)，當(dāng)時，可得，此時不滿足，所以區(qū)間不是函數(shù)的一個“區(qū)間”；所以①是（滿足性質(zhì)1）.②不是.【小問2詳解】解：記，，可得，故若I為的“區(qū)間”，則不滿足性質(zhì)②，必滿足性質(zhì)①，即；由，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，即，所以不包含于，不合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，所以，不合題意；綜上可知，，即實數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】證明：對于任意區(qū)間，記，由已知得在I上單調(diào)遞減，故，因為，即S的長度大于I的長度，故不滿足性質(zhì)①，所以若