第十二章無窮級數(shù)-高等數(shù)學(xué)下冊-國家級課程教案

第十二章無窮級數(shù)

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1.理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必

要條件。

2.掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3.掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.

5.了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

6.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7.理解幕級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握哥級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8.了解窯級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分）,

會求一些累級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項級數(shù)的和。

9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

10.掌握后,sinx,cosx,ln（lI工）和（1+々尸的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函

數(shù)間接展開成幕級數(shù)。

11.了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在［-1,1］

上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在［（）,1］上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅

里葉級數(shù)的和的表達(dá)式。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；

3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；

4、幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；

5、e',sinx,cosx,ln（l+x）和（1+。）”的麥克勞林展開式；

6、傅里葉級數(shù)。

【教學(xué)難點(diǎn)】

1、比較判別法的極限形式；

2、萊布尼茨判別法；

3、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；

4、函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；

5、泰勒級數(shù)；

6、傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。

【教學(xué)課時分配】（18學(xué)時）

第1次課§1第2次課§2第3次課§3

第4次課§4第5次課§5第6次課§6

第7次課§7第8次課§8第9次課習(xí)題課

【參考書】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）,第五版.高等教育出版社.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》,第/'、版.高等教育出版社.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§12.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

常數(shù)項級數(shù)：給定一個數(shù)列的，〃2,〃3,???,斯,?…，則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式〃1+"2+"3+…

叫做常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱常數(shù)項）級數(shù)，記為^即，即

7!=1

00

=?|+W2+W3-1------------，

其中第〃項〃〃叫做級數(shù)的一般項.

級數(shù)的部分和：作級數(shù)￡羯的前〃項和

/:=1

n

%=工場=〃1+〃2+〃3+.一+4

；=1

稱為級數(shù)￡%的部分和.

〃=i

級數(shù)斂散性定義：如果級數(shù)Z孫的部分和數(shù)列WJ有極限S,即lims〃=s,

〃=1n—yx>

則稱無窮級數(shù)￡〃〃收斂，這時極限s叫做這級數(shù)的和，

n=\

并寫成

s==與+"2+"勾+?一+4〃+???;

n=\

00

如果｛SJ沒有極限，則稱無窮級數(shù)Z與發(fā)散.

n=\

0000

余項：當(dāng)級數(shù)〃收斂時，其部分和S“是級數(shù)￡%?的和S的近似值，它們之間的差值

〃=1〃=1

〃產(chǎn)S-S，尸斯+|+〃"+2+?一

叫做級數(shù)〃的余項.

〃=1

例1討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）

00

￡aq"=a+aq+aq2+…+aq"+…

〃=0

的斂散性，其中"0,4叫做級數(shù)的公比.

解如果殲1,則部分和

nn

2?n_ia-aqaaq

sn=a+aq+acr+-*+aq--——=-------2―.

\-q\-q\-q

當(dāng)⑷<1時，因為lims,尸片，所以此時級數(shù)收斂，其和為白

7-81-（7〃=o\-q

當(dāng)即》時，因為lims〃=8,所以此時級數(shù)發(fā)散.

00

如果|夕|=1,則當(dāng)疔1時,品=加/-8,因此級數(shù)ZW發(fā)散;

n=0

當(dāng)q=-l時，級數(shù)成為

n=0

a-a+a-a+???,

當(dāng)團(tuán)=1時，因為％隨著〃為奇數(shù)或偶數(shù)而等于?；蛄?

所以即的極限不存在，從而這時級數(shù)￡。夕〃也發(fā)散.

〃=0

綜上所述，級數(shù)允的〃=|匚7⑷<i

⑷21

例2證明級數(shù)

1+2+3+???+〃+???

是發(fā)散的.

證此級數(shù)的部分和為

S=1+2+3~1+72=

n2

顯然，lims〃=8,因此所給級數(shù)是發(fā)散的.

8

例3判別無窮級數(shù)

]

的收斂性.

提示："111

“〃(〃+1)n〃+1

二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果級數(shù)￡>〃收斂于和八則它的各項同乘以一個常數(shù)々所得的級數(shù)￡2%也收斂,

n=\〃=1

且其和為ks.

800

性質(zhì)2如果級數(shù)Z〃〃收斂于和s,則級數(shù)Z攵〃〃也收斂，且其和為止

/?=1n=l

CO8

性質(zhì)3如果則工攵/=如?

800則級數(shù)￡（%±嗎）也收斂，且其和為5±6

性質(zhì)4如果級數(shù)、￡匕,分別收斂于和S、

〃=in=\

性質(zhì)5如果$、￡以二人則Z（〃〃+u〃）=s+。

n=\n=\

性質(zhì)6在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.

比如，級數(shù)工+」+」法廣..是收斂的,

1-22-33-4

級數(shù)10000+1生+七+…+忌萬+…也是收斂的'

1-2

級數(shù)七十七新十…也是收斂的?

性質(zhì)7如果級數(shù)X"〃收斂，則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變.

n=\

應(yīng)注意的問題：如果加括號后所成的級數(shù)收斂，則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂.

例如，級數(shù)

（1-1）+（1-1）+…攻斂于零，但級數(shù)1-1+1-1+…卻是發(fā)散的.

推論：如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原來級數(shù)也發(fā)散.

級數(shù)收斂的必要條件：

00

性質(zhì)8如果Z"〃收斂，則它的一般項斯趨于零，即1而孫二0?

應(yīng)注意的問題：級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件.

例4證明調(diào)和級數(shù)

i-=i+1+|+.是發(fā)散的.

，1〃23n

證：假若級數(shù)8帖1收斂且其和為“,”是它的部分和.

顯然有l(wèi)imsn=s及l(fā)ims2n=s.于是Ibn(.%-5〃)=().

/7—?ocns/?"?oo

但另一方面，

s-s=—^—+—^—+...+—>—+—4-...+—=-,

2〃〃A?4-1〃+22/?2n2n2n2

故lim(a-")工0,矛盾?這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散.

'T8n=\n

小結(jié)

1.常數(shù)項級數(shù)的概念；

2.常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)；

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意常數(shù)項級數(shù)的概念以及重要性質(zhì)，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè)P255:1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；

4(1),(3),(5);

§12.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法

一、正項級數(shù)及其審斂法

正項級數(shù)：各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù).

定理i正項級數(shù)￡〃〃收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列｛s〃｝有界.

〃=i

定理2(比較審斂法)

800

設(shè)lLun和2口〃都是正項級數(shù)，且〃脛匕伏〉0,\/n>N).

n=\n=\

88

若收斂,則收斂；

n=\〃=1

008

若Z〃〃發(fā)散，則發(fā)散?

〃=1〃=1

0000

證設(shè)級數(shù)〃收斂于和5則級數(shù)的部分和

n=\〃=1

S,i=ll\+U2+?一+Un<V\+也+?一+V,｝<(7(n=l,2,???),

即部分和數(shù)列｛品｝有界，由定理1知級數(shù)收斂.

n=\

反之，設(shè)級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散.因為若級數(shù)

n=\〃=1

0000

Z與收斂，由上已證明的結(jié)論，將有級數(shù)士〃〃也收斂，與假設(shè)矛盾.

〃=1n=\

8008

推論設(shè)z劭和w>〃都是正項級數(shù)，如果級數(shù)Z匕?收斂，且存在自然數(shù)M使當(dāng)〃出時有

n=\n=\〃=1

E(Q0)成立，則級數(shù)￡與收斂；如果級數(shù)￡>〃發(fā)散，且當(dāng)n>N時有〃“泌以Q0)成立，則級

〃=1”=1

數(shù)發(fā)散.

〃=i

例1討論級數(shù)

81

Y—=^1LU-

念np2P3P4〃M

的收斂性，其中常數(shù)p〉0.

提示：級數(shù)fl,'〃一|一』]的部分和為

〃=2(〃T)“np

5=fl一一i-rl+f-i-T一一…+[—----!-r]=l-----!~r

"2〃T2〃73/1(〃+1)/1(〃+l)〃T

i00i1

因為圾與=,吧[一力門,所以級數(shù),1奇]收斂.

~nP-[

8I

k級數(shù)的收斂性：P-級數(shù)Z-當(dāng)〃>i時收斂，當(dāng)庭1時發(fā)散.

71=1幾

例2證明級數(shù)￡8/1I是發(fā)散的.

證因為〉=」7,而級數(shù)￡」=、+[+.??+」

11\是發(fā)散的,

“(〃+l)J(〃+l)2〃+1〃=|〃+123〃+1

根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的.

定理3(比較審斂法的極限形式)

800

設(shè)Z%和2>〃都是正項級數(shù)，

?=1〃=1

88

⑴如果lim口?=/(0夕<+8),且級數(shù)2%收斂，則級數(shù)$>〃收斂；

〃-0vn〃=ln=\

〃7/三丁

(2)如果lim"=/>0或lim壇=內(nèi)，且級數(shù)！>〃發(fā)散，則級數(shù)Z即發(fā)散?

〃-8匕？，18匕？〃=]/1=|

證明由極限的定義可知，對￡=:/,存在自然數(shù)N,當(dāng)〃>N時，有不等式

乙5]乙乙乙

再根據(jù)比較審斂法的推論1,即得所要證的結(jié)論.

例3判別級數(shù)Z8sin，1的收斂性.

〃=1〃

sinl

解因為limT~=l,而級數(shù)三工發(fā)散，根據(jù)比較審斂法的極限形式，級數(shù)￡＞出工發(fā)散?

'is1〃=]〃〃=]n

n

例4判別級數(shù)￡ln(l+3)的收斂性.

n=\n

ln(l+-y)-[

解因為lim—4=1,而級數(shù)Z4收斂，根據(jù)比較審斂法的極限形式，級數(shù)

…8n=]n-

n2

00

2仙(1+'17)收斂.

〃=i叱

定理4(比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法)

8

若正項級數(shù)、＞〃的后項與前項之比值的極限等于

n=\

liml^-=p,

〃一＞8lln

則當(dāng)內(nèi)1時級數(shù)收斂，當(dāng)Al(或lim殳1-8)時級數(shù)發(fā)散，當(dāng)〃=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

〃一＞8Un

例5證明級數(shù)1+工+上+34+1231十

11,2123

是收斂的.

例6判別級數(shù)*+常+需+?.?+需+???的收斂性.

例7判別級數(shù)￡S的收斂性.

,?（2〃一1）2?

提示：，吧與吧瑞怒萬5比值審斂法失效.

因為鬲兩*,而級數(shù)，￡*收斂，因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收血

定理5（根值審斂法，柯西判別法）

設(shè)工4是正項級數(shù)，如果它的一般項〃“的〃次根的極限等于p:

”=|

lim瘋二夕，

〃一>8

則當(dāng)p<l時級數(shù)收斂；當(dāng)p>l（或lim瘋"=+<力）時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)上1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

n-x?

例8證明級數(shù)1+4+4+…是收斂的.并估計以級數(shù)的部分和品近似代替

2233nn

和s所產(chǎn)生的誤差.

解因為lim板;=lim3^=limL=0,所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂.

"T88V8Yi

以這級數(shù)的部分和近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為

I/?|=—!---1-----!----1----!----F…

"伽+1嚴(yán)（〃+2嚴(yán)2（〃+3產(chǎn)3

<1+—1—+—1—+...+

（71+1）,?+1（〃+1嚴(yán)2（〃+1嚴(yán)3

1

n（n+\）fl

例9判定級數(shù)￡2+；”〃的收斂性.

〃=12

定理6（極限審斂法）

設(shè)￡>〃為正項級數(shù)，

?=1

⑴如果lim或lim”j=+co）,則級數(shù)￡孫發(fā)散；

p

⑵如果P>1,而limnun=l(0</<+oo),則級數(shù)乞〃〃收斂.

n=\

81

例10判定級數(shù)Zln(l+W)的收斂性.

??=1〃

解因為ln(l+1)?」(〃.8),故lim“2%=lim/ln(l+4y)=lim序-4y=l,

根據(jù)極限審斂法，知所給級數(shù)收斂.

例11判定級數(shù)￡j^(l-COS匹)的收斂性.

〃=]〃

解因為limn^un=limi^-ytn+X(1-cos—)=lim-J3士L』(二產(chǎn)二]后,

,T828nis\n2n2

根據(jù)極限由斂法，知所給級數(shù)收斂.

二、交錯級數(shù)及其審斂法

交錯級數(shù)：交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)，它的各項是正負(fù)交錯的.

交錯級數(shù)的一般形式為￡(-1)〃T”〃，其中〃“>0.

n=]

例如，￡(-ir-'-是交錯級數(shù)，但玄(-1尸I—C°S〃N不是交錯級數(shù).

〃=1"，日n

定理7(萊布尼茨定理)

如果交錯級數(shù)￡(-1),-%滿足條件:

n=\

(1)??>?/,+1(72=1,2,3,…);(2)limun=0,

n-^oo

則級數(shù)收斂，且其和S勺小其余項的絕對值1%區(qū)〃〃+l.

簡要證明：設(shè)前〃項部分和為"

由$2n=(〃L〃2)+(〃3—〃4)+**,+("2〃L〃2〃)，及

S2“=〃L(〃2一〃3)+(〃4一〃5)+?…+(〃2"一2一"2"-1)一〃2〃

看出數(shù)列｛%｝單調(diào)增加且有界所以收斂.

設(shè)S2,L>S(，Tm),則也有S2,”1=S2〃+〃2〃i1一$(〃—>m),所以品TS(“一8).從而級數(shù)是收斂的，且

1.

因為一|=〃〃+L""2+…也是收斂的交錯級數(shù),所以同加+1.

例12證明級數(shù)￡(-1)〃一1工收斂，并估計和及余項.

〃=1〃

三、絕對收斂與條件收斂：

絕對收斂與條件收斂：

00008

若級數(shù)Zl〃〃l收斂，則稱級數(shù)Z/絕對收斂；若級數(shù)2>〃

/:=!//=!n=\

0000

收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱級2%條件收斂.

n=\〃=1

例13級數(shù)次(-1尸W是絕對收斂的，而級數(shù)￡(-1)〃一匕是條件收斂的.

〃=1〃n=\〃

88

定理8如果級數(shù)〃絕對收斂，則級數(shù)必定收斂.

〃=1〃=1

值得注意的問題：

如果級數(shù)fl%/發(fā)散，我們不能斷定級數(shù)￡〃〃也發(fā)散.

〃=1n=l

88

但是，如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)Zi〃〃i發(fā)散，則我們可以斷定級數(shù)〃必定發(fā)

〃=1,1=1

散.這是因為，止匕時心?不趨向于零，從而〃”也不趨向于零，因此級數(shù)Z〃〃也是發(fā)散的?

n=l

00?

例14判別級數(shù)Z羋見的收斂性.

“=|丁

列15判別級數(shù)￡(—1)〃](1+,產(chǎn)的收斂性.

M2〃n

小結(jié)

1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性;

2.利用正項級數(shù)審斂法；

3.任意項級數(shù)審斂法:Leibniz判別法。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性，正項級數(shù)審斂法，任意項級數(shù)審

斂法：Leibniz判別法，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.判別級數(shù)的斂散性：（1）y—!—,

77?ln（77+1）工（職1n

w?ii

2.設(shè)/w0（〃=1,2,3,…），且—=則級數(shù)￡（—1嚴(yán)（一+一）：（）

…與?=i冊

（A）發(fā)散；（B）絕對收斂；（C）條件收斂；（D）收斂性根據(jù)條件不能確定

講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè)P268:1(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)

§12.3塞級數(shù)

一、函數(shù)項級數(shù)的概念

函數(shù)項級數(shù)：給定一個定義在區(qū)間/上的函數(shù)列｛〃〃（1）｝,由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

〃1（X）+〃2（X）一〃3（X）+?一+〃”（支）十?一

稱為定義在區(qū)間/上的（函數(shù)項）級數(shù)，記為.

〃=1

收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)：

對于區(qū)間/內(nèi)的一定點(diǎn)X0,若常數(shù)項級數(shù)￡>〃（兩）收斂，則稱點(diǎn)X。是級數(shù)的收斂點(diǎn)

11=\"=1

.若常數(shù)項級數(shù)￡>“（司）發(fā)散，則稱點(diǎn)知是級數(shù)￡>”a）的發(fā)散點(diǎn).

71=1n=\

收斂域與發(fā)散域：

函數(shù)項級數(shù)￡>〃(?的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散

〃=i

域.

和函數(shù)：

88

在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是X的函數(shù)s(x),S。)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函

”=1〃=1

數(shù)，并寫成s(x)=￡>〃(x).是￡>〃(幻的簡便記法，以下不再重述.

Zl=lM=1

在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)￡如(幻的和是X的函數(shù)sQ),s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)￡以(幻的和函數(shù),

并寫成sa)=￡〃“(x).這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域，

部分和：

函數(shù)項級數(shù)的前幾項的部分和記作品(x),函數(shù)項級數(shù)X”〃⑴的前〃項的部分和記作

n=\

Sn(X),即

冊(X)=〃l(X)+〃2(X)+〃3(X)+?一+〃”(彳).

在收斂域上有l(wèi)ims〃(x)=s(x)或s〃(x)->s(x)(〃78).

余項：

函數(shù)項級數(shù)￡>〃(])的和函數(shù)S(x)與部分和s“(x)的差%(x)F(x)-s”(x)叫做函數(shù)項級數(shù)

n=l

00

X〃〃(x)的余項.函數(shù)項級數(shù)的余項記為r〃(x),它是和函數(shù)s(x)與部分和品(處的差rn

71=1

(戈)=傘)-品(x).在收斂域上有l(wèi)imr(x)=0.

n-^x)n

二、第級數(shù)及其收斂性

塞級數(shù)：

函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都幕函數(shù)的函數(shù)

項級數(shù)，這種形式的級數(shù)稱為基級數(shù)，它的形式是

〃0+。/+田2+?…?一，

其中常數(shù)的,0,42,???,叫做寨級數(shù)的系數(shù).

事級數(shù)的例子:

l+x+x2+x3+…+爐+…，

1c1

1+X+=X2+…H"—+….

2!ri

注：慕級數(shù)的一般形式是

4o+0（X—XO）+Q2（X~~XO）2+???+4〃（X—X0）”十,,,,

經(jīng)變換仁不一加就得。0+。1什。2-+?一+小斐+….

幕級數(shù)

1+K+JV'十JV［十?一十才’十?一

可以看成是公比為x的幾何級數(shù).當(dāng)因<1時它是收斂的；當(dāng)時，它是發(fā)散的.因此它的收斂

域為（-1,1）,在收斂域內(nèi)有

10々

-——=1+工+%-+爐+—FX"H.

1-X

定理1（阿貝爾定理）如果級數(shù)￡>,“〃當(dāng)Ax。。班0）時收斂，則適合不等式

〃=0

以|<僅。|的一切工使這幕級數(shù)絕對收斂.反之，如果級數(shù)當(dāng)

?=0

后此時發(fā)散，則適合不等式僅以對的一切X使這累級數(shù)發(fā)散.

提示：是￡。,盧〃的簡記形式.

〃=0

簡要證明設(shè)在點(diǎn)刈收斂，則有0的〃-0（〃—8）,于是數(shù)列｛為配〃｝有界，即存在一個常

數(shù)M,使I。加”區(qū)2,…）.

因為I=M-l=M\'\—\n<^-\—\H,

玉）X。玉）

而當(dāng)*<|殉1時，等比級數(shù)￡時?|工］〃收斂，所以級數(shù)收斂，也就是級數(shù)￡?*絕對收斂.

n=0%

定理的第二部分可用反證法證明.倘若事級數(shù)當(dāng)大M時發(fā)散而有一點(diǎn)X,適合|劉〉區(qū)|使級數(shù)收

斂，則根據(jù)本定理的第一部分，級數(shù)當(dāng)X.W時應(yīng)收斂，這與所設(shè)矛盾.定理得證.

推論如果級數(shù)￡>〃/不是僅在點(diǎn)戶0—點(diǎn)收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一

/7=0

個完全確定的正數(shù)R存在，使得

當(dāng)國〈R時，幕級數(shù)絕對收斂；

當(dāng)國〉R時，幕級數(shù)發(fā)散；

當(dāng)4A與x=-R時'箱級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

收斂半徑與收斂區(qū)間：正數(shù)R通常叫做幕級數(shù)￡>膽〃的收斂半徑.開區(qū)間(-凡R)叫做事級

0000

數(shù)〃的收斂區(qū)間.再由界級數(shù)在x±R處的收斂性就可以決定它的收斂域.基級數(shù)

的收斂域是(-R,R)(或H?,R)、(-RW、［-凡幻之一.

0000

規(guī)定：若某級數(shù)〃只在40收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0,若察級數(shù)對一切X都

〃=0??=()

收斂，則規(guī)定收斂半徑R=+8,這時收斂域為(-O0,+8).

定理2如果lim|4立卜「，其中斯、斯+i是基級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù)，則這基級數(shù)

〃T8Cl?r=(}

的收斂半徑

p=0

夕工0

P

0

簡要證明：lim||=lim\^-\-\x\=p\x\.

〃f8Cl?

⑴如果()</K+oo,則只當(dāng)小|<1時基級數(shù)收斂，R=—.

(2)如果片0,則恭級數(shù)總是收斂的，故R=+oc.

(3)如果片+8,則只當(dāng)4。時察級數(shù)收斂，故R=0.

例1求幕級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.

解因為夕=lim|況|=lim?L1,

〃一＞00

，―gan

所以收斂半徑為/?=工=1.

P

001

當(dāng)戶1時，幕級數(shù)成為2(-1)〃一吐，是收斂的;

n=\〃

當(dāng)4-1時，察級數(shù)成為'*J'1),是發(fā)散的.因此，收斂域為(-1,1].

〃=1幾

co1

例2求幕級數(shù)〃的收斂域.

叫0〃！

例3求幕級數(shù)￡＞!爐的收斂半徑.

77=0

例4求幕級數(shù)名票的收斂半徑.

〃=0(碼~

解級數(shù)缺少奇次幕的項，定理2不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑，

事級數(shù)的一般項記為〃〃(幻=察/〃因為所|學(xué)?|=4|肝，

(〃!)2“T8〃〃⑴

當(dāng)4奸＜1即時級數(shù)收斂；當(dāng)4|肝＞1即因＞:時級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑為/?=：.

L/L

[2(71+1)1!?(H+n

〃e(x)_[(〃+l)!]2_(2〃+2)(2〃+1)2

吊k(2〃)!「-(〃+1)2x.

例5求幕級數(shù)￡與史的收斂域.

n=\2'"

解令UA1,上述級數(shù)變?yōu)椤辏?.因為P=liml—

,l

n=\2nan2〃+4+l)2

所以收斂半徑R=2.

當(dāng)U2時，級數(shù)成為之上，此級數(shù)發(fā)散；當(dāng)=-2時二級數(shù)成為之士山，此級數(shù)收斂.因此級

n=\nn=\n

數(shù)的收斂域為-2金＜2.因為-2玄-1＜2,即-1眾＜3,所以原級數(shù)的收斂域為

n=\2n

三、幕級數(shù)的運(yùn)算

設(shè)幕級數(shù)￡4/〃及/〃分別在區(qū)間(-R,R)及(-*,R')內(nèi)收斂，則在(-R,R)與(-尼，R')中

〃=0n=0

較小的區(qū)間內(nèi)有

88co

加法：￡%爐+Ybnx，]=Zm〃+a)廿，

〃=o〃=o〃=o

減法：“廿一=次（4?一2）爐，

n=0〃=0/i=0

設(shè)幕級數(shù)匯41及￡包爐分別在區(qū)間（-凡R）及（-尼，R）內(nèi)收斂，則在（-R,R）與（-七R）中較小

的區(qū)間內(nèi)有

加法：￡“4+Eb,^=L，

減法：￡a^-Eb,^=L（ctn-bn）^1.

OC8

乘法：（Z〃M”＞（2AX"）=。0%+（40仇+。仍0）.計（4帥2+。6+42優(yōu)）/十?一

/i=0n=（）

+（dobn+U1bn-1+,一+4〃％）爐+?一

性質(zhì)1箱級數(shù)的和函數(shù)S（X）在其收斂域/上連續(xù).如果事級數(shù)在4/?（或4-R）也收

??=0

斂，則和函數(shù)S。）在（-凡R］（或［-&R））連續(xù).

性質(zhì)2幕級數(shù)的和函數(shù)s（x）在其收斂域/上可積，并且有逐項積分公式

〃二0

7c?88X°°/7/，+

￡s（x）dx=［）（2%廿）公=￡￡axndx=ZHTX（1々），

/i=0〃=（）n〃=o〃+i

逐項積分后所得到的察級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.

性質(zhì)3窯級數(shù)￡%產(chǎn)的和函數(shù)s（x）在其收斂區(qū)間（-凡R）內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項求導(dǎo)公式

〃=0

00co00

s'（x）=（XaM〃）'=￡（4/〃）'=2〃。國1（H〈R）,

n-0n-0n-\

逐項求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.

81

例6求基級數(shù)之一三爐的和函數(shù).

，印2+1

解求得事級數(shù)的收斂域為［-1,1）.設(shè)和函數(shù)為s（x\即S（x）=￡一［爐，XG［-1,1）.顯然

5（0）=l.在X9（X）=￡—1X〃M的兩邊求導(dǎo)得

〃=0〃+1

［X5（X）T=￡（'7爐+1）'=X爐=T^~?

n=0〃+1〃=01一%

對上式從。到X積分，得

xs(x)==-ln(l-x).

于是，當(dāng)xM時，有s（x）=—Ln（l—x）.從而s（x）=--In(l-x)()<|x|<l

x

1x=0

因為心(x)=尤向=［：7爐力處

°急)幾+1

=￡c)8!>"=，i-)r占1dx=-ln(lr),

〃=o*人

--In(l-x)0vxi<1

所以，當(dāng)沖0時，W5(x)=--In(l-x),從而s(x)=x

X1x=()

提示：應(yīng)用公式貨b'(6戊二/6)-b(0),即月(%)=尸(0)+。/'(幻&

1Q

---=1+X+X，9+JC，+—\-xn+???

\—x

例7求級數(shù)￡匕半的和.

〃=0〃+1

小結(jié)

1.求幕級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法;

2.累級數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意求募級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法，幕級數(shù)的性質(zhì)，要結(jié)合實例，反復(fù)

講解。

師生活動設(shè)計

1.己知￡勺/在工=入。處條件收斂，問該級數(shù)收斂半徑是多少?

〃=0

2.求極限Iimd+3n

+,,?H---)?其中。>1

“一8cia

講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè)P277:1(1),(3),(5),(7),(8),2(1),⑶

§12.4函數(shù)展開成幕級數(shù)

一、泰勒級數(shù)

要解決的問題：給定函數(shù)凡0要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成事級數(shù)”，就是說，是

否能找到這樣一個察級數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)八丫）.如果能找到這

樣的窯級數(shù)，我們就說，函數(shù)負(fù)幻在該區(qū)間內(nèi)能展開成累級數(shù)，或簡單地說函數(shù)/U）能展開成塞級

數(shù)，而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)應(yīng)立

泰勒多項式：如果"r）在點(diǎn)回的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)yu）近似等于

/（X）=/（/）+/'（Xo）（X-通）+/（工一%）2+.??

+乃察（x-v））"+R"（x），

其中此（?=，;二§）。一兩）向信介于X與X。之間）.

泰勒級數(shù)：如果7U）在點(diǎn)即的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)/（X）,廣（X）,,??,/"）（幻,?…，則當(dāng)"-8時

，段）在點(diǎn)X0的泰勒多項式

〃〃（幻=/（々）+/'（%））（工一々））+^^（工一々））2+?一+'few

成為幕級數(shù)

.人0）+（'（而）。一入0）+/：；））（工一用6+」+???J，。％_而）〃+，,?

這?累級數(shù)稱為函數(shù)凡X）的泰勒級數(shù).顯然，當(dāng)足訛時,人丫）的泰勒級數(shù)收斂于凡ro）.

需回答的問題：除了E外，兀r）的泰勒級數(shù)是否收斂？如果收斂，它是否一定收斂于40?

定理設(shè)函數(shù)/U）在點(diǎn)松的某一鄰域U5））內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則共為在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒

級數(shù)的充分必要條件是兒丫）的泰勒公式中的余項以⑴當(dāng)＞0時的極限為零，即

lim/?（x）=0（XGt/（^）））.

n-x?

證明先證必要性.設(shè)yu）在U（M））內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)，即

/（X）=/（/）+/'（而）（■￥-%）+/：：°）（x-二）2+…+于,°）（X—而）〃+??.,

2!〃！

又設(shè)0I+G）是於）的泰勒級數(shù)的前〃+1項的和，則在U（xo）內(nèi)品+i（x）-＞Qx）（〃一＞8）.

而負(fù)幻的n階泰勒公式可寫成/）=S〃+I（x）+R〃（x）,于是/?〃（/）=處）f+i（x）-＞（）（〃-＞8）.

再證充分性.設(shè)凡仆）-＞（）（〃-＞8）對一切XEU（XO）成立.

因為危）的〃階泰勒公式可寫成fix）=S,J+I（x）+Rn（x）,于是Sn+1（X）m⑺-/?〃（X）/U）,

即負(fù)X）的泰勒級數(shù)在U（xo）內(nèi)收斂，并且收斂于7U）.

麥克勞林級數(shù)：在泰勒級數(shù)中取xo=O,得

/(0)十八0)丹華爐+…+/^爐+…，

此級數(shù)稱為,/U)的麥克勞林級數(shù).

展開式的唯一性：如果人幻能展開成1的幕級數(shù)，那么這種展式是唯一的，它一定與火幻的麥

克勞林級數(shù)一致.這是因為，如果府)在點(diǎn)皿0的某鄰域(-R,R)內(nèi)能展開成x的鼎級數(shù)，即

),t

J(x)-a()+a\x+ci2^+???+allx+???,

那么根據(jù)鼎級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)，有

f,(x)=a\+2a2X+3a3X2+???+〃〃/『〔+???,

,,2

尸a)=2!s+3,2a+i+???+n(n-\)anx~+???,

n3

/'〃(1)=3!。3+?--+n\n-l)(n-2)anx~+???,

/(叫龍尸〃!〃〃+(〃+?-2〃”+|犬+?…,

于是得

而的⑼才⑼，出竹，…,乃曾，….

2!1T.

應(yīng)注意的問題：如果JW能展開成工的累級數(shù)，那么這個幕級數(shù)就是JU)的麥克勞林級數(shù).但是

,反過來如果JU)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)犬0=0的某鄰域內(nèi)收斂，它卻不一定收斂于人。因此，如果

./U)在點(diǎn)入B0處具有各階導(dǎo)數(shù)，則/(X)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來，但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間

內(nèi)收斂，以及是否收斂于7U)卻需要進(jìn)一步考察.

二、函數(shù)展開成惠級數(shù)

展開步驟：

第一步求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù):尸㈤J〃(x),…J⑺㈤,….

第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值：次()),廣(0),/〃(()),???/")(0),???.

第三步寫出幕級數(shù)：/(0)+廣(0)叱+4^/+一.+-“)(」?fàn)t十…，并求出收斂半徑+

2!IT.

第四步考察在區(qū)間(-R,R)內(nèi)時是否凡(幻―0(〃-8).

lim/?(x)=lim

〃一＞88(/?+!)!

是否為零.如果凡a)f0(〃-8),則?r)在(-RR)內(nèi)有展開式

〃x)=/(0)+r(0)A*)爐+../二(。)門..

?(_Ru<R).

2!〃！

例1將函數(shù)<x)=e”展開成x的幕級數(shù).

ex=l+X+^-X2H------4-...(-oo<x<+oo).

2!77!

例2將函數(shù)./U)=sinx展開成X的幕級數(shù).

一豪奈…+S

sin.r=.r7-1卜…(一oovxv+co).

(2n-l)!

例3將函數(shù)式幻=（1+尤）川展開成x的幕級數(shù)，其中〃7為任意常數(shù).

八1m（m-l）o"2（6—1）一?（機(jī)一〃+1）?/.［、

（l+x），〃=l+〃a_Lz+…+--------xn+…（一1cx<1）.

2!x加

間接展開法:

例4將函數(shù)./Cr)=cosx展開成犬的某級數(shù).

242〃

cosx=l-+-^---??+(-ir-^—+???(-00<X<+00).

2!4!(2〃)！

列5將函數(shù)/(幻=」方展開成x的幕級數(shù).

1+X2

-J—=1-A2+%4_...+(-l)?x2,/+...(TW).

l+X2

注：收斂半徑的確定：由-1〈-￡<1得

例6將函數(shù)./U）=ln（l+x）展開成x的哥級數(shù).

解因為r（x）=」一，而丁!一是收斂的等比級數(shù)￡（-1）〃爐（-1<衣1）的和函數(shù):

1+xl+x〃=（）

-^―=1-X4-X2-X34-b（_l）〃X〃+….

1+X

所以將上式從0到x逐項積分，得

ln（l+x）=x-：+4-：+…+（—1），書+…（―1<@.