高考概率大題

高考概率大題

一.解答題（共40小題）

1.某中學(xué)組織學(xué)生參加《網(wǎng)絡(luò)安全知識競賽》，在必答環(huán)節(jié)中，需回答5個問題，競賽規(guī)則

規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得-10分.假設(shè)某同學(xué)每題回答正確的概率均

為2,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

3

（I）求這名同學(xué)總得分70,10］的概率；

（II）求這名同學(xué)回答這5個問題的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

2.某地區(qū)2013年至2019年居民純收入y（單位：千元）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:

年份2013201420152016201720182019

年份代號/1234567

人均純收入3.94.34.65.45.8

y

2018和2019年的居民純收入），（單位：千元）數(shù)據(jù)采用隨機(jī)抽樣的方式獲得，用樣本的

均值來代替當(dāng)年的居民人均純攻入，其數(shù)據(jù)如下：

2018年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：5.24.86.55.66.07.16.17.35.97.5

2019年抽取的居民純4攵入（單位：千元）數(shù)據(jù)：6.27.86.65.87.16.87.27.95.97.7

（I）求y關(guān)于，的線性回歸方程；（II）當(dāng)?shù)卣疄榱颂岣呔用袷杖胨?，現(xiàn)從2018

和2019年居民純收入（單位：千元）高于7.0千元的樣本中隨機(jī)選擇3人進(jìn)行座談，了

解其工作行業(yè)及主要收入來源.設(shè)X為選出的3人中2018年純收入高于7.0千元的人數(shù),

求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式

小川*二￡&「三）2d3）'_二

分別為：b=izl---------------，a=y-bt-

2

￡（trt）

i=l

3.2020年春節(jié)期間，武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，全國

人民團(tuán)結(jié)一心，眾志成城，共同抗擊疫情，在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，教

育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某小學(xué)數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查學(xué)生在

家學(xué)習(xí)情況，對本校隨機(jī)選取100名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，統(tǒng)計他們的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間數(shù)據(jù)

結(jié)果如圖所示.

（I）若此次學(xué)習(xí)時間數(shù)據(jù)X整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計總體，設(shè)u，。分別為

這10（）名學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值代替），求U，

。的值（2。的值四舍五入取整數(shù)），并計算尸（54VXW87）的值;

（II）若該校共有1000名學(xué)生參加線上學(xué)習(xí)，試估計該校學(xué)生中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間超過87

分鐘的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）;

（III）若從50名參與調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行家訪，設(shè)其中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間超過

80分鐘及以上的學(xué)生數(shù)為求隨機(jī)變量?的分布列和均值.

o)~0.6827,P(p

4.新冠疫情期間，為阻斷疫情向校園蔓延，確保師生生命安全和身體健康，某學(xué)校利用網(wǎng)

絡(luò)平臺，停課不停學(xué)，積極開展線上教學(xué).現(xiàn)為了調(diào)查學(xué)生某學(xué)科成績是否與有無家長

監(jiān)督學(xué)習(xí)有關(guān)，采取分層抽樣的方法，從高一年級抽取了有家長監(jiān)督的30名同學(xué)和無家

長監(jiān)督的30名同學(xué)的該學(xué)科成績，得到如圖所示成績的莖葉圖，規(guī)定70分以上為合格

(包含70分).

(I)根據(jù)圖示，將2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤概率不超

過1%的前提下認(rèn)為“學(xué)生成績與有無家長監(jiān)督學(xué)習(xí)有關(guān)”？

合格不合格總計

有家長監(jiān)督的學(xué)生成績

無家長監(jiān)督的學(xué)生成績

總計60

(H)將頻率作為概率，從高一年級該學(xué)科成績中任取4名同學(xué)的成績，記成績合格的

人數(shù)為x,成績不合格的人數(shù)為匕記求號的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2=---------(n=a+h+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P(心心)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

行家長監(jiān)仔的學(xué)生成績無家氏監(jiān)督的學(xué)生成績

10544456678

77660024556

9875433327144699

876543111802457K

K7422109223

5.某超市每年10月份都銷售某種桃子，在10月份的每天計劃進(jìn)貨量都相同，進(jìn)貨成本為

每千克16元，銷售價為每千克24元;當(dāng)天超出需求量的部分，以每千克10元全部賣出.根

據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天的需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：°C)有一定關(guān)系：最高氣溫低

于25,需求量為1000千克；最高氣溫位于［25,30)內(nèi)，需求量為2000千克；最高氣溫

不低于30,需求量為3000千克.為了制訂2020年10月份的訂購計劃，超市工作人員統(tǒng)

計了近三年10月份的氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻率分布直方圖.以氣溫位于各區(qū)間的頻率

代替氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；

（2）設(shè)2020年10月份桃子一天的銷售利潤為丫元，當(dāng)一天的進(jìn)貨量為多少千克時，E

（X）取到最大值？

6.消費扶貧是社會各界通過消費來自貧困地區(qū)和貧困人口的產(chǎn)品與服務(wù)，幫助貧困人口增

收脫貧的一種扶貧方式，是社會力量參與脫貧攻堅的重要途徑.大力實施消費扶貧，有

利于動員社會各界擴(kuò)大貧困地區(qū)產(chǎn)品和服務(wù)消費，調(diào)動貧困人口依靠自身努力實現(xiàn)脫貧

致富的積極性，促進(jìn)貧困人口穩(wěn)定脫貧和貧困地區(qū)產(chǎn)業(yè)持續(xù)發(fā)展.某地為了解消費扶貧

對貧困戶幫扶情況.隨機(jī)抽取80戶進(jìn)行調(diào)查，并以打分來進(jìn)行評估.滿分為10分.如

表是80戶貧困戶所打分?jǐn)?shù)X的頻數(shù)統(tǒng)計.

分?jǐn)?shù)X5678910

頻數(shù)482024168

（I）求貧困戶所打分?jǐn)?shù)的平均值：

（【I）若從打分不低于8分的貧困戶中，任意抽取兩戶的分?jǐn)?shù)和為匕求y的分布列；

（III）為了更好調(diào)查消費扶貧對貧困戶幫扶情況.某地民政部門從本地20000戶貧困戶

中抽取200戶對2020年的收入進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：

收入（千[6,8）[8,10）[10,12）[12,14）[14,16）[16,18]

元）

頻數(shù)206060302010

（i）求這200戶2020年消藥扶貧幫扶收入平均值7和樣本方差J（同一區(qū)間的報價用

該價格區(qū)間的中點值代替）；

（ii）假設(shè)所有參與貧困戶的收入X可視為服從正態(tài)分布N（p,。2）且口與。2可分別

由（i）中所求的樣本平均數(shù)彳及樣本方差52估計.若2021年計劃幫扶貧困戶的年收入

為3174千元，根據(jù)調(diào)查，最低收入高于樣本平均數(shù)彳，請你預(yù)測（需說明理由）需要幫

扶貧困戶最低收入.

參考公式及數(shù)據(jù)：

若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N⑺，。2）,則尸⑺-。VXV|i+。）=0.6826,P（p-2

。<X<n+2o）=0.9544,P卬?3。VXV|i+3。）=0.9974.

7.高三一班參加學(xué)校迎新年趣味運動會，其中報名參加彈彈珠的有5名男生和3名女生，

參加兩人三足的有4名男生和3名女生.

（I）體育委員現(xiàn)對參加人數(shù)進(jìn)行調(diào)整，先從彈彈珠組任選2人到兩人三足組，發(fā)現(xiàn)人

數(shù)不對后，又從兩人三足組中選一人到彈彈珠組，求選出這人為男生的概率；

（II）從報名參加彈彈珠和兩人三足的同學(xué)中各抽取一人，用f表示選出女生人數(shù)，求彳

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

8.業(yè)余圍棋高手甲與專業(yè)圍棋高手乙進(jìn)行比賽，為體現(xiàn)比賽的公平性，兩人約定，甲勝一

局得2分，乙勝一局得1分.甲獲勝的概率為工，乙獲勝的概率為2.

33

（I）比賽3局后，甲的得分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（II）比賽若干局后，甲、乙兩人的得分之和若為〃分，得分之和為〃的概率為尸〃，請

寫出概率Pn-\,Pn-2(〃23)之間的關(guān)系式，并求出尸〃.

9-袋中有大小形狀均相同的1白球、2黑球，現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲，約定摸出白球得2分，摸

出黑球得1分.

(I)現(xiàn)約定有放回地摸球4次，得分為X,求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(II)當(dāng)游戲得分為〃(〃€N")時，游戲停止，記得〃分的概率為pn,pn的和為Q〃,

Qn=Z

3

(i)求。2；

(ii)若Tn=Qn+\-Q〃，求數(shù)列｛7^｝的通項公式.

10.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造、智能制造，把我國制造業(yè)和實

體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動我國經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一

些中小型T廠的規(guī)模不大,在先擇管理軟件時都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計.某一小型工廠自己沒

有管理軟件的高級技術(shù)員，欲購買管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某

一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費方案.

方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費

200元；

方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過15次,

不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次另外收費500元.

(1)設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為x,試寫出兩種

方案中y與工的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該工廠對該管理軟件服務(wù)公司為另一個工廠過去20個月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)

行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次

和14次的月份中任選3個月求這3個月，恰好是1個13次服務(wù)、2個14次服務(wù)的概率;

(3)依據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種

方案更合適，請說明理由.

個數(shù)

1314151617班務(wù)次數(shù)

11.綠水青山就是金山銀山，保護(hù)環(huán)境就是保護(hù)生產(chǎn)力，改善環(huán)境就是發(fā)展生產(chǎn)力，習(xí)近平

總書記提出的“兩山”理念深刻揭示了經(jīng)濟(jì)發(fā)展與生態(tài)環(huán)境的辯證關(guān)系.某大型企業(yè)為

進(jìn)一步加大生態(tài)保護(hù)力度升級改造了企業(yè)原有的5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)（包含2套備用系統(tǒng)）,

并制定如下方案：日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超

標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即同時啟

動另外2套備用系統(tǒng)進(jìn)行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)

監(jiān)測出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個時間段（以1小時為計量單位）

被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個時間段（以1小時為

計量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)的概率均為p（O<pVl）,且各個時間段每套系統(tǒng)

監(jiān)測出排放超標(biāo)情況相互獨立.

（I）用《表示某時間段處在運行狀態(tài)的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的套數(shù)，求5的分布列和數(shù)學(xué)期

望E（5）;

（II）若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為300元/小時（不啟動則不產(chǎn)生運行費用），結(jié)合

企業(yè)多年積累的數(shù)據(jù)，當(dāng)OVpV』時，環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行費用按照期望值的105%進(jìn)行

3

預(yù)算，當(dāng)工Wpvi時，環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行費用按照期望值的110%進(jìn)行預(yù)算，除運行費用

3

外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要100萬元，企業(yè)準(zhǔn)備拿出1300萬元

作為當(dāng)年的環(huán)境監(jiān)測費用專項資金，現(xiàn)以此方案實施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用是否會

超過基金總額（全年按9000小時計算）？并說明理由.

12.為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量.某地車

牌競價的基本規(guī)則是：

①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人不知曉其他人的報價，也不知道

參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出

價從高到低分配名額.某人擬參加2020年12月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價,

根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告.統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見表）:

月份2020.072020.082020.092020.102020.11

月份編號，I2345

競拍人數(shù)y0.50.6I1.41.7

（萬人）

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)1可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)y（萬人）與月份編號

AAA

，之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求y關(guān)于，的線性回歸方程：y=bt+a，并預(yù)測2020

年12月份參與競拍的人數(shù).

（2）某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對200位擬參加2020年12月份車牌競拍人員的報價價格進(jìn)行了一

個抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：

報價區(qū)間[L2）[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)回7]

（萬元）

頻數(shù)206060302010

（i）求這200為競拍人員報價X的平均數(shù)值7和樣本方差?（同一區(qū)間的報價可用該

價格區(qū)間的中點值代替）；

（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布N（內(nèi)。2）,且H與。2可

分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)7及，估值若2020年12月份實際發(fā)放車牌數(shù)量是

3174,請你合理預(yù)測（需說明理由）競拍的最低成交價.

n__

￡xy--xy

AAAAdXXAA

參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程y=bx+a，其中b=4-------?a=y-b^;

「2—2

上Xj-nx

i=l

55

②￡白55,￡%丫[=18.8,

i?li=l

③若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（p,。2）,則P（p-。<Z<|4+0）=0.6826,P卬

-2。<Z<p+2。）=0.9544,P（口-3。<Z<p+3。）=0.9974.

1n_n_

④方差非二衛(wèi)2（X/-x）2=￡（X/-x）2Pi.

ni=li=l

13.為研究一種新藥的耐受性，要對白鼠進(jìn)行連續(xù)給藥后觀察是否出現(xiàn)尸癥狀的試驗，該

試驗的設(shè)計為：對參加試驗的每只白鼠每天給藥一次，連續(xù)給藥囚天為一個給藥周期,

試驗共進(jìn)行二個周期.假設(shè)每只白鼠給藥后當(dāng)天出現(xiàn)〃癥狀的概率均為工，且每次給藥

3

后是否出現(xiàn)尸癥狀與上次給藥無關(guān).

（1）從試驗開始，若某只白鼠連續(xù)出現(xiàn)2次/癥狀即對其終止試驗，求一只白鼠至少能

參加一個給藥周期的概率；

（2）若在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)3次尸癥狀，則在這個給藥周期后，對其終

止試驗，設(shè)一只白鼠參加的給藥周期數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

14.為了研究全年國內(nèi)旅游人均消費情況與性別的關(guān)系，某互聯(lián)網(wǎng)旅游公司從其網(wǎng)絡(luò)平臺數(shù)

據(jù)庫中抽取1000條用戶信息進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

消費金額0&V444V88?12120V1616&V20在20

X（千元）

男（人數(shù)）1058067484456

女（人數(shù)）6510211112211288

合計（人數(shù)）170182178170156144

把全年旅游消費滿16000元的游客稱為“酷愛旅游者”.

（1）請完成下列2義2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為

“酷愛旅游者”與性別有關(guān)；

非酷愛旅游者酷愛旅游者合計

男

女

合計

（2）在慶祝公司成立15周年的系列活動中，董事會決定在其平臺數(shù)據(jù)庫的所有“酷愛

旅游者”中隨機(jī)抽取4名用戶，擔(dān)任網(wǎng)站的“形象大使”，每位“形象大使”可獲得30000

元獎金.另外，為了進(jìn)一步刺激旅游消費，提升網(wǎng)站的知名度，公司將在其平臺數(shù)據(jù)庫

的所有用戶中抽取100名幸運用戶給予現(xiàn)金獎勵，規(guī)則如下：幸運用戶在網(wǎng)頁上點擊“抽

獎”按鈕，屏幕上會隨機(jī)顯示兩個數(shù)字，每個數(shù)字出現(xiàn)0?9的可能性是相等的.兩個數(shù)

字中，若同時有數(shù)字1和5,則獲得一等獎，獎勵100（）元；若只有數(shù)字1和5中的一個,

則獲得二等獎，獎勵500元；若數(shù)字1和5都沒有，則獲得三等獎，獎勵200元.每位

“酷愛旅游者”可進(jìn)行兩次抽獎；每位“非酷愛旅游者”可進(jìn)行一次抽獎.

①視頻率為概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷愛旅游者”，又有女“酷愛

旅游者”的概率；

②如果所有的“形象大使”和幸運用戶都不放棄獎勵，記移動支付平臺支出的獎金總額

為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

2

附：參考公式：K=---------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P(心心)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

15.某學(xué)校高三甲、乙兩班同學(xué)進(jìn)行拔河比賽，各局比賽相互之間沒有影響.

(1)若單局比賽甲班勝乙班的概率為工，比賽采用“3局2勝”制，即先勝兩局的班獲

2

勝，那么甲、乙兩班獲勝的概率是否相等？并說明理由；

(2)設(shè)單局比賽甲班勝乙班的概率為〃(0<p^l),若比賽6局，甲班恰好獲勝3局，

當(dāng)甲班恰好獲勝3局的概率最大時，求p的值；

(3)若單局比賽甲班勝乙班的概率為(2)中的甲班恰好獲勝3局的概率取最大值時p

的值，比賽采用“5局3勝”制，設(shè)X為本場比賽的局?jǐn)?shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.

16.某地以農(nóng)業(yè)科技試驗站，對一批新水稻種子進(jìn)行試驗，播種了5000粒種子，已知這批

水稻種子的發(fā)芽率為0.9,成活率為0.8,先對沒有發(fā)芽的種子進(jìn)行補(bǔ)種，每粒需要再補(bǔ)

種3粒種子，以確保能夠正常發(fā)芽，記補(bǔ)種的種子數(shù)為X.

科研站之后要將這一批成功長成的植株送出，最初有30人參加，該科研站設(shè)置了第〃

(廢N")個月中簽的名額為2/16,并且抽中的人退出活動，同時補(bǔ)充新人，補(bǔ)充的人

比中簽的人數(shù)少2人，如果某次抽簽的人全部中簽，則活動立刻結(jié)束.

(1)隨機(jī)地抽取一粒，求這粒水稻種子能夠成長為幼苗的概率；

(2)求X的方差；

(3)求任意一人參加活動時間的期望.

17.某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語音功能讓它

就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶

寶想聽的內(nèi)容.同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容

可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家

長，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡稱產(chǎn)品），統(tǒng)計其性

能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）:

4”的出用，〃中

120

產(chǎn)品的性能指數(shù)在［50,70）的適合托班幼兒使用（簡稱4類產(chǎn)品），在［70,90）的適合

小班和中班幼兒使用（簡稱8類產(chǎn)品），在［90,110］的適合大班幼兒使用（簡稱。類產(chǎn)

品），A,B,C,三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5,3.5,5.5（單位：元）,以這100

件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；

（2）該公司為了解年營銷費用x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，

對近5年的年營銷費用刈和年銷售量2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到

的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

555__5_

￡%￡%￡（u「u）（Ui-U）￡（u「u）

i=li=li=li=l

16.3024.870.411.64

_15-15

表中ui=bvcitvi=lnybu=~^"￡U[UU￡,

5i=i15i=[1

根據(jù)散點圖判斷，y=a?W可以作為年銷售量y（萬件）關(guān)于年營銷費用x（萬元）的回

歸方程.

（Z）建立y關(guān)于x的回歸方程；

（"）用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到

最大？

（收益=銷售利潤-營銷費用，取6打59=64）.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（“I,U|）,（〃2,（M/J,U〃），其回歸直線U=a+B〃

*￡（u「JLu）（uJ-L-u）AA

的斜率和截距的最小二乘估計分別為B聲-------------2-----，a=77-BG

￡（U--U）

i=l

18.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，

如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根

據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為〃（0

VpVl）,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/（p）,求/（p）的最大值點外.

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的po作為〃

的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中.則T廠要對每件

不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品蚱檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,

求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作

檢驗？

19.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有

4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出一個球，在

摸出的2個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若只有1個紅球，則獲得二等獎；若沒

有紅球，則不獲獎.

（1）求顧客抽獎I次能獲獎的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

20.一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度工有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀

測數(shù)據(jù)如表：

溫度x/℃212324272932

產(chǎn)卵數(shù)W個61120275777

-16—66__

經(jīng)計算得：Xj=26，，￡（Xj-x）（y「y）=557，

6i=i6i=i1i=i1

6_6_

o2

￡（Xi-X）=84，￡（y-y）=3930，線性回歸模型的殘差平方和

i-l1i-11

6.

280605

￡（yi-yi）=236.64?e^3I67,其中加仙?分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，

i-l

/=!,2,3,4,5,6.

AAA

（I）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程y=p+a（精確到01）；

A

（II）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于X的回歸方程為y=0.06*2303x,且相關(guān)指數(shù)R2

=0.9522.

（/）試與（I）中的回歸模型相比，用於說明哪種模型的擬合效果更好.

（"）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

444

附：一組數(shù)據(jù)（xi,yi）,（X2,”），…，（?】,珈），其回歸直線丫=y+@的斜率和截距的

n__

-￡（xX,-x）（y1--y）AA

最小二乘估計為匕上\------二------，a=y-b-；相關(guān)指數(shù)川=

2

E（Xi-x）

i=l

nA

￡（y「yj2

1^----------.

n右

E（yi-y）2

i=l

21.在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示.

（1）求這4000名考生的競賽平均成績G（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）：

（2）由直方圖可認(rèn)為考生競賽成績z服正態(tài)分布N（J,。2）,其中山。2分別取考生

的平均成績7和考生成績的方差，，那么該區(qū)4000名考生成績超過84.81分的人數(shù)估計

有多少人？

（3）如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽

考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為本求尸（fW3）.（精確

到0.001）

附：①/=204.75,4204.75口4.31；

②z?N（u，o2）,貝oVzVp+o）=0.6826,P（p-2。VzVp+2o）=0.9544；

③0.84134=0.501.

▲頻率/組距

0.030

0.020

0.015

0.010

22.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30如?〃從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取

一個零件，并測量其尺寸(單位：下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的

尺寸:

抽取次12345678

序

零件尺9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

寸

抽取次910111213141516

序

零件尺10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

寸

經(jīng)計算得_尸1熬16…辦日/越716區(qū)，產(chǎn)

■②Xj2-16x2)=S212,

'1616一

E(i-8.5)2-18.439,￡(xi-幻S-8.5)=-2.78,其中.仃為抽取的第，個零件

i=li=l

的尺寸，;=],2,16.

(1)求(用，力(/=1,2,…，16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的

零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若用＜0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸

不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(x-3s,X+3J)之外的零件，就認(rèn)為這條

生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(i)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

(ii)在(7-3s,W+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)

天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）

n__

￡(x「x)(y「y)

附：樣本（笛，yi）（Z=I,2,〃)的相關(guān)系數(shù)、=InX=1In

\￡(x￡-x)(y「y)2

Vi=lVi=l

VO.008%0.09.

23.海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100

A

o.^

bo

do

c-4

in0

c^4

ko-

s^^

O

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量＜50依箱產(chǎn)量250依

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附:

P(K2K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

n(ad-bc)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

24.某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：加3）和使用了節(jié)水龍頭50

天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下:

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)10.5,0.6)10.6,0.7)

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的口用水量頻數(shù)分布表

日用水量10,0.1）[0.1,0.2）[0.2,0.3）[0.3,0.4）[0.4,0.5）[0.5,0.6）

頻數(shù)151310165

（1）作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

頻率/組距.

3.4------1-----------1----------1-----------1----------r----------

IIIII

32------*-------------{------J-------}------

3.0-----二-------L-----二------L-----:------

IIIII

2.8-----1------卜-------}------卜------1------

2.6------二-------丁------二-------1----------二------

IIIII

2.4------J------卜------1------；------1------

22-----1------L-----二------1-----二------

IIIII

2.0----------I-----------r---------1----------r---------4----------

IIaII

1.8-----：------,------}------；------：------

1.6-----S------'r------；-------------!------

IIIII

1.4-----:------；?------；------；------:------

12-----」-------}--------}-------!--------{------

IIIII

1.0------；------------1------------:------

0.8-----n------1-----二------：-----1------

IIIII

0.6------?------}-------；------卜------■{------

0.4------；-------------5------!-------；------

IIIII

02------?------卜-------?------卜------q------

00.10.20.30.40.50.6日用水量n?

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中

的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）

25.某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工

人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，

先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”

和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：[50,60）,[60,

70）,[70,80）,180,90）,[90,100）分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

P（72）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

圖1圖2

(I)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25

周歲以下組”工人的概率：

(II)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)

表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？附：

*2="(\戶22-\2n21):注:此公式也可以寫成長2=^__叫沖)：_)

n]*n2*n*]n*2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

26.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：?類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.

(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取I部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的

概率；

(II)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

(III)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“1=1”

表示第攵類電影得到人們喜歡.“國=0”表示第&類電影沒有得到人們喜歡(k=l,2,3,

4,5,6).寫出方差6日,D0,DRD0,。凌，。出的大小關(guān)系.

27.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方

式之一.為了解某校學(xué)生上個月48兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)

抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和

僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（7L）(0,1000](1000,2000J大于2000

支付嬴

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月4,8兩種支付方式都使用的概率;

（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月

支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用4的學(xué)生中，

隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本

僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

28.德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課

程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則

能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資珞，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每

一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每

一門課程是否合格相互獨立，

課程初等代數(shù)初等幾何初等數(shù)論微積分初步

合格的概率_322J.

7萬

（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；

（2）記f表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù),求E的分布列及期望號.

29.下面給出了根據(jù)我國2012年?2018年水果人均占有量y（單位：kg）和年份代碼x繪

制的散點圖和線性回歸方程的殘差圖（2012年?2018年的年份代碼x分別為1?7）.

人均占有里y(kg)我國2012年?201s年水果人均占有里散點圖

年份代碼x

殘差(kg)我國2012年?201s年水果人均占有里殘差圖

年份代碼x

(1)根據(jù)散點圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；

11

⑵根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得￡"=1074,￡揚(yáng)=4517,求y關(guān)于x的線性回歸方

i=li=l

程；

(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果(精確到0.01)

AAAA