概率論教案課程

第一章隨機事件與概率

第一節(jié)隨機事件

教學目的：了解概率的主要任務(wù)及其研究對象；掌握隨機試驗、隨機事

件等基本概念；掌握隨機事件間的關(guān)系與運算，了解其運算規(guī)律。

教學重點：隨機試驗，隨機事件，事件間的關(guān)系與運算。

教學難點：事件（關(guān)系、運算）與集合的對應(yīng)，用運算表示復雜事件。

教學內(nèi)容：

1、隨機現(xiàn)象與概率統(tǒng)計的研究對象

隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，出現(xiàn)不確定結(jié)果的現(xiàn)象。

研究現(xiàn)象：概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

2、隨機試驗（E）

對隨機現(xiàn)象的觀察。特點①試驗可在相同條件下重復；②試驗的所有可

能結(jié)果不只一個，但事先已知；③每次試驗出現(xiàn)一個且出現(xiàn)一個，哪個出現(xiàn)事

先不知。

3、基本事件與樣本空間

（1）基本事件：E中的結(jié)果（能直接觀察到，不可再分），也稱為樣

本點，用。表示。

（2）樣本空間：E中所有基本事件的集合稱為這個隨機試驗E的樣本

空間，用Q表示。

4、隨機事件

（1）隨機事件：隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的時?間。用A、B、C

等表示。

（2）隨機事件的集合表示

（3）隨機事件的圖形表示

必然事件（Q）和不可能事件（E）

5、事件間的關(guān)系與運算

（1）包含（子事件）與相等

（2）和事件（加法運算）

（2）積事件（乘法運算）

（3）互斥關(guān)系

（4）對立關(guān)系（逆事件）

（5）差事件（減法運算）

6、事件間的運算規(guī)律

（1）交換律；（2）結(jié)合律；（3）分配律；（4）對偶律

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題一1、2

第二節(jié)概率的定義

教學目的：掌握概率的古典定義，幾何定義，統(tǒng)計定義及這三種概率的

計算方法；了解概率的基本性質(zhì)。

教學難點：古典概率的計算，頻率性質(zhì)與統(tǒng)計概率。

教學內(nèi)容：

1、概率

用于表示事件A發(fā)生可能性大小的數(shù)稱為事件A的概率，用P（A）表示。

2、古典型試驗與古典概率

（1）古典型試驗：特點①基本事件只有有限個；②所有基本事件的發(fā)生

是等可能的。

（2）古典概率，在古典型試驗中規(guī)定

（）=A中含的基本事件數(shù)=k

’C中基本事件總數(shù)一〃

3、幾何型試驗與幾何概率

（1）幾何型試驗

向區(qū)域G內(nèi)投點，點落在G內(nèi)每一點處是等可能的，落在子區(qū)域G內(nèi)

（稱事件A發(fā)生）的概率與的度量成正比，而與G1的位置和形狀無關(guān)。

（2）幾何概率。在幾何型試驗中規(guī)律定

。的度量

P(A)=

G的度量

4、頻率與統(tǒng)計概率

(1)事件的概率

設(shè)在n次重復試驗中，事件A發(fā)生了r次，則稱比值二為在這n次試驗

n

中事件A發(fā)生的頻率，記為<(A)=C

n

(2)頻率的性質(zhì)

①y(A)G；0<(Q)=l；⑤，(①)=0；

④AB=(D時,f”(A+8)=/“(A)+力(8)；

?隨機性：/■的出現(xiàn)是不確定的；⑥穩(wěn)定性：￡(4)一〃5-8)

(3)統(tǒng)計概率，規(guī)定

P(A)=P

(4)統(tǒng)計概率的計算

p(A)?—(n很大)

n

5、概率的基本性質(zhì)

從以上三種定義的概率中可歸納得到：

(1)0<P(A)<l;

(2)pg)=i

(3)P(0)=O

(4)若AB=°,則尸(A+B)=尸(A)+尸(B)

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題一4、7、8、11

第三節(jié)概率的公理化體系

教學目的：掌握概率的公理化定義及概率的性質(zhì)；會用概率的基本公式

求概率。

教學重點：概率的公理化定義；概率基本公式。

作業(yè)：習題一15、16

第四節(jié)條件概率，乘法定理、全概率公式與貝葉斯公式

教學目的：理解條件概率的定義和概率的乘法公式、全概率公式、貝葉

斯公式。使學生掌握條件概率和概率的乘法公式，全概率公式和貝口I斯公式的

應(yīng)用。

教學重點：條件概率、乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式。

教學難點：條件概率的確定，用全概率公式和貝葉斯公式計算概率。

教學內(nèi)容：

1、條件概率

(1)實際問題中要確定在某事件己發(fā)生時，另一事件的概率，看書外。

例，在具體問題求條件概率。

(2)定義：若P⑻〉0,稱

P(AB)

P(4IB)=

P⑻

為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率。

2、概率的乘法公式

(1)P(AB)=P(B)P(AIB)

=P(A)P(^A)

(2)P(A3O=P(A)P(@A)P(qAa

3、概率的全概率公式與貝葉斯公式

(1)看書“23。例3分析和解決看兩公式的實際背景。

(2)定理1設(shè)事件4*2,A,…A”兩兩互斥，且

P(A)>0(/=1,2,.??//),對于任何事件B,若汽A,nB,則有

1=1

P(B)=￡P(guān)(A)P(MA)(全概率公式)

f=l

(3)定理2,定理1中的事件中，乂P(B)>0,則有

P(Am)p(B\Am)............

尸(A,j8)=〃(m=l,2,…〃)(貝葉斯公式)

2/4)〃(網(wǎng)4)

i=\

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題一12、14、17、18

第五節(jié)獨立試驗概型

教學目的：掌握獨立性的概念。會判斷數(shù)乘的獨立性并進行概率計算；

掌握貝努里概型，會用二項概率公式計算概率。

教學重點：事件獨立性的概念，具有獨立性的事件但相應(yīng)的概率計算，

貝努里概型與貝努里概型意義的正確理解。

教學內(nèi)容：

1、兩事件的獨立性

定義1對任意兩事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A、B相互

獨立。

2、兩事件獨立的性質(zhì)

若事件A與B獨立，則事件A與萬，^與B,K與豆都相互獨立。

3、三事件的獨立性

定義2設(shè)有事件義B、C,若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)>

P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A,B,C,兩兩相互獨立;又，若

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件A,B,C相互獨立。

4、n個事件的獨立性

定義3、設(shè)有事件A，&,&…A“，若。（4）〃（熊>?.〃（勺）其中

為（1，2，…〃）中任意S個不同的數(shù)。（5=2,3,,〃）則事件

A，人,人…4相互獨立。

5、獨立情況的概率公式

定理1.設(shè)事件相互獨立，則

（1）P（￡A,）=￡P(guān)（4）

i=li=l

（2）p（￡a）=i-￡p（4）

i=li=l

定理2、若事件A3,C獨立，則A+3、AB.A-3分別與。獨立。

6、貝努里概型

（1）貝努里試驗：只有兩個結(jié)果（4和入）的試驗。

P（A）=p,P（A）=q,O<P<lp+q=\

（2）〃重貝努里試驗：把同一個貝努里試驗獨立地重復〃次。也稱貝努

里概型。

7.二項概率公式

在〃重貝努里試驗中，時間4恰好發(fā)生k次的概率為

匕（⑥=。?尸?=。，1，2,…,〃

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題一19、23、26、27、28

第二章隨機變量及其分布

第一節(jié)隨機變量與分布函數(shù)

教學目的：掌握隨機變量的概念，并利用其表示隨機事件，掌握隨機變

量的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。

教學重點：隨機變量的概念；隨機變量分布函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

教學難點：對隨機變量及其分布函數(shù)的正確理解。

教學內(nèi)容：

1.隨機變量的概念

(1)引入隨機變量的目的

深入研究隨機試驗；求概率；整體描述隨機試驗。

(2)定義

定義1、設(shè)隨機試驗的樣本空間為。，若MweO,有一個實數(shù)夕⑼與之

對應(yīng)，則夕⑼稱為隨機變量，并簡記為

2.事件的表示

(1)對g的取值加上<、>、=、?！问降南拗茥l件。

(2)S為一個數(shù)集。{]wS}

3.概率分布

(1)隨機變量鄉(xiāng)取得概率的點及其數(shù)量的分布情況。

(2)可用J的概率分布確定J表示的事件的概率

(3)兩個大的類型：

離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量

4.分布函數(shù)

(1)定義2、設(shè)有隨機變量對于任何實數(shù)x,稱概率HjWx)為隨

機變量J的分布函數(shù)。記為F(x)=<X)(YO<x<+co)

(2)分布函數(shù)的幾何意義

落在數(shù)軸x點左側(cè)(含/點)處概率的數(shù)量。

(3)<b,P(a<^<b)=F(b)-F(a)

5.分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)0<F(x)<l

(2)F(YO)=0,尸(+8)=1

(3)F(?是單調(diào)不減函數(shù)，<b則尸(a)WF(b)

(4)Ax)是右連續(xù)函數(shù)，BPVx,F(x+O)=F(x)

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題二5

第二節(jié)離散型隨機變量及其概率分布

教學目的：掌握離散型隨機變量的概念及其概率分布的幾種表示方法；

掌握四種常見的離散性分布。

教學重點：離散型隨機變量的概率分布；0-1分布、二項分布、泊松分

布、超幾何分布四種常見分布。

教學難點：正確理解概率分布；四種常見分布與所描述試驗的對立性。

教學內(nèi)容：

1.離散型隨機變量

如果隨機變量4的所有可能取值只有有限個或可列個，則稱J為一個離

散型隨機變量。

2.概率分布

g取值:%,彳2,…,與…

(1)圖形表示

(2)公式表示

P(&=Q=p,,i=12

(3)表格表示

3.概率分布的基本性質(zhì)

（1）〃后0,i=l,2,…

（2）￡p,.=l

1=1

4.確定概率

p（六s）=￡pj

Xi<S

5.求分布函數(shù)

/（x）=Z〃j（階梯型函數(shù)）

Xj<X

6.常見的離散型分布

（1）0-1分布

（2）二項分布

（3）泊松分布

（3）超幾何分布

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題二3、6、7、9

第三節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)

教學目的：掌握連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)的定義；會求概率；

掌握均勻分布和指數(shù)分布。

教學重點：連續(xù)型隨機變量；概率密度函數(shù)；均勻分布和指數(shù)分布。

教學難點：正確理解概率密度函數(shù)

教學內(nèi)容：

1.連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義

（1）說明當隨機變量取值充滿某區(qū)間時，象離散型情況那樣給出概率分

布的不可行性。

（2）連續(xù)取值隨機變量的概率（線）密度

/（X）=limRY"X+AY）=LIM---=

At八->0+Ax

（在分相函數(shù)F\x）的可微點處）

(3)定義

設(shè)隨機變量J的所有可能取值充滿某個區(qū)間，如果存在一個非負函數(shù)

/'a)，使得4的分布函數(shù)F*)=POx)=J1/⑴力(-8<工<+8)則稱J為一

個連續(xù)型隨機變量。

稱為J的概率密度函數(shù)(或分布密度函數(shù))

2./(X)的性質(zhì)

(1)/5)相當于離散型概率分布中的Pj。

(2)基本性質(zhì)

①f(x)>0；?jf{x}dx=1

(3)Va<b,P{a<<Z?)=J于(x)dx

(4)幾何意義

(5)Vtz,P(^=tz)=0,從而

P(a<b)=P(a<^<b)=P(a<b)=尸(a<^<Z?)=jf{x}dx

(6)f(x)=F\x)(在/(x)的連續(xù)點處)

(7)尸(x)是連續(xù)函數(shù)。

3.兩個常見的連續(xù)函型分布

(1)均勻分布

(2)指數(shù)分布

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題二11、14、15、16

第四節(jié)正態(tài)分布

教學目的：正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的分布，掌握正態(tài)分布的定義、

特點，標準正態(tài)分布，正態(tài)分布中的概率計算。

教學難點：正態(tài)分布的定義、特點、標準正態(tài)分布，概率計算(查表)

教學難點：對正態(tài)分布的正確理解

教學內(nèi)容：

1.正態(tài)分布

(1)定義：如果隨機變量J的概率密度為

(if

(-00<X<+00),其中〃，。>0為常數(shù)，則稱4服從于參

數(shù)為〃和4的正態(tài)分布，記為4~陽4。2)

(2)實際問題中正態(tài)分布非常廣泛和常見。

+x--f—+00

(3)Je2dt=,由此可證明Jf(x)dx=1

(4)正態(tài)分布的分布函數(shù)

(d

/(x)=「-f^e2,dt

J,《2兀o

2.正態(tài)分布的概率密度曲線

3.標準正態(tài)分布

(1)〃=0,。=1時的正態(tài)分布，記為N(0,l)

(2)分布函數(shù)

(3)①(用的性質(zhì)

(DF(x)=G：?(D(-x)=l-Oa)

4.概率計算(查表)

當時，中(x)可查表求得函數(shù)值。

(1)J?N(O,1)

①p(4<?=①S)；。尸=①S)—①(a)；?

P(罔vc)=26(c)-1(c>0)

(2)P(a<^<Z?)=0(^^)-0(^^)

O(7

教學時數(shù)：1學時

作業(yè)：習題二12、18

第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布

教學目的：掌握求離散型和連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布的方法；掌握

正態(tài)分布的兩個重要性質(zhì)。

教學重點：離散型隨機變量函數(shù)的分布；連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布；正

態(tài)分布的兩個重要性質(zhì)。

教學難點：連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

教學內(nèi)容：

1.離散型隨機變量函數(shù)的分布

（1）舉例1（P62）。說明基本方法，總結(jié)歸納一般方法。

（2）J的分布為PG=xJ=Pj,i=l,2,；g@：M，%，…,如則—=80）的

分布為P（G=y）=ZPi，/=L2,…

2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

設(shè)4的概率密度為了（》），求。=8（4）的概率密度

（1）分布函數(shù)法

①？），）二尸（GWy）=P（g?Wy）=Jf（x）dx

g（x）＜y

②￡_（y）=￡.'（＞，）,（連續(xù)點處）

（2）單調(diào)變換法

當）,=g（X）單調(diào)、連續(xù)、可導時，其反函數(shù)工=力（＞，）存在且單調(diào)、連續(xù)、可

導，則

f.(y)=fWy)]\h\y)\

3.兩個重要結(jié)論

(1)“N3,/、,則幺上?N(0/)，一般地

o

延+b~N+b,0%?)(〃工0)

教學時數(shù)：1學時

作業(yè)：習題二、1,13

第三章多維隨機變量

第一節(jié)多維隨機變量及其分布函數(shù)

教學目的：掌握多維隨機變量的概念，掌握二維隨機變量的分布函數(shù)及其

性質(zhì)。

教學重點：多維隨機變量的定義，二維隨機變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)。

教學難點：正確理解多維隨機變量及其分布函數(shù)。

教學內(nèi)容；

1.多維隨機變量的定義

定義1、如果。,芻，,芻是定義在樣本空間Q上的〃個隨機變量，則這〃個

隨機變量的整體H3”)稱為〃維隨機變量，也稱為〃元隨機變量或〃元

隨機向量。

〃=2時，一維隨機變量記為(？〃)

2.事件表示

二維數(shù)集52(=2,事件表示為{4,〃)wS2}

3.二維隨機變量的分布函數(shù)

定義2、設(shè)有二維隨機變量（乙〃），對于任何實數(shù)工和），，稱概率

夕（4《演〃4），）為（。,〃）的（聯(lián)合）分布函數(shù)，記為

F（x,y）=P（J<x,?;<y）（-co<x,y<-KO）

4.二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）O"（x,y）Wl

（2）F（YD,y）=0,F（x,YO）=0,F（-oo,-oo）=0,F（+oo,-K?）=1,

（3）/（％），）關(guān)于變量x和），分別為不減函數(shù)。

（4）"*,），）關(guān)于變量x和y分別為右連續(xù)函數(shù)。

（5）VX[<々，內(nèi)]<），2，有一（％2，%）一尸（X，y?）一尸（工2，乂）+尸（石，兇）之0

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：

第二節(jié)離散型二維隨機變量

教學目的；掌握離散型二維隨機變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分

布，會求這三種分布。

教學重點：離散型二維隨機變量及其聯(lián)合概率分布，邊緣分布，條件分

布，概率計算問題。

教學難點：正確理解聯(lián)合分布，邊緣分布，條件分布。

教學內(nèi)容：

1.離散型二維隨機變量

對于二維隨機變量c，〃），如果分量J和〃都是離散型隨機變量，則稱

?"）為離散型二維隨機變量。

2.聯(lián)合分布

1取值:%,孫…，租…

〃取值：y,%，，匕，…

P（g=Xjj]=X）=j=1,2,稱為（4，〃）的聯(lián)合概率分布。

注：也可以列成表格形式

3.邊緣分布

4,〃）中兩個分量。和〃的分布稱為（以〃）的邊緣分布，可由聯(lián)合分布來確

定。

⑴P（J=x,）=￡4=Pi.，i=l，2,?..

7=1

⑵p（?7=＞；.）=ypif=p,rj=i,2,

注：可以在表格形式的聯(lián)合分布上行列分別相加得到C

4.條件分布

（1）"二y.固定時，4的條件分布為：

「（4=%|〃=匕）=旦/=1,2,，?（；=1,2,?）

1%

（2）4=天固定時，〃的條件分布為：

尸（〃=），/代=%）=2"=1,2,…（/=1,2,一）

Pi.

注：條件分布可在表格上利用某一行（或列）上計算得到。

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題三2、3

第三節(jié)連續(xù)性二維隨機變量

教學目的：掌握連續(xù)型二維隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分布；

掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。

教學重點：連續(xù)型二維隨機變量的概念與聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分

布；二維均勻分布和二維正態(tài)分布。

教學難點：正確理解三種分布；求分布和概率時所涉及的積分計算。

教學內(nèi)容：

1.定義與聯(lián)合分布

（1）定義1、對于二維隨機變量修力），如昊存在非負函數(shù)使得

（4,77）的分布函數(shù)/（1,丫）=。（44%,77"）=「「￡（5""5力，則稱（J,1）為連續(xù)

J-coJ-CO

型二維隨機變量，其中/（x,y）稱為&〃）的聯(lián)合概率分布函數(shù)。

（2）f（x,y）為&〃）在5,），）點處分布概率的面密度。

+v〃<y+Ay）

/（x，）'）=Inn-------------:-------...-

Ay-D?O+J

2.7（x,y）的性質(zhì)

（1）對比性

①與一維情況對比，f（x,y）相當于/（x）；

。與離散情況對比，/（乂），）相當于與

（2）基本性質(zhì)

0/（x0'）>0,。匚匚〃蒼），）也修二1

（3）設(shè)D為任何平面區(qū)域，則P[?"）eO]=Jj7（x,）”0y

D

（4）.f（：v）=/（x,y）,（在/*,y）的連續(xù)點處）

dxdy

3.邊緣分布

連續(xù)型二維（虞〃）的邊緣分布為連續(xù)性的?？捎善渎?lián)合密度/（X,），）確定。

（1）關(guān)于4的邊緣分布密度/（x）=J：/（x,y）dy

（2）關(guān)于77的邊緣分布密度A（y）=L/（xy"

4.條件分布

（1）當〃=），固定時，4的條件密度為人（x|y）二歌1

（1）當&=x固定時，〃的條件密度為力（），山）=今等

5.二維均勻分布

設(shè)G為一個有界平面區(qū)域，若修內(nèi)）的概率密度為

1，、「

-------,(x,y)cG

S(G)

0,其他

則稱C，〃）服從G上的均勻分布。

注：二維均勻分布描述平面區(qū)域上的幾何型試驗。

6.二維正態(tài)分布

如果（乙〃）的概率密度為：

((」_從)(__〃)()一生)2

、1_]rXf)2_22+1

/（元y）=-----------7=^exp

一02)b；o-jCT,

2g■02弋1一戶2(1

其中M,〃2，b|>0,%是常數(shù)，則稱（虞〃）服從二維正態(tài)分布,記作:

（4,，7）~N（M，〃2；b：，b；；/）

注：二維正態(tài)分布是常見的重要二維分布，其邊緣分布和條件分布都是正

態(tài)分布。

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題三、4、5

第四節(jié)隨機變量的獨立性

教學目的：掌握隨機變量獨立性的意義、定義，判斷獨立性的充分必要條

件，會用意義和充分必要條件判斷隨機變量的獨立性。

教學重點：隨機變量獨立性的定義，判斷獨立性的充分必要條件。

教學難點：正確理解由獨立性意義所給出的林立性定義。

教學內(nèi)容：

1.隨機變量獨立性的概念

（1）定義1對于二維隨機變量e,〃），設(shè)加和s?為任何兩數(shù)集，若

）（

P（&GS1,7ZGS2=P^GS,）.P（77eS2）

則稱百與77相互獨立。

（2）意義

J與77相互獨立的意義是J與77的取值情況互不影響，可由此直接判斷彳與

〃的獨立性。

（3）J與〃相互獨立。產(chǎn)（.%），）=為（x）?%（y）,（-00<x,y<+<?）

2.離散型情況

（g,〃）的聯(lián)合分布為p（g=%,〃=X）==1,2,,

則4與"獨立=1%=P「?P,j,i,j=\，2，…

3.連續(xù)型情況

（虞〃）的聯(lián)合概率密度為/Q,y）,

則f與〃獨立o/（樂）,）=J\⑺?/式）'），（-8<用十口）

4.推廣

（1）以上二維隨機變量（4力）中J與〃獨立性的三個充分必要條件都可以

推廣到〃維隨機變量&42，4〃）中分量，以獨立性的情況。

（2）九務(wù)…后相互獨立的意義是八會…,或的取值情況互相無任何影

響，也可由此判斷其獨立性。

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題三9、11

第五節(jié)多維隨機變量函數(shù)的分布

教學目的：掌握離散型二維隨機變量函數(shù)的分布，求連續(xù)型二維隨即變量

函數(shù)的一般方法。和的分布，商的分布，掌握數(shù)理統(tǒng)計中的幾個常見分布。

教學重點：求離散型、連續(xù)型二維隨機變量函數(shù)分布的一般方法，利的分

布，商的分布，隨機變量函數(shù)的獨立性。四個統(tǒng)計常用分布。

教學難點：連續(xù)型二維隨機變量函數(shù)的分布。

教學內(nèi)容：

1.離散型二維隨機變量函數(shù)的分布

聯(lián)合分布為：

p(g=%，〃=X)=〃u，i，/=1，2,

g(4,77)：Z|,Z2,…，Z],…

g=g記力)的分布為

P(G=zQ=ZPij,k=T,2,…

2.連續(xù)型二維隨嘰變量函數(shù)的分布

4,〃)的概率密度為/(為y),g=g(力)

(1)先求G的分布函數(shù)

%(z)=Jf/(-r,)^)dxdy

(2)4(z)=耳(z)(在今(z)的可微點)

3.和的分布

f+XJfHJO

4+稅(z)=L"占Z-幻公=L/(z-y,y)dy

4.商的分布

源(z)=r〃zy,y)|y@

5.隨機變量函數(shù)的獨立性

設(shè)有〃1+%+■?+0個隨機變量品，…，配?；/，…4二；…;如，…，孔，相互

獨立，①，是〃，元連續(xù)函數(shù)，令7=叱?|,..,金,)/=1,2,,左，則7，〃2，,..,為相

互獨立。

6.數(shù)理統(tǒng)計中的幾個常用分布

（1）正態(tài)隨機變量函數(shù)的分布

（2）二分布

（3）/分布

（4）F分布

注：以上分布主要記住其性質(zhì)，概率密度曲線。

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題三14、7、16、18

第四章隨機變量的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)學期望

教學目的：掌握數(shù)學期望的概念，隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，數(shù)學期望的

性質(zhì)，同時掌握常見隨機變量分布的數(shù)學期望。

教學重點：隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學期望的計算。

教學難點：各種概念的正確理解。

教學內(nèi)容：

1.講解隨機變量的數(shù)學期望

1）定義L設(shè)離散型隨機變量4的概率函數(shù)為PC=￡）=〃,，

i=l,2,…，若級數(shù)絕對收斂，則定義J的數(shù)學期望為七=￡七/%

1=11=1

2）定義2：設(shè)連續(xù)型隨機變量J的概率密度函數(shù)為/。），若積分

「%。）於絕對收斂，則定義《的數(shù)學期望為E”「“球⑴公

J-00J-x>

2.講解常見隨機變量分布的數(shù)學期望

1）0-1分布

2）泊松分布

3）二項分布

4）均勻分布

5)指數(shù)分布

6)正態(tài)分布

3.講解隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望及例題

(1)定理1：設(shè)〃=g(4)，g(x)是連續(xù)函數(shù)

①當4是離散型隨機變量，概率分布為24=項)=億，”12…，，且

收斂，貝U有En="?=￡以毛)化

1=11=1

②當J是連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為/(幻，且JJg(x)|/(x)公收

斂，則有功=￡四);J1g(x)/(x)“t

(2)定理2：設(shè)9=8(4〃)，g(x,y)是連續(xù)函數(shù)

①當(377)是二維離散型隨機變量，概率分布為

P記=Xj/7=為)=pv，i,j=1,2,…，且￡￡保(七,力帆收斂時，則有

*=|)=\

Eg=Eg4,g(￡，匕)Pu

i=lj=\

②當?,7)是二維連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為/(羽y),且

「J|g(x,y)|/(%,y)d物收斂時,則有

r-Ko「+笫

Eq=Eg?〃)=J]g(x,y)f(x,y)dxdy

J-coJ-s

4.講解數(shù)學期望的性質(zhì)

(1)EC=C,C為常數(shù)

(2)E(CJ)=C段，c為常數(shù)

(3)E(J+〃)=塔+￡〃

(4)若J與〃相互獨立，則E(廓7)=E7E〃

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題四1、2、3

第二節(jié)方差

教學目的：掌握隨機變量的方差、標準差的蹴念性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上遂行

相關(guān)計算，同時掌握常見隨機變量分布的方差。

教學重點：方差的計算及方差的性質(zhì)。

教學難點：方差概念定義的正確理解。

內(nèi)容提要：

1.方差的概念

定義：設(shè)g是隨機變量，若E(g-E4)2存在，則稱它為隨機變量彳的方差,

記為。彳，并稱四？為標準差。

2.常見隨機變量分布的方差計算

1)0-1分布

2)泊松分布

3)二項分布

4)均勻分布

5)指數(shù)分布

6)正態(tài)分布

3.方差的性質(zhì)

1)為常數(shù)

2)D(C^)=C2D^C為常數(shù)

3)若自與〃相互獨立，貝IJO(J+〃)=OJ+D7

4)=0的充要條件為P(J=4)=1,。為常數(shù)

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題四5、6、7、8、9、10、11

第三節(jié)隨機變量的其它數(shù)字特征

教學目的：掌握協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的定義，性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上遂行

相關(guān)的運算。

教學重點：相關(guān)系數(shù)的含義及性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)與獨立性的關(guān)系。

教學難點：相關(guān)系數(shù)的含義及性質(zhì)。

內(nèi)容提要：

1.協(xié)方差

1）定義：設(shè)（〈，〃）是一個二維隨機變量，若

存在，則稱它為4與〃的協(xié)方差，記作covd/7），即

covG力）=E化一E&）U7—E77）

2）協(xié)方差的性質(zhì)

①COV砥,77）=COV（7,4）

②cov（若，加7）=。力covg〃），a,〃為常數(shù)

③COV&+&2，〃）=COV6],〃）+COV42,77）

④covgn）=E?]）-E『E7[

⑤cov6，a）=0,〃為常數(shù)

2.相關(guān)系數(shù)

（1）定義：設(shè)（§,〃）是一個二維隨機變量，若COV?,"）存在，且

covC，〃）

。4>0,Drj>0則稱為自與"的相關(guān)系數(shù)，記作P，即

cov（g，7）

（2）定義：當0＜夕（1時，稱J與〃正相關(guān)；當-1（夕＜0時，稱J與根負

相關(guān)；當/?=0,稱J與〃不相關(guān)。

（3）定理：設(shè)夕為g與〃的相關(guān)系數(shù)，則

①Ie日

②|月=1的充要條件是存在常數(shù)。力，使P。?=4+站）=1

（4）定理：隨機變量J與V不相關(guān)（0=0）與下面的每一個結(jié)論都等價：

①covC，〃）=0

②?？?7）=。4+。"

③EGF）=E『E〃

3.矩的定義

設(shè)J與"為隨機變量，若反父）存在，則稱它為4的k階原點矩，簡稱我階

矩；若24-七4尸存在，則稱它為J的左階中心矩；而以"?“）與

E?—E。）”?（$—后與）'分別稱為2+/階混合矩和左+/階中心混合矩。

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題四13、14、15、16

第五章大數(shù)定律與中心極限定理

第一節(jié)切貝謝夫不等式

教學目的：掌握切貝謝夫不等式及其運用。

教學重點：切貝謝夫不等式及其運用。

教學難點：切貝謝夫不等式的含義。

內(nèi)容提要：

講解切貝謝夫不等式及其舉例。

定理（切貝謝夫不等式）：設(shè)隨機變量J有期望值及方差則對任

意￡>0,有P（、-造怛￡）?等;P（忸一有|〈￡）之1一”

￡~￡~

教學時數(shù)：學時

作業(yè)：習題王1、2

第二節(jié)大數(shù)定律

教學目的：掌握切貝謝夫大數(shù)定律與貝努力大數(shù)定律及其含義。

教學重點：貝努力大數(shù)定律及其含義。

教學難點：頻率與概率的關(guān)系。

內(nèi)容提要：

1.切貝謝夫大數(shù)定律

定理：設(shè)乙，……是相互獨立的隨機變量序列，各有期望值E。，

造2，??…及方差。百2，……，并對所有i=1,2,……有D&V,其中/是與

i無關(guān)的常數(shù)，則對任意￡>0,有l(wèi)impj汽0」汽E&<￡)=1。

91r=1〃i=1

2.貝努力大數(shù)定律

定理：在〃次獨立試驗序列中，設(shè)每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率為

/?(()</?<1),以〃“表示〃次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則對任意￡>0,有

limP(生一〃<幻=1。

n—>oon

第三節(jié)中心極限定理

教學目的：掌握獨立同分布的中心極限定理，德莫佛一拉普拉斯定理及其

應(yīng)用。

教學重點：掌握獨立同分布的中心極限定理，德莫佛一拉普拉斯定理。

教學難點：掌握獨立同分布的中心極限定理，德莫佛一拉普拉斯定理的應(yīng)

用。

內(nèi)容提要：

1.獨立同分布的中心極限定理

定理：設(shè)。，乙，......，S，......是相互獨立且同分布的隨機變量序歹U,

=//,D^=（y\z=l,2,……則對任意實數(shù)工，有

E短-以

lim尸(紅〒——<x)e2力

"->8yln(J-00

2.德莫佛一拉普拉斯定理

定理：在〃重貝努力試驗中，成功的次數(shù)為3而在每次試驗中成功的概

率為〃（（）<〃<1）,q=l-〃，則對任意實數(shù)x,有

lim<x)=f'~^=e~7dt

'isJnpqJ-8j2乃

教學時數(shù)：1學時

作業(yè)：習題王3、4、5、6

第六章數(shù)理統(tǒng)計基本概念

第一節(jié)總體與樣本

教學目的：掌握總體、樣本、簡單樣本、樣本分布等概念的含義。

教學重點：掌握總體、總體單元、有限總體、無限總體、一元總體、多元

總體、樣木、簡單樣本、樣本分布概念。

教學難點：教學重點中的這些概念的實際含義。

內(nèi)容提要：

1.總體

（1）總體：把研究對象的全體稱為總體。

（2）總體單元（個體）：組成總體的基本單位稱為總體單元。

（3）有限總體：總體單元數(shù)有限的總體稱為有限總體。

（4）無限總體：總體單元數(shù)無限的總體稱為無限總體。

（5）一元總體：只研究總體的一個指標，這樣的總體稱為一元總體。

(6)多元總體：研究總體的二個或二個以上指標，這樣的總體稱為多元總

體。

2.樣本

(1)樣本：從總體X(一元總體)中抽取〃個個體(總體單元)X,,

……，X"，則稱(X-X2,……,X”)為來自總體X的容量為〃的樣

本，〃稱為樣本容量。

(2)簡單樣本(簡稱樣本)：設(shè)(XjX2,……,X")為來自總體X

的容量為〃的樣本，如果％,X2,……,X〃相互獨立且均與X同分布，則稱

(X,,X2,……，X”)為簡單隨機樣本，以后無特殊說明均簡稱樣本。

3.樣本的分布

設(shè)總體X的分布函數(shù)為/"),則樣本(XjX2,……,X,)的聯(lián)合分布

函數(shù)為"(X],川2,......,XJ=P(X1<xl9X.<x29……,Xn<xn)

=P(X]<x])P(X2<x2)......P(Xn<xw)=FCrl)F(x2)......F(xJ=fJF(x.)

?=i

當X為離散總體且概率分布為P(X=￡)=〃(￡)=〃,，則(X「X2,

……，X”)的聯(lián)合概率分布為

P(Xi=x,,X2=x2,.......=xj=fj/?(x.)=flP..

/=1<=l

當X為連續(xù)總體且分布函數(shù)為/。)時?，則(XI,X2,……,X〃)的聯(lián)合

分布為/(為，尤2.......，%)=口/(匕)

/=!

教學時數(shù)：2學時

第二節(jié)統(tǒng)計量與抽樣分布

教學目的：掌握統(tǒng)計量、常用統(tǒng)計量及抽樣分布，并在此基礎(chǔ)上靈活運用

抽樣分布。

教學重點：常用統(tǒng)計量及抽樣分布。

教學難點：抽樣分布及其運用。

內(nèi)容提要：

1.統(tǒng)計量

定義：（X[,X2,...?X“）為來源于總體X的樣本，若…J”）

為4出，…4）的〃元連續(xù)函數(shù)，且。中不含任何未知參數(shù)，則稱

例為一個統(tǒng)計量，抽樣前，統(tǒng)計量作為〃維隨機變量（X「

X2,Xn）的函數(shù)為一隨機變量，而抽樣后看，X2,X”都有了具體

取值，相應(yīng)夕（X「X2,…X”）稱為統(tǒng)計量的值。

2.常用統(tǒng)計量

（1）樣本均值:心至X，

⑵樣本方差：s2=—y（x,.-x）2

（3）樣本標準差：5=&_彳￡區(qū)-乂）2

2

22

（4）樣本離差平方和：L=^（X,.-X）=^XZ-nX

i=\?=l

1"k

（5）樣本々階矩（原點矩）：Mk=-YXi,k=1,2,……

〃,=1

⑹樣本女階中心矩：=-y（X.-X）\k=1,2,……

3.抽樣分布

（1）定理1：設(shè)總體X~N（〃,/）,（X「X2,X“）為來源于總體

__1_1

X的樣本，則EX=〃，DX=-a2且X?N（"」cr2）。

nfn

推論：若總體X~N（〃口2）,則與g~N（O,l）

O-y/n

（2）定理2：設(shè)總體X?（X,,X2,X“）為來源于總體

X的樣本，則又與§2獨立且S—?S-~72—一］）。

（7~

（3）定理3：設(shè)總體X?N（〃,cr2）,（X1,X2,X"）為來源于總體

X的樣本，則與2~?〃一1）。

S/4n

（4）定理4：設(shè)兩總體X與y相互獨立，X?N（從Q/），

y-Ng'Q），（XI,x2,x叫）和（匕，打，…，幾）分別來源于總

體X和y的容量分別為〃I和%的樣本，樣本平均數(shù)與樣本方差分別記為X,s；

和％s??,則有:

(1)X-J”二〃2)?N(oj)

V火力2

q2/2

(2)—4—~尸。一1,〃，-1)

§2/。2

（3）如果有弓2=%2，則

x_y_(〃]一〃2)

~/(/?)+々-2)

(%一1)SJ+(%-1電~(1?1

+〃2?2〃]〃2

教學時數(shù)：2學時

作業(yè)：習題六1、2、3、4、6、7、8、9、11

第七章估計

第一節(jié)點估計

教學目的：掌握參數(shù)點估計的兩種常見方法；矩法及最大似然法；會判定

估計量的優(yōu)良性，即無偏性、有效性及一致性。

教學重點：矩估計的方法；最大似然估計的基本思想及具體求法；評價點

估計量的優(yōu)良性。

教學難點：理解最大似然法的原理與矩估計法的不同，掌握評價點估計量

的優(yōu)良性。

教學內(nèi)容：

1.求點估計量方法

（1）矩法估計的概念和具體求法

（2）最大似然法思想和具體求法

2.估計的優(yōu)良性

（I）無偏性

（2）有效性

（3）一致性

教學時數(shù)：3學時

作業(yè)：習題七1、2、4、5、6

第二節(jié)區(qū)間估計的一般概念

教學目的：介紹區(qū)間估計的基本概念，使學生了解區(qū)間估計與點估計的不

同之處；會查分位數(shù)。

教學重點：會查分位數(shù)；構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法。

教學難點：對構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法的理解。

教學內(nèi)容：

1.分位數(shù)的概念

（1）上側(cè)分位數(shù)的概念及查表方法

（2）雙側(cè)分位數(shù)的概念及查表方法

2.置信區(qū)間的概念

（1）置信區(qū)間的定義

（2）構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法

教學時數(shù)：2學時

第三節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

教學目的：正態(tài)總體條件下關(guān)于參數(shù)的置信區(qū)間的求法。

教學重點：正態(tài)總體在各種已知條件下，求未知參數(shù)置信區(qū)間的具體方

法。

教學難點：熟練掌握正態(tài)總體，已知條件不同下的參數(shù)的置信區(qū)間的不同

對應(yīng)公式。

教學內(nèi)容：

1.單個總體的情況

（1）〃的置信區(qū)間

①/已知，〃的置信區(qū)間:

(X-UaX+

2vft2

②/未知，〃的置信區(qū)間:(X-1a(n-+Q(〃-1)—

2Yn2

（2）/的置信區(qū)間

An-1)S22

①〃未知，〃的置信區(qū)間:(H-1)S

-1-

22

2

元(Xj-〃)2t(X,.-A)

②〃已知，〃的置信區(qū)間:)

/(〃)'z\(?)

-I-

2.兩個獨立正態(tài)總體的情況

（1）4-勺的置信區(qū)間

①或與b；均已知,勺的置信區(qū)間

②或與田未知，的置信區(qū)間

（〃一咸+（網(wǎng)」+4

(X—y—a(%+-2)

名十七一2%nx

（〃「l）S；+（〃v-l）S；11

X-Yt(nn-2)-------------二-----（一十一川

+ax+v凡.+〃\、-

12nKny

教學時數(shù)：3學時

作業(yè)：習題七9、10

第五節(jié)總體分布的估計

教學目的：了解在實踐中如何估計總體的分布狀態(tài)。

教學重點：總體為離散型時，用樣本的頻率去估計總體的概率分布；總體

為連續(xù)型時，用直方圖的形式反映總體概率密度的分布狀態(tài)。

教學難點：會通過實測樣本繪制頻率密度的直方圖。

教學內(nèi)容：

1.總體分布函數(shù)的估計一經(jīng)驗分布

2.總體分布密度的估計一直方圖

教學時數(shù)：2學時

第八章假設(shè)檢驗

第一節(jié)假設(shè)檢驗的基本概念

教學目的：介紹假設(shè)檢驗的基本思想；假設(shè)險驗的原理一小概率原理及兩

類錯誤。

教學重點：理解假設(shè)檢驗的思想，產(chǎn)生兩類錯誤的原因，以及檢驗的步

驟。

教學難點：對假設(shè)檢驗的原理及兩類錯誤的理解及假設(shè)檢驗的步驟的掌

握。

教學內(nèi)容：

1.假設(shè)檢驗的基本思想

2.小概率原理及兩類錯誤

3.假設(shè)檢驗的步驟

教學時數(shù)：2學時

第二節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗

教學目的：掌握正態(tài)總體在已知條件不同的各種情況下對參數(shù)進行的假設(shè)

檢驗的方法。

教學重點：①規(guī)范原假設(shè)與備擇假設(shè)的格式以區(qū)別是雙側(cè)檢驗，還是單側(cè)

檢驗。②正態(tài)總體在已知條件不同下參數(shù)假設(shè)檢驗的各種方法。

教學難點：①掌握雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗的區(qū)別。②使用雙側(cè)檢驗、左側(cè)

檢驗、右側(cè)檢驗的選擇方法。③掌握正態(tài)總體在已知條件不同所對應(yīng)的參數(shù)假

設(shè)檢驗的不同公式。

教學內(nèi)容：

1.單個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗方法

（1）關(guān)于總體為值〃的檢驗

①雙側(cè)檢驗H（）://=從）,"]:"*"）

（1）已知一〃檢驗

統(tǒng)計量〃=土4~7（0.1）

a

拒絕域（-8,Tq）U（〃a，+8）

22

（2）未知一f檢驗

統(tǒng)計量”=出~/（〃一1）

拒絕域（-8,工5-1））口&（〃-1）,+8）

12

②單側(cè)檢驗

（1）左側(cè)檢驗H。：〃>"o,乩：〃<A

/己知統(tǒng)計量〃=七4?N（O,I）

（J

4n

拒絕域

/未知統(tǒng)計量t=X以°_1）

忑

拒絕域（—,-〃（〃-D）

（2）右側(cè)檢驗:〃>〃（）

/已知統(tǒng)計量〃=-^~N（0,1）

（7

4n

拒絕域（Wa,-KO）

CT2未知統(tǒng)計量t=\"。~-1）

yjTl

拒絕域（ru（n-l