專題2.2 有理數(shù)的減法【十大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.2有理數(shù)的減法【十大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數(shù)的減法概念理解】........................................................................................................................1

【題型2有理數(shù)的減法運算】................................................................................................................................3

【題型3有理數(shù)的加減混合運算】........................................................................................................................4

【題型4有理數(shù)的加減中的簡便運算】................................................................................................................6

【題型5根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷不等關(guān)系】............................................................................................9

【題型6有理數(shù)的加減混合運算的實際應用】..................................................................................................11

【題型7有理數(shù)加減法中的規(guī)律問題】..............................................................................................................14

【題型8有理數(shù)的加減運算與相反數(shù)、絕對值等的綜合應用】......................................................................16

【題型9有理數(shù)加減運算中的新定義問題】......................................................................................................19

【題型10由有理數(shù)的加減運算解決數(shù)軸上兩點間的距離問題】......................................................................22

知識點1：有理數(shù)的減法

1.定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法。

注意：（1）任意兩個數(shù)都可以進行減法運算。

（2）幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)的絕對值。

2.法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有：a-b=a+(-b)。

注意：將減法轉(zhuǎn)化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。

將加減法統(tǒng)一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.

【題型1有理數(shù)的減法概念理解】

【例1】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習）已知?,?兩個有理數(shù)，那么a+b與a必定是（）

A．?+?>?B．?+?<?C．?+?<??D．以上都不對

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法即可判斷每個選項是否正確．

【詳解】解：當?<0時，?+?<?，故A選項錯誤；

當?>0時，?+?>?，故B選項錯誤；

第1頁共25頁.

當?>0，?>0時，?+?>0，??<0，此時?+?>??，故C選項錯誤，

故選：D．

【點睛】本題考查有理數(shù)的加減運算和大小比較，注意：和可能會比加數(shù)小．

【變式1-1】（23-24七年級·江蘇無錫·階段練習）下面說法中，正確的是（）

A．兩個有理數(shù)的和一定比這兩個有理數(shù)的差大；

B．兩個有理數(shù)的差一定小于被減數(shù)；

C．零減去一個有理數(shù)等于這個有理數(shù)的相反數(shù)；

D．絕對值相等的兩數(shù)之差為零．

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則可判斷A項，根據(jù)有理數(shù)的減法法則可判斷B、C兩項，根據(jù)相反數(shù)的性

質(zhì)舉出反例可判斷D項，進而可得答案．

【詳解】解：A、兩個有理數(shù)的和不一定比這兩個有理數(shù)的差大，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、兩個有理數(shù)的差一定不小于被減數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、零減去一個有理數(shù)等于這個有理數(shù)的相反數(shù)，故本選項說法正確，符合題意；

D、絕對值相等的兩數(shù)之差不一定為零，如3與﹣3的絕對值相等，但3－（﹣3）=6，故本選項說法錯誤，

不符合題意．

故選：C．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法與減法以及相反數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握有理數(shù)的基

本知識是解題關(guān)鍵．

【變式1-2】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）?、?是有理數(shù)，如果|?+?|=???，那么對于結(jié)論：（1）

?一定不是負數(shù)；（2）?可能是負數(shù)，其中（）．

A．只有（1）正確B．只有（2）正確

C．（1）、（2）都正確D．（1）、（2）都不正確

【答案】C

【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的減法．根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分兩種情況討論，即可求解．

【詳解】解：∵|?+?|=???，

∴???≥0，即?≥?，

當?+?=???時，?≥0,?=0，

當?(?+?)=???時，?=0,?≤0，

第2頁共25頁.

∴?一定不是負數(shù)；?可能是負數(shù)．

故選：C．

【變式1-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）給出下列結(jié)論：①若?<0,?>0，則???<0；②若

?>0,?<0，則???>0；③若?<0,?<0，則??(??)>0；④若?<0,?<0，且|?|>|?|，則???<0．其

中正確的是．（填序號）

【答案】①②④

【分析】本題考查了有理數(shù)減法法則，解題關(guān)鍵是熟記法則，準確進行判斷即可．

【詳解】解：①?<0,?>0，所以?<?，則???<0，①正確；

②若?>0,?<0，所以?>?，則???>0，②正確；

③若?<0,?<0，所以?<??，則??(??)<0，③錯誤；

④若?<0,?<0，且|?|>|?|，所以?<?，則，???<0，④正確．

故答案為：①②④．

【題型2有理數(shù)的減法運算】

【例2】（23-24七年級·新疆烏魯木齊·階段練習）下列算式正確的是（）

A．(?4)?5=?1B．0?(?3)=3C．(?5)?(?5)=?10D．|5?3|=?(5?3)

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的減法計算，求一個數(shù)的絕對值，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：A、(?4)?5=?4?5=?9，原式計算錯誤，不符合題意；

B、0?(?3)=0+3=3，原式計算正確，符合題意；

C、(?5)?(?5)=?5+5=0，原式計算錯誤，不符合題意；

D、|5?3|=|2|=2≠?(5?3)=?2，原式計算錯誤，不符合題意；

故選；B．

【變式2-1】（23-24·山西呂梁·模擬預測）計算(?3)?(?2)的結(jié)果是（）

A．1B．?1C．5D．?5

【答案】B

【分析】有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．依此計算即可求解．

考查了有理數(shù)的減法，方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，

要同時改變兩個符號：一是運算符號(減號變加號)；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(減數(shù)變相反數(shù))．

【詳解】解：(?3)?(?2)=?1．

第3頁共25頁.

故選：B．

【變式2-2】（23-24七年級·新疆烏魯木齊·階段練習）若等式(?2)□(?1)=?2+1成立，則□中應填入的運

算符號是（）

A．+B．?C．×D．÷

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)有理數(shù)的減法法則可以解答本題．

【詳解】∵(?2)?(?1)=?2+1，

∴若等式(?2)□(?1)=?2+1成立，則□中應填入的運算符號是“?”，

故選：B．

【變式2-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）已知3與一個數(shù)的差為?5，則這個數(shù)為．

【答案】8

【分析】本題主要考查了有理數(shù)減法運算，根據(jù)減數(shù)等于被減數(shù)減去差列式計算即可得解．

【詳解】解：3?(?5)

=3+5

=8．

故答案為：8．

知識點2：有理數(shù)的加減混合運算

1）根據(jù)有理數(shù)減法法則，將減法全部轉(zhuǎn)化為加法；

2）觀察式子是否可以運用加法運算律進行簡便計算；

3）根據(jù)有理數(shù)加法法則進行計算得出結(jié)果。

注意：1）減法轉(zhuǎn)化為加法的時候注意符號的改變；2）多利用運算律，能使計算更加簡便。

【題型3有理數(shù)的加減混合運算】

【例3】（23-24·廣西柳州·三模）大約公元前2200年在我國出現(xiàn)的“洛書”中就有關(guān)于幻方的記錄．在如圖

所示的三階幻方中，填寫了一些數(shù)和漢字（其中每個漢字都表示一個數(shù)）．若處于每行、每列及每條對角

線上的3個數(shù)之和都相等，則“中”“國”“夢”這三個字表示的數(shù)之和是（）

第4頁共25頁.

A．3B．1C．0D．?1

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減法運算，由題意知，每行、每列及每條對角線上的3個數(shù)之和為?3，則

由第三行可得“夢”表示的數(shù)，由第一行可得“中”“國”兩字表示的數(shù)之和，最后求得結(jié)果．

【詳解】解：由于一條對角線的數(shù)分別為?2，?1，0，則其和為?2?1+0=?3，第三行“夢”表示的數(shù)為

?3?(?5+0)=2，第一行“中”“國”兩字表示的數(shù)之和為?3?(?2)=?1，則“中”“國”“夢”這三個字表示的數(shù)

之和是?1+2=1；

故選：B．

【變式3-1】（23-24七年級·陜西渭南·期中）數(shù)軸上某一個點表示的數(shù)為a，若將這個點先向右移動4個單

位，再向左移動5個單位，此時這個點表示的數(shù)為?2，則a的值為()

A．?1B．?2C．1D．2

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的坐標左減右加的原則進行計算即可．

【詳解】解：依題意，?2+5?4=?1，故點?表示的數(shù)是?1．

故選：A．

【點睛】此題考查了數(shù)軸，以及有理數(shù)的加減運算，熟練掌握數(shù)軸上點的坐標左減右加的原則是解本題的

關(guān)鍵．

13321

【變式3-2】（23-24七年級·河北滄州·階段練習）已知?=3?2?，?=?2?1，?=??，

141516141516141516

則下列判斷正確的是（）

A．?=?=?B．?=?≠?C．?≠?=?D．?≠?≠?

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)加減的運算法則以及運算律化簡即可求得答案．

1321

【詳解】?=3?2?=??，

141516141516

3321

?=?2?1=?+，

141516141516

321

?=??，

141516

所以，?=?≠?．

故選：B．

【點睛】本題主要考查有理數(shù)，牢記有理數(shù)加減的運算法則以及運算律是解題的關(guān)鍵．

第5頁共25頁.

【變式3-3】（23-24七年級·江蘇宿遷·階段練習）如圖，數(shù)軸上有一個動點從原點出發(fā)，沿數(shù)軸跳動，每次

向正方向或負方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動，該動點落在表示數(shù)3的點上（允許重復過此點），則質(zhì)點

的不同運動方案共有（）

A．2種B．3種C．4種D．5種

【答案】D

【分析】規(guī)定向右為正，向左為負，構(gòu)造數(shù)的和為3的方式就是不同運動方案

【詳解】規(guī)定向右為正，向左為負，

∵?1+1+1+1+1=3；1?1+1+1+1=3；1+1?1+1+1=3；1+1+1?1+1=3；

1+1+1+1?1=3；

∴質(zhì)點的不同運動方案共有5種，

故選D．

【點睛】本題考查了相反意義的量，有理數(shù)加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．

【題型4有理數(shù)的加減中的簡便運算】

11111111

【例4】（23-24七年級·廣東深圳·期中）+++++++再加上（）后，結(jié)果就是1．

248163264128256

．1．1．1．1

A64B128C256D512

【答案】C

11111111

【分析】根據(jù)簡便算法求出+++++++的值，再用1減去該值即得出答案．

248163264128256

11111111

【詳解】解：+++++++

248163264128256

1111111

=1?+?+??+?+?

22464128128256

1111111

=1?+?+??+?+?

22464128128256

1

=1?

256

255

=．

256

第6頁共25頁.

2551

1?=，

256256

111111111

故+++++++再加上后，結(jié)果就是1．

248163264128256256

故選C．

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算．掌握有理數(shù)的混合運算法則，并利用簡便算法計算是解題關(guān)鍵．

【變式4-1】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）在正整數(shù)中，前50個偶數(shù)的和減去前50個奇數(shù)的和所得的結(jié)

果是（）

A．50B．?50C．100D．?100

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)加減混合運算，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，準確進行計算．

【詳解】解：根據(jù)題意列式：(2+4+?+100)?(1+3+?99)

=2?1+4?3+……+100?99

=1+1+……+1

=50，

故選：A．

【變式4-2】（23-24七年級·河南南陽·階段練習）計算

41

(1)?31++5+(?0.5)++3；

2656

(2)(?8)?(?15)+(?9)?(?12)；

(3)15?+55?+33+?21?+64；

6767

(4)?41+3.25+(?6)+41

|2|2

【答案】4

(1)5

(2)10

(3)?3

(4)?0.25

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合計算：

（1）根據(jù)有理數(shù)的加法計算法則求解即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合計算法則求解即可；

第7頁共25頁.

（3）根據(jù)有理數(shù)的加減混合計算法則求解即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合計算法則求解即可．

41

【詳解】（1）解：?31++5+(?0.5)++3

2656

1514

=?3?0.5+++3+

2665

4

=?4+4+

5

4

=；

5

（2）解：(?8)?(?15)+(?9)?(?12)

=?8+15?9+12

=10；

（3）解：15?+55?+33+?21?+64

6767

5134

=15?+5+2?+3+6

6677

=15?8?10

=?3；

（4）解：?41+3.25+(?6)+41

|2|2

=|?1.25|?1.5

=1.25?1.5

=?0.25．

【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算．

1111111

(1)2004?2003+2002?2001+?+2?1+

2323232

(2)2023?2020+2017?2014+2011?2018+……+16?13+10?7+4

1

【答案】(1)1169

2

(2)1012

111

【分析】（1）根據(jù)帶分數(shù)的意義，可將算式變?yōu)?004+?2003+1+2002+?2001+1+?+2+?

23232

11111111

1+1+，然后去掉括號，將算式變?yōu)?004+?2003?+2002+?2001?+?+2+?1?+，然后

322323232

第8頁共25頁.

根據(jù)帶符號搬家和括號的應用，將算式變?yōu)?2004?2003)+(2002?2001)…+(2?1)+

1

1?1+1?1+?+1?1+，再計算括號里面的結(jié)果，接著根據(jù)乘法的意義，將算式變?yōu)?/p>

2323232

1002個

11

1×1002+×1002+進行簡算即可．

62

（2）合理分組：(2023?2020)+(2017?2014)+(2011?2018)+……+(13?10)+(7?4)+1每兩個數(shù)為一

組，結(jié)果是3；一共有337組；進行簡算即可．

1111111

【詳解】（1）2004?2003+2002?2001+?+2?1+

2323232

1111

＝2004+?2003+1+2002+?2001+1+?+2+?1+1+

2323232

1111111

＝2004+?2003?+2002+?2001?+?+2+?1?+

2323232

1111111

＝2004?2003+2002?2001…+2?1+?+?+?+?+

2323232

1111111

＝(2004?2003)+(2002?2001)…+(2?1)+?+?+?+?+

2323232

1002個

1

＝1+1…+1+1+1+?+1+

6662

1002個1002個

11

＝1×1002+×1002+

62

1

＝1002+167+

2

1

＝1169；

2

（2）2023?2020+2017?2014+2011?2018+……+13?10+7?4+1

=(2023?2020)+(2017?2014)+(2011?2018)+……+(13?10)+(7?4)+1

每兩個數(shù)為一組，結(jié)果是3；

則(2023?1)÷(2023?2017)=337

即一共有337組；

原式=3×337+1=1012．

【題型5根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷不等關(guān)系】

【例5】（23-24七年級·江蘇鹽城·期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點位置如圖所示，下列結(jié)論中不正確的

是（）

A．?<?2B．|?|>?C．???>0D．?+?>0

第9頁共25頁.

【答案】D

【分析】本題主要考查數(shù)軸與絕對值，掌握數(shù)軸上點的意義以及絕對值的含義是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)數(shù)軸估計出a、b的大致范圍，然后根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則逐項判斷即可．

【詳解】解：A、由數(shù)軸可知數(shù)表示的點b在?2左側(cè)，即?<?2，故A選項正確，不符合題意；

B、由數(shù)軸可知|?|>|?|=?，故B選項正確，不符合題意；

C、由數(shù)軸可知?>?，則???>0，故C選項正確，不符合題意；

D、由數(shù)軸可知|?|>|?|，?<0<?，則?+?<0，故D選項錯誤，符合題意；

故選：D．

【變式5-1】（23-24·福建泉州·二模）如圖，數(shù)軸上兩點M、?所對應的實數(shù)分別為?、?，則?+?的結(jié)果

可能是（）．

1

A．1B．C．0D．－1

2

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸得到點M、?所對應的實數(shù)的范圍，再結(jié)合實數(shù)的加法解題．

【詳解】解：依題意得，?3<?<?2,1<?<2

∴?2<?+?<0

則?+?的結(jié)果可能是－1，

故選：D．

【點睛】本題考查數(shù)軸與實數(shù)的對應關(guān)系，涉及一元一次不等式，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

【變式5-2】（23-24·山東濰坊·三模）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，若實數(shù)b滿足??<?<?，

則b的值不可以是（）

A．?2B．?1C．0D．1

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定a的取值范圍，再由|?|=|??|，求得??的取值范圍，再根據(jù)??<?<?，

求出b的取值范圍，即可求解．

【詳解】解：由數(shù)軸可知，1<?<2，

第10頁共25頁.

∵|?|=|??|，

∴?2<??<?1，

∵??<?<?，

∴?2<?<2，

故選：A．

【點睛】本題考查數(shù)軸的定義、絕對值的意義，根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．

【變式5-3】（23-24七年級·河北廊坊·期中）如圖，將數(shù)軸上?4與8兩點間的線段六等分，五個等分點所

對應的數(shù)依次為?1，?2，?3，?4，?5，則下列結(jié)論不正確的是（）

A．?3>0B．|?1|=|?3|C．?1+?5=0D．?1+?2+?3+?4+?5>0

【答案】C

【分析】根據(jù)將數(shù)軸上?4與8兩點間的線段六等分分別求解?1，?2，?3，?4，?5，再逐一分析判斷即可．

【詳解】解：?4到8之間距離為8?(?4)=8+4=12．

所以，六等分，每段長度為2，

所以?1，?2，?3，?4，?5表示的數(shù)分別是?2，0，2，4，6．

A．?3=2>0，故正確；

B．|?1|=|?3|=2，故正確；

C．?1+?5=?2+6=4>0，故原說法錯誤；

D．?1+?2+?3+?4+?5=?2+0+2+4+6=10>0，故正確．

故選：C．

【點睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點之間的距離．六等分的含義，絕對值的含義，有理數(shù)的加減運算，理解

題意選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．

【題型6有理數(shù)的加減混合運算的實際應用】

【例6】（23-24七年級·廣東茂名·階段練習）某年，某河流發(fā)生流域性洪水，將其水位下降記為負，上漲

記為正，甲地和乙地的七日水位變化情況如下表所示（單位；m）

時間

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

地區(qū)

第11頁共25頁.

甲地+0.72+4.11?2.55?2.05?0.83?0.40?0.57

乙地?0.29?0.19+0.51+0.02?1.15+1.29?0.91

下列說法中正確的是（）

A．在第四天時，乙地的水位達到七天中的最高峰

B．乙地第七天后的最終水位比初始水位高

C．這七天內(nèi)，甲地的水位變化比乙地小

D．甲地第七天后的最終水位比初始水位低

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)運算的實際應用．熟練掌握正負數(shù)的意義，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．依

次進行計算判斷即可得到答案．

【詳解】解：∵?0.29?0.19+0.51+0.02=0.05，?0.29?0.19+0.51+0.02?1.15++1.29=0.19，

∴在第六天時，乙地的水位達到七天中的最高峰，

故選項A不正確，

∵?0.29?0.19+0.51+0.02?1.15+1.29?0.91=?0.72，

∴乙地第七天后的最終水位比初始水位低，故選項B不正確，

∵0.72+4.11?2.55?2.05?0.83?0.40?0.57=?1.57，

∴這七天內(nèi)，甲地的水位變化比乙地大，故選項C不正確，

∵?1.57<0，

∴甲地第七天后的最終水位比初始水位低，故選項D正確，

故選：D．

【變式6-1】（23-24七年級·江西吉安·期末）一輛公交車上原有14人，經(jīng)過3個站點時乘客上、下車情況

如下（上車人數(shù)記為正，下車人數(shù)記為負，單位：人）：此時

公交車上有人．

【答案】11

【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的計算法則的應用．根據(jù)有理數(shù)的計算法則即可求出答案．

【詳解】解：14?3+4?5+7+5?11=11，

故此時公交車上有11人，

故答案為：11．

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【變式6-2】（23-24七年級·江蘇鹽城·階段練習）如圖是某品牌鞋服店推出的優(yōu)惠活動，小明看中了一雙鞋

子和一雙原價80元的襪子，若購買這雙鞋子和這雙襪子所付的費用與單獨購買這雙鞋子所付的費用相同，

則這雙鞋子的原價可能是（）．

A．269元B．369元C．569元D．669元

【答案】C

【分析】根據(jù)題意逐一分析四個選項是否滿足題意即可．

【詳解】A選項：269+80?100≠269?70故選項A錯誤，不符合題意；

B選項：369+80?150≠369?100故選項B錯誤，不符合題意；

C選項：569+80?230=569?150故選項C正確，符合題意；

D選項：669+80?230≠669?230故選項D錯誤，不符合題意，

故選C．

【點睛】本題考查了有理數(shù)加減運算的實際應用，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．

【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）有一架天平，刻度模糊不清，其他性能均正常．有1克，2克，5

克，10克砝碼各一個，那么可以稱出不同整克數(shù)的物體共有多少種？請分類說明理由．

【答案】18種，見解析

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減運算的應用，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．利用

列舉法將所有可能的情況都列舉出來，主要分一端放砝碼，另一端不放砝碼時求得可稱重物的克數(shù)有多少

種；另種情況兩端都放砝碼，求得可稱重物的克數(shù)有多少種．然后去掉相同的克數(shù)，由此問題得解．

【詳解】解：（1）一端放1個砝碼，另一端不放砝碼時，可以稱物體的重量為1克，2克，5克，10克；

（2）一端放2個砝碼，另一端不放砝碼時，可以稱物體的重量為3克，6克，11克，7克，12克，15克；

（3）一端放3個砝碼，另一端不放砝碼時，可以稱物體的重量為8克，16克，17克，13克；

（4）一端放4個砝碼，另一端不放砝碼時，可以稱物體的重量為18克；

（5）一端放一個砝碼，另一端也放一個砝碼時，可以稱物體的重量有1克，4克，9克，3克，8克，5克；

（6）一端放一個砝碼，另一端放兩個砝碼時，可以稱物體的重量為6克，11克，14克，4克，9克，13克，

2克，6克，7克，7克，4克，3克；

（7）一端放一個砝碼，另一端放3個砝碼時，可以稱物體的重量為16克，14克，8克，2克；

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（8）一端放2個砝碼，另一端也放2個砝碼時，可以稱物體的重量為12克，6克，4克．

去掉重復的重量，共有18種．

【題型7有理數(shù)加減法中的規(guī)律問題】

【例7】（23-24七年級·福建漳州·階段練習）一只小球落在數(shù)軸上的某點?0，第一次從?0向左跳1個單位

到?1，第二次從?1向右跳2個單位到?2，第三次從?2向左跳3個單位到?3，第四次從?3向右跳4個單位到

?4…，若小球按以上規(guī)律跳了2?次時，它落在數(shù)軸上的點?2?所表示的數(shù)恰好是?+2，則這只小球的初始

位置點?0所表示的數(shù)是．

【答案】2

【分析】軸上點的運動位置問題，可以轉(zhuǎn)化為“有理數(shù)”的加法問題來處理．即?0

?1+2?3+4?5+…=?+2．

【詳解】解：根據(jù)題意，可以得到方程?0?1+2?3+4?5+…+2?=?+2．

得?0+1×?=?+2，解得?0=2．

故答案為：2．

【點睛】此題考查點在數(shù)軸上運動的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為“有理數(shù)的加減”，這是初一“數(shù)形”結(jié)合問題常規(guī)方法．

【變式7-1】（23-24七年級·江蘇淮安·階段練習）【信息提取】

在有些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉．例如：|6+7|=6+7，|6?7|=7?6，

|7?6|=7?6，|?6?7|=6+7．

【初步體驗】

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式(不要計算出結(jié)果)：

①|(zhì)7?21|=；

②7?7=．

|1718|

【拓廣應用】

（2）計算：1?1+1?1+1?1+?+1?1+1?1

|32||43||54||20212020||20222021|

77505

【答案】（1）21?7，?；（2）

17181011

【分析】本題考查有理數(shù)的加減混合運算，化簡絕對值；

（1）①②根據(jù)正數(shù)的絕對值等于本身，負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)可得答案；

（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，結(jié)合互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0可得答案．

【詳解】解：（1）①|(zhì)7?21|=21?7；

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77

②7?7=?；

|1718|1718

（2）1?1|+|1?1|+|1?1|+?+|1?1|+|1?1

|3243542021202020222021|

1111111111

=?+?+?+...+?+?

2334452020202120212022

11

=?

22022

1010

=

2022

505

=．

1011

【變式7-2】（23-24七年級·江蘇常州·期中）小明同學將2B鉛筆筆尖從原點?開始沿數(shù)軸進行連續(xù)滑動，

先將筆尖沿正方向滑動1個單位長度完成第一次操作，再沿負方向滑動2個單位長度完成第二次操作；又

沿正方向滑動3個單位長度完成第三次操作；再沿負方向滑動4個單位長度完成第四次操作，…，以此規(guī)

律繼續(xù)操作，經(jīng)過第99次操作后筆尖停留在點?處，則點?對應的數(shù)是（）．

A．0B．?10C．?25D．50

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，先規(guī)定正方向為正、負方向為負，再利用有理數(shù)加減運算法則求解即可得到答案．

【詳解】解：規(guī)定正方向為正、負方向為負，則

1?2+3?4+?+99=(1?2)+(3?4)+?+(97?98)+99=?49+99=50，

故選：D．

【點睛】本題考查利用正負數(shù)的意義解決實際問題，按照題意規(guī)定正負，運用有理數(shù)加減運算求解是解決

問題的關(guān)鍵．

【變式7-3】（23-24七年級·河北邢臺·階段練習）下面是按一定規(guī)律得到的一列數(shù)．

111

第1個數(shù)：?1+1=?1；第2個數(shù)：?1?1=?；

22333

11

第3個數(shù)：?1+1=?1；第4個數(shù)：?1?1=___________；

4455

11

第5個數(shù)：?1+1=?1；第6個數(shù)：?1?1=___________；

6677

(1)將上述內(nèi)容進行填空；

(2)按照以上規(guī)律，用算式表示出第7，第8和第10個數(shù)；

(3)將（2）中的三個數(shù)用“<”連接起來．

35

【答案】(1)?，?；

57

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11719

(2)第7個數(shù)是?1+1=?1，第8個數(shù)是?1?1=?，第10個數(shù)是?1?1=?；

88999111111

79

(3)?＞＞．

9?11?1

【分析】（1）根據(jù)所給的式子依次計算即可得解；

（2）根據(jù)所給的式子，發(fā)現(xiàn)括號中的運算第奇數(shù)個數(shù)是加法，第偶數(shù)個數(shù)是減法，由此規(guī)律即可求解；

（3）根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，比較即可得解．

1

【詳解】（1）解：?1?1

55

14

=?

55

3

=?，

5

11

?1?

77

16

=?

77

5

=?，

7

35

故答案為：?，?；

57

119

（2）解∶第7個數(shù)是?1+1=?=?1，

8888

1187

第8個數(shù)是?1?1=?=?，

99999

11109

第10個數(shù)是?1?1=?=?，

1111111111

11719

∴第7個數(shù)是?1+1=?1，第8個數(shù)是?1?1=?，第10個數(shù)是?1?1=?；

88999111111

7798199778199

（3）解：∵?7=，?9==，|?1|=1=，＜＜，

|9|99|11|119999999999

79

?＞＞．

∴9?11?1

【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及比較兩個負數(shù)的大小，通過所給的式子，探索出式子的一般規(guī)律是

解題的關(guān)鍵．

【題型8有理數(shù)的加減運算與相反數(shù)、絕對值等的綜合應用】

【例8】（23-24七年級·河北邢臺·階段練習）已知a的相反數(shù)是它本身，b是最大的負整數(shù)，則a，b的絕

對值的和比a，b的和（）

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A．大1B．小1C．大2D．小2

【答案】C

【分析】此題考查了相反數(shù)、絕對值的應用能力、有理數(shù)到加減，關(guān)鍵是能熟練運用相反數(shù)、絕對值和有

理數(shù)的加減等知識進行求解．

【詳解】解：∵a的相反數(shù)是它本身，b是最大的負整數(shù)，

∴?=0，?=?1，

∴|?|+|?|

=|0|+|?1|

=0+1

=1，

?+?=0+(?1)=?1，

∴(|?|+|?|)?(?+?)

=1?(?1)

=1+1

=2．

故選：C．

211

【變式8-1】（23-24七年級·全國·單元測試）列式計算：1的相反數(shù)與的和的絕對值，加上?3，和是多

324

少？

1

【答案】?2

12

【分析】本題考查有理數(shù)的加減混合運算、相反數(shù)、絕對值，根據(jù)題干描述列式計算即可．

1111111

【詳解】解：由題意，得?12+1+(?3)=?11+(?3)=1+(?3)=?(3?1)=?2．

|32|4|6|4644612

【變式8-2】（23-24七年級·安徽合肥·期末）若|?|=4，|?|=2，且?+?的絕對值與它的相反數(shù)相等，則?+?

的值是（）

A．?2B．?6C．?2或?6D．2或6

【答案】C

【分析】由|?|=4，|?|=2，可確定兩個a的值與兩個b的值，則可計算出a+b的所有可能值，再由?+?

的絕對值與它的相反數(shù)相等，可判斷出a+b的符號是非正數(shù)，從而最后可得到a+b的值．

【詳解】∵|?|=4，|?|=2

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∴a=±4，b=±2

∴a+b=6，2，?6，?2

∵?+?的絕對值與它的相反數(shù)相等，即|?+?|=?(?+?)

∴a+b≤0

∴?+?=?6或?2

故選：C

【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，注意：a與b的值均有兩個，不要忽略負數(shù)；一個數(shù)的絕對值等于它的

相反數(shù)，則這個數(shù)必定是非正數(shù)．

【變式8-3】（23-24七年級·安徽池州·期末）已知a是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，|?+4|=2，且

|??5|+|??3|=0．式子?????+?的值為．

【答案】5或1/1或5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念求出?，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出?的值，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可得

到?、?，將?、?、?、?的值代入代數(shù)式進行計算即可得解．

【詳解】解：∵?是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，

∴?=1,

∵|?+4|=2,

∴?+4=2或?+4=?2,

∴?=?2或?=?6

∵|??5|+|??3|=0,

∴??5=0,??3=0,

解得?=5,?=3,

∴?=1,?=?2或?6,?=5,?=3

∴?????+?=1?(?2)?5+3=1+2?5+3=1,

或?????+?=1?(?6)?5+3=1+6?5+3=5,

∴?????+?的值為5或1

故答案為：5或1

【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0，還考查了絕對值的性質(zhì)

和有理數(shù)的概念．

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【題型9有理數(shù)加減運算中的新定義問題】

【例9】（23-24七年級·山西太原·階段練習）已知：[?]表示不超過x的最大整數(shù)．例：[4.8]=4，[?0.8]

=?1．現(xiàn)定義：{?}=??[?]，例：{1.5}=1.5?[1.5]=0.5，則{2.1}+{?3.6}?{5}=．

【答案】0.5

【分析】根據(jù)定義列出計算式解答即可．

【詳解】解：{2.1}+{?3.6}?{5}

=(2.1?2)+[(?3.6)?(?4)]?(5?5)

=0.1+0.4?0

=0.5．

故答案為：0.5．

【點睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運算，有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式解答．

【變式9-1】（23-24七年級·江西南昌·階段練習）對數(shù)學有興趣的狗蛋兒，心血來潮之際私下規(guī)定了一種新

的數(shù)學運算符號“”，并定義“么么噠”運算：??=(?+?)?(???)，那么根據(jù)狗蛋兒的規(guī)則，求出1314

520=．

【答案】1040

【分析】根據(jù)定義新運算公式計算即可．

【詳解】解：由題意可得1314520=(1314+520)?(1314?520)=1834?794=1040

故答案為：1040．

【點睛】此題考查的是定義新運算，掌握有理數(shù)的加法法則和減法法則是解決此題的關(guān)鍵．

【變式9-2】（23-24七年級·河南平頂山·期末）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目

小明說：“我在有理數(shù)內(nèi)定義了一種新的運算，叫*（加乘）運算．”

然后他寫出了一些按照*（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：

(+5)*(+2)=+7;(?3)*(?5)=+8;

(?3)*(+4)=?7;(+5)*(?6)=?11;

0*(+8)=8;(?6)*0=6

小紅看了這些算式后說：“我知道你定義的*（加乘）運算的運算法則了．”

聰明的你也明白了嗎？請完成以下問題：

(1)歸納*（加乘）運算的運算法則：

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兩數(shù)進行*（加乘）運算時，__________

特別地，0和任何數(shù)進行*（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行*（加乘）運算，__________

(2)計算：(?2)*[0*(?1)]=__________．（括號的作用與有理數(shù)運算中的作用一致）

(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律，這兩種運算律在有理數(shù)的*（加乘）運算中還適用嗎？請你任選一個運

算律，判斷它在*（加乘）運算中是否適用，并舉例驗證．（舉一個例子即可）

(4)若有理數(shù)?滿足等式?*(?1)=4，則?的值為__________．

【答案】(1)同號得正，異號得負，并把絕對值相加；等于這個數(shù)的絕對值

(2)?3

(3)加法的交換律仍然適用，結(jié)合律不適用，例子見解析

(4)?3

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法計算，新定義：

（1）首先根據(jù)※（加乘）運算的運算法則進行運算的算式，歸納出?（加乘）運算的運算法則即可；然后

根據(jù)：0?(+8)=8；(?6)?0=6，可得：0和任何數(shù)進行?（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行?（加乘）

運算，等于這個數(shù)的絕對值．

（2）先計算出0*(?1)=1，再計算(?2)*1即可得到答案；

（3）加法有交換律和結(jié)合律，交換律在有理數(shù)的?（加乘）運算中還適用，結(jié)合律不適用，并舉例驗證加

法交換律適用即可；

（4）根據(jù)（1）的結(jié)論可得m與?1同號，且|?+(?1)|=4，據(jù)此可得答案．

【詳解】（1）解：歸納?（加乘）運算的運算法則：

兩數(shù)進行?（加乘）運算時，同號得正、異號得負，并把絕對值相加．特別地，0和任何數(shù)進行?（加乘）

運算，或任何數(shù)和0進行?（加乘）運算，都得這個數(shù)的絕對值，

故答案為：同號得正、異號得負，并把絕對值相加；都得這個數(shù)的絕對值．

（2）解：(?2)*[0*(?1)]

=(?2)*1

=?(2+1)

=?3，

故答案為：?3；

（3）解：加法的交換律仍然適用，

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例如：(?3)?(?5)=8，(?5)?(?3)=8，

∴(?3)?(?5)=(?5)?(?3)，

故加法的交換律仍然適用．

結(jié)合律不適用，

舉例：[(?3)?(?4)]?0=7，(?3)?[(?4)?0]=?7，

∴[(?3)?(?4)]?0=(?3)?[(?4)?0]，

∴結(jié)合律不適用．

（4）解：∵?*(?1)=4，

∴?=?4?(?1)=?3，

故答案為：?3．

【變式9-3】（23-24七年級·重慶渝中·期末）對于一個四位正整數(shù)，若滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是個位

數(shù)字與千位數(shù)字之和的兩倍，則稱該四位正整數(shù)為“希望數(shù)”，例如：四位正整數(shù)3975，百位數(shù)字與十位數(shù)

字之和是16，個位數(shù)字與千位數(shù)字之和8，而16是8的兩倍，則稱四位正整數(shù)3975為“希望數(shù)”，類似的，

四位正整數(shù)2934也是“希望數(shù)”．

根據(jù)題中所給材料，解答以下問題：

（1）請寫出最小的“希望數(shù)”是________；最大的“希望數(shù)”是_______；

（2）對一個各個數(shù)位數(shù)字均不超過6的“希望數(shù)m，設?=????，若個位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍，且十位

數(shù)字和百位數(shù)字均是2的倍數(shù)，定義：?(?)=|(?+?)?(?+?)|，求?(?)的最大值．

【答案】（1）1020，9990；（2）7．

【分析】（1）根據(jù)題意可知，最小的“希望數(shù)”要使千位和百位最小，最大的“希望數(shù)”要使千位和百位最大，

據(jù)此寫出答案；

（2）根據(jù)題意直接列出滿足條件的“希望數(shù)m，再根據(jù)定義?(?)=|(?+?)?(?+?)|求出?(?)即可得出最

大值．

【詳解】解：（1）千位數(shù)最小為1，最大為9，百位數(shù)最小為0，最大為9；根據(jù)對于一個四位正整數(shù)，若

滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是個位數(shù)字與千位數(shù)字之和的兩倍，則稱該四位正整數(shù)為“希望數(shù)”，

可得：出最小的“希望數(shù)”是1020；最大的“希望數(shù)”是9990；

（2）一個各個數(shù)位數(shù)字均不超過6的“希望數(shù)m，若個位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍，且十位數(shù)字和百位數(shù)字均

是2的倍數(shù)，“希望數(shù)m”可能是1062；1602；1242；1422；2664．

當?=????=1602時，?(?)=|(1+6)?(0+2)|=5；

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當?=????=1062時，?(?)=|(1+0)?(6+2)|=7；

當?=????=1242時，?(?)=|(1+2)?(4+2)|=3；

當?=????=1422時，?(?)=|(1+4)?(2+2)|=1；

當?=????=2664時，?(?)=|(2+6)?(6+4)|=2；

故?(?)的最大值為7．

【點睛】本題主要考查閱讀材料類題目，屬于創(chuàng)新題，同時又包含了大量計算，做此類型題目時，應注意

從材料中獲取解題方法、掌握定義的本質(zhì)，同時本題考查了數(shù)的大小與數(shù)位的關(guān)系．

【題型10由有理數(shù)的加減運算解決數(shù)軸上兩點間的距離問題】

【例10】（23-24七年級·河北邢臺·階段練習）如圖，以0.5厘米為1個單位長度用直尺畫數(shù)軸時，數(shù)軸上

的點A，B，C剛好對著直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．設點A，B，C所表示的數(shù)的和是p，該數(shù)軸的

原點為O．

(1)點A到點C之間有_____個