彈性力學(xué)-有限差分法

第十章有限差分法彈性力學(xué)的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當(dāng)彈性體的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往無法求得偏微分方程的邊值問題的解析解。因此，各種數(shù)值解法便具有重要的實(shí)際意義。

第一節(jié)差分公式的導(dǎo)出

常用數(shù)值解法有有限單元法和差分法。第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)例深梁的應(yīng)力函數(shù)差分解第一節(jié)差分方程

從彈性力學(xué)的基本方程建立以來，這些方程在各種問題的邊界條件下如何求解，一直是很多數(shù)學(xué)工作者和力學(xué)工作者研究的內(nèi)容。即彈性力學(xué)的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當(dāng)彈性體的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往無法求得偏微分方程的邊值問題的解析解，許多工程重要問題，不能夠得出函數(shù)式的解答。因此，彈性力學(xué)問題的各種數(shù)值解法便具有重要的實(shí)際意義。

差分法是沿用已久的一種數(shù)值解法。隨著計(jì)算機(jī)的普及和相應(yīng)的軟件發(fā)展，此法成為解彈性力學(xué)問題的一種有效的方法。

工程中常用得數(shù)值解法有有限單元法和差分法。

有限單元法是以有限個(gè)單元的集合體來代替連續(xù)體，屬于物理上的近似。

差分法是把彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題，屬于數(shù)學(xué)上的近似。第一節(jié)差分方程

我們?cè)趶椥泽w上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，Δx=Δy=h，如圖。

設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在３-０-１上,它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)０處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：第一節(jié)差分方程

我們將只考慮離開結(jié)點(diǎn)０充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計(jì)（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡寫為：在結(jié)點(diǎn)３，x=x0-h,在結(jié)點(diǎn)1,x=x0+h，代入(b)得：第一節(jié)差分方程聯(lián)立(c),(d),解得差分公式：

同理，在網(wǎng)線４-０-２上可得到差分公式第一節(jié)差分方程

以上(１-１)~(１-４)是基本差分公式,從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：第一節(jié)差分方程

差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。

以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。

應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。第一節(jié)差分方程

當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的φ值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對(duì)節(jié)點(diǎn)0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

可見，用差分法解平面問題，共有兩大任務(wù)：一、建立差分方程將（1-6）代入雙調(diào)和方程

對(duì)于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。整理即得第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

二、聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的值。

為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的φ值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：

一般建立和求解差分方程，在數(shù)學(xué)上不會(huì)遇到很大困難。但是，當(dāng)對(duì)于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的φ值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的φ值。第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=cosα=dy/ds,l2=cos(N,y)=sinα=-dx/ds,于是，式（a）可改寫為：由圖2可見，第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處由此得：

的值，可將上式從A點(diǎn)到B點(diǎn)對(duì)s積分得到：第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

將此式亦從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿s進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn)B處的φ值。為此利用分部積分法，得：

由高等數(shù)學(xué)可知，第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解將式(b),(c)代入，整理得：由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個(gè)數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見，設(shè)即可根據(jù)面力分量及求得為已知，第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

從圖易看出，式（2－3）右邊的積分式表示A與B之間的，x方向的面力之和；式（2－4）右邊的積分式表示A與B之間的，y方向的面力之和；式（2－5）右邊的積分式表示A與B之間的面力對(duì)于B點(diǎn)的矩。于是式(d)，式(c)即簡化為：第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

至此，我們解決了怎樣計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的值的問題。

至于邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的值，則可用邊界上結(jié)點(diǎn)處的或值和邊界內(nèi)一行相應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的值來表示。例如，對(duì)于圖1中的虛結(jié)點(diǎn)14，因?yàn)橛?/p>

第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解所以有

當(dāng)求出全部結(jié)點(diǎn)上的φ值以后，我們就可按應(yīng)力分量的差分公式（2－1）計(jì)算應(yīng)力分量。

用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：（1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A，取第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處φ

的值，以及所必需的一些及值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。

（2）應(yīng)用公式（2－6），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的φ值用邊界內(nèi)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的φ值來表示。

（3）對(duì)邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（2－2），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的值。

（4）按照公式（2－6），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的φ值。第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解（5）按照公式（2－1）計(jì)算應(yīng)力的分量。說明：

1．以上是針對(duì)單連體導(dǎo)出的結(jié)果。對(duì)于多連體，情況就不象這樣簡單。

2.

如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對(duì)于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（2－2）必須加以修正。第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解

現(xiàn)以如圖所示的混凝土深梁為例，應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)的差分解求出應(yīng)力分量。已知混凝土深梁上邊受有均布向下的鉛直荷載q，并由下角點(diǎn)處的反力維持平衡。第三節(jié)例深梁的應(yīng)力函數(shù)差分解(1）計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的φ

、和值。取A為基點(diǎn)，且由上面公式所得的計(jì)算結(jié)果見下表。第三節(jié)例深梁的應(yīng)力函數(shù)差分解（2）計(jì)算邊界外以行各虛結(jié)點(diǎn)處的值。由式（2-6）及前表可得第三節(jié)例深梁的應(yīng)力函數(shù)差分解(3）邊界內(nèi)各結(jié)點(diǎn)的差分方程,由式（2-2）可知第三節(jié)例