人教八年級數(shù)學(xué)上冊軸對稱《最短路徑問題》示范課教學(xué)課件

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題人教版八年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)目標(biāo)1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．新知導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短新知講解從圖中的

A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l

飲馬，然后到

B

地.到河邊個么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?

l

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？新知講解

l

當(dāng)點

C在l的什么位置時，AC與

BC

的和最小.C新知講解如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點C，使得CA+CB最小。??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短..C那A、B兩點在直線l的同一側(cè)呢？如何確定點C呢？新知講解如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側(cè)B′處？ABl利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.B′連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．C新知講解你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．新知講解最短路徑問題：兩點之間，線段最短依據(jù)利用軸對稱實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移關(guān)鍵需要注意的細(xì)節(jié)：

區(qū)分哪些是定點，哪些是動點，哪條直線是對稱軸利用圖形的軸對稱性，會簡化過程.新知講解如圖，A和

B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋

MN.橋造在何處可使從

A到

B的路徑

AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？新知講解當(dāng)點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最??？由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.新知講解ABMNab（1）由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM＋NB最小時，AM＋MN＋NB最?。畣栴}可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b的什么位置時，AM＋NB最?。啃轮v解

（2）如圖，將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A′，則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b的什么位置時，A′N＋NB最??？ABMNabA′新知講解

（3）如圖，在連接A′，B兩點的線中，線段A′B最短．因此，線段A′B與直線b的交點N的位置即為所求．ABMNabA′你能證明此時AM＋MN＋NB最小嗎？新知講解證明：在△A′N′B中，

∵A′B＜A′N′＋BN′，

∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．

∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．

即AM＋MN＋BN最?。甆′ABMNabA′M′新知講解在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】必做題：1.某開發(fā)商的經(jīng)適房的三個居民小區(qū)

A、B、C

在同一條直線上，位置如圖所示，其中小區(qū)

B

到小區(qū)A、C

的距離分別是70m和150m，小區(qū)

A、C之間建立一個超市，要求各小區(qū)居民到超市總路程和最小，那么超市的位置應(yīng)建在()A.小區(qū)

A B.小區(qū)

BC.小區(qū)

C D.AC

的中點2.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊．欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是()BD課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】必做題：3.如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為

。4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時點C的坐標(biāo)是

。5（0，3）課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】選做題：5.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的,怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】選做題：解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由平移的性質(zhì)可知，AD//FD′，AD=FD′.同理，BE=GE′.由兩點之間線段最短可知，GF最小.課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】6.如圖

(1)

是示意圖，游船從湖岸

l?

的碼頭

D

將游客送往亭子

M停留觀賞，然后將游客送往湖岸

l?

的碼頭

C，最后再回到碼頭

D.請在圖

(2)

中畫出游船的最短路徑，并確定兩個碼頭的位置。湖岸

l?湖岸

l2

(1)

湖岸

l?湖岸

l?解：如圖(2)示.課堂總結(jié)將軍飲馬問題造橋選址問題最短路徑利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題板書設(shè)計課題學(xué)習(xí)最短路徑問題一、將軍飲馬問題二、造橋選址問題作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】必做題：

AC作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】選做題：3.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A，B，C

在小正方形的頂點上.(1)在圖中畫出與△ABC

關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′；(2)△ABC

的面積是______；(3)在直線l上找一點

P，使得

PA+PB最短.12.5解：(1)如右圖所示；

(3)如圖，連接BA′

交

l于點P，P即為所求.作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】4.如圖，已知∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當(dāng)△PAB的周長取最小值時，求∠APB的度數(shù).解:如圖，依題意,分別作點P關(guān)于ON、OM的對稱點P1、P2,連接P1P2交ON于點B，交OM于點A，依次連接A、B、P，此時△PAB的周長為最小值.作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】由四邊形內(nèi)角和360°可得:∠P1