2024-2025學(xué)年福建省泉州市安溪縣高三上冊11月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市安溪縣高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】解不等式求出，由函數(shù)特征求定義域，得到，利用補集和交集概念求出答案.【詳解】，解得，故，得，故，故.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，進而判斷對應(yīng)點所在象限.【詳解】由題設(shè)，則對應(yīng)點為在第三象限.故選：C3.若和是兩個互不相等的正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】若，則，即或，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以“”是“”的充分條件.若時，滿足，而，所以“”是“”的不必要條件.綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，是兩個非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由向量垂直關(guān)系得，再由投影向量公式求解.【詳解】由于，則，即，可得，則在方向上的投影向量為.故選：C5.在平面直角坐標系中，將角的終邊順時針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，，利用湊角法求出答案.【詳解】由題意得，，故.故選：B6.定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，若函數(shù)的最小值為，則（）A.1 B.3 C. D.【正確答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，，從而得到，換元得到在上的最小值為，根據(jù)對稱軸，分和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到最小值，從而得到方程，求出答案.【詳解】①，故，因為為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，故，所以②，式子①和②聯(lián)立得，，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以在上的最小值為，由于的對稱軸為，故當(dāng)時，上單調(diào)遞增，故，解得，不合要求，舍去；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，負值舍去；故選：C7.數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前項和為，，為數(shù)列的前項和，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)有，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，，且當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，所以.故選：B8.函數(shù)的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足，，則的最小值為（）A. B.e C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)有，構(gòu)造，易得，結(jié)合已知進一步得到，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】由題設(shè)，可得，令，則，故，所以，其中為常數(shù)，又，則，所以，故，則，而，定義域為0,+∞，當(dāng)時，f'x<0，故在上遞減，當(dāng)時，f'x>0，故在上遞增，所以的極小值，也是最小值為.故選：D關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知得到，結(jié)合形式構(gòu)造為關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)最小值為4的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】A由二次函數(shù)性質(zhì)判斷；B利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合基本不等式求最小值；C應(yīng)用三角恒等變換得，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)判斷；D函數(shù)化為，應(yīng)用基本不等式求最小值判斷.【詳解】A：，不符；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，符合；C：，則，故，符合；D：且，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，符合.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，的最小正周期為B.函數(shù)過定點C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為【正確答案】BC【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B；圖象平移確定解析式，根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)判斷C；令，化為在有5個根求參數(shù)范圍判斷D.【詳解】A：由題設(shè)，則最小正周期為，錯；B：顯然恒成立，故函數(shù)過定點，對；C：函數(shù)的圖象向左平移個單位得為偶函數(shù)，所以，可得且，又，所以的最小值為，對；D：由題意在上有5個根，而，所以在有5個根，如下圖示，所以，可得，錯.故選：BC11.已知正方體的棱長為，，，分別是，，的中點，點為正方體表面上的一動點，則下列說法正確的是（）A.的面積為B.三棱錐體積的最大值為C.若平面，則點的軌跡長度為D.當(dāng)點為的中點時，到直線的距離為【正確答案】ACD【分析】由題意有是邊長為的等邊三角形，求面積判斷A；利用線面平行、面面平行的判定證面面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征有面，當(dāng)重合時三棱錐體積最大，且當(dāng)在上除外運動時，平面，判斷B、C；根據(jù)已知求得，再由到直線的距離為判斷D.【詳解】由題意，可得是邊長為的等邊三角形，故其面積為，A對；由題設(shè)，面，面，則面，同理可證面，且在面內(nèi)，故面面，根據(jù)正方體性質(zhì)，易得面，即面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)，易知當(dāng)重合時，三棱錐體積最大，由A分析，易知棱錐的高，此時到面的距離，則，B錯；由上知，當(dāng)在上除外運動時，平面，軌跡長為，C對；若點為的中點，此時，且，所以，則，所以到直線的距離為，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)，則__________.【正確答案】1【分析】依次代入求解即可.【詳解】，，所以.故113.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足，，，則__________.【正確答案】2分析】先由二倍角公式和余弦定理得，從而解得.【詳解】根據(jù)題意，，由正弦定理得，所以，由余弦定理，，即解得或（舍），所以.故214.記數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，函數(shù)均存在兩個極值點，，且滿足，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求極值，得，設(shè)，因為，結(jié)合已知得，再利用裂項相消法求和.【詳解】函數(shù)定義域為0,+∞，且，令，得，如圖所示，不妨設(shè)，因為，所以，解得，代入條件得，化簡得：，即，所以.故答案為.關(guān)鍵點點睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求極值，得，設(shè)，因為，從而得，代入已知化簡得：，從而可得，可解問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項和為，若，.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）若，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1），；（2）【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到通項公式和前項和；（2），利用錯位相減法求和得到答案.小問1詳解】設(shè)公差為，則，，解得，故；；【小問2詳解】，故①，則②，式子①-②得，所以.16.如圖所示，，分別為半圓錐底面半圓弧上的兩個三等分點，為中點，為母線的中點.（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）若是中點，根據(jù)題設(shè)證，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）作，連接，利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理，結(jié)合面面角的定義確定所求角為或其補角，進而求其余弦值.【小問1詳解】由，分別為底面半圓弧上的兩個三等分點，易知且，若是中點，而為母線的中點，則且，所以且，則為平行四邊形，故，由面，面，故平面.【小問2詳解】作，連接，如上圖所示，由題意，面面，，面，面面，所以面，面，則，由都在面內(nèi)，則面，而面，所以，又都在面內(nèi)，故面，由面，則，結(jié)合，且面，面，所以平面與平面的夾角為或其補角，令等邊三角形的邊長為2，則，由題設(shè)易知，則，，在中上的高，則，所以，故，所以平面與平面的夾角余弦值為.17.函數(shù)，其中為整數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)x∈0,+∞時，恒成立，求的最大值.【正確答案】（1）（2）2【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）當(dāng)時，可得恒成立；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化問題為對于恒成立，設(shè)，，進而利用導(dǎo)數(shù)分析求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，而，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】當(dāng)時，，則恒成立，當(dāng)時，由，得，即，則，即對于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時，顯然恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當(dāng)時，令，即，解得，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意.綜上所述，的最大值為2.18.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，.（1）求；（2）求的面積；（3）在所在的平面內(nèi)有一動點，滿足，求的最小值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解；（2）由余弦定理和已知得，由等式兩邊的取值范圍可得，從而可得三角形面積；（3）以為坐標原點建立平面直角坐標系，由數(shù)量積坐標運算得動點軌跡方程，即，可解問題.【小問1詳解】根據(jù)題意，，因為，所以，由正弦定理得，所以；【小問2詳解】由余弦定理，，代入，得，兩邊同時除以，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，由余弦定理，即，的面積；【小問3詳解】由（1）（2）可知，，所以，以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，，，故可設(shè)（為變量）則，所以的最小值為.關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，由題意得，兩邊同時除以，，接下來由等式左右兩邊的范圍得是解題的關(guān)鍵.19.設(shè)f'x為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)，區(qū)間稱作函數(shù)的凹區(qū)間；反之，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)，區(qū)間稱作函數(shù)的凸區(qū)間.（1）已知函數(shù)，求的凹、凸區(qū)間；（2）如圖所示為某個凹函數(shù)的圖象，在圖象上任取兩個不同的點，，過線段的中點作軸的垂線，與函數(shù)圖象和軸分別交于，兩點，則有.①將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式；②證明：當(dāng)，時，恒成立.【正確答案】（1）凹區(qū)間為，凸區(qū)間為；（2）①；②證明過程見解析【分析】（1）二次求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到的凹區(qū)間和凸區(qū)間；（2）①表達出的坐標，由得到結(jié)論；②對不等式兩邊取對數(shù)，問題等價于，構(gòu)造函數(shù)，，二次求導(dǎo)，得到是函數(shù)?x的凹區(qū)間，，所以當(dāng)時，?x是凹函數(shù)，結(jié)合①的結(jié)論得到答案.【小問1詳解】因為的定義域為0,+∞，，設(shè)，則，當(dāng)x∈0,1時，，當(dāng)x∈1,+∞時，故在x∈0,1上單調(diào)遞減，在x∈1,+所以的凹區(qū)間為1,+∞，凸區(qū)間為0,1；【小問2詳解】①對于凹函數(shù)定義域中的任意兩個自變量，，，，，所以，，由，有，②對不等式兩邊取對數(shù)，問題等價于，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，即恒成立，，令，，令，即，解得，所以是