遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高三上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷（附解析）

遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】，故．故選：D．2．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：A3．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項(xiàng)中有（

）個奇數(shù)A．1012 B．1348 C．1350 D．1352【正確答案】C【詳解】對數(shù)列中的數(shù)歸納發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)中前2個都是奇數(shù)，后一個是偶數(shù)，又，故該數(shù)列前2024項(xiàng)有個奇數(shù).故選：C4．在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（

）

A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，所以，.故選：B5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】由已知得，比較和的大小，其中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵?,+∞單調(diào)遞增，所以，即；比較和的大小，其中，即，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，即；比較，的大小，因?yàn)?，，所以，即，故選.6．某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率為：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為.故選：D.7．已知直線與圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)取最小值時，則的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】由可知圓心為，半徑，由題意，所以當(dāng)時，取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，此時，過作直線的對稱點(diǎn)，連接，，與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，由于與關(guān)于直線對稱，，與關(guān)于直線對稱，因此與就是同一條直線，即點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，所以的最小值為.故選：C

8．在平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．0,1【正確答案】B【詳解】因?yàn)榈?，即所以點(diǎn)在的角平分線上，設(shè)的中點(diǎn)為

因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上，不妨設(shè)，所以易知所以因?yàn)樗砸驗(yàn)樗怨蔬x：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．對任意，記，并稱為集合的對稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．存在，使得【正確答案】AB【詳解】解：對于A，因?yàn)椋?，所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即A正確；對于B，因?yàn)?，所以，即與是相同的，所以，即B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，即C錯誤；對于D，由于，而，故，即D錯誤．故選：AB．10．在菱形中，，，E為AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．C．異面直線，所成的角為D．與平面所成角的余弦值為【正確答案】AC【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.對于A，因?yàn)?，平面的一個法向量為，所以，所以平面，故A正確.對于B，因?yàn)?，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯誤.對于C，因?yàn)?，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對于D，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，?設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，，故D錯誤.故選：AC.11．隨機(jī)事件，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】CD【詳解】由已知，，因?yàn)椋?，所以，所以，故錯誤；因?yàn)?，故錯誤；，故正確；，又，，，所以，故正確.故選.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【正確答案】【詳解】因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.13．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?，則的值為.【正確答案】【詳解】，故，因?yàn)樵趨^(qū)間0,1上的值域?yàn)?，且，故必有，如圖所示，則故故14．歐拉，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個單位——虛數(shù)單位和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評價它是“創(chuàng)造的公式”，請你根據(jù)歐拉公式：，將復(fù)數(shù)表示成（為虛數(shù)單位）的形式；若，則，這里，稱為1的一個n次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復(fù)數(shù)，則的值是．【正確答案】【詳解】，，所以，由題意可得，所以，又因?yàn)?，所以，則.故；.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且．(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）在，中，，令，可得，∴．（2），①當(dāng)時，，②可得，∴，∴是公差為的等差數(shù)列，∴，∴．（3）證明：由（2）可得，∴，∴．16.（本小題15分）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，如圖，是上的動點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時，的面積取到最小值，并求出最小值.【正確答案】(1)(2)，最小值為【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋桑?）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)椋?，?dāng)時，取得最小值，此時，即，所以當(dāng)時，的面積取到最小值，最小值為.17.（本小題15分）如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一動點(diǎn)，，當(dāng)線段的長最小時，求直線與直線所成角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)(3).【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，所以，因?yàn)?，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）點(diǎn)是內(nèi)一動點(diǎn)且，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)線段的長最小時，點(diǎn)在與圓的交點(diǎn)處，此時，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.18.（本小題17分）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線C上的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.【正確答案】(1)(2)（i）或；（ii）證明見解析【詳解】（1）由題意可知，，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)樵陔p曲線上，則，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為，，.聯(lián)立，化簡得，因?yàn)橹本€l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：4m2所以或.（ii），，則，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立直線與的方程，得，所以，所以，所以，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線上19.（本小題17分）已知函數(shù).(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值；(3)已知，函數(shù)有3個零點(diǎn)為：，且，證明.【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)(3)證明見解析【詳解】（1），令，解得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）設(shè)切線分別與和交于，的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，所以處切線方程為，處切線方程為，由公切線可知，，所以，化簡可得，因?yàn)楣芯€有兩條，所以有兩個根；設(shè)，所以，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以且，所以，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在時單調(diào)遞增，所以，所以，且時，，時，，所以若有兩個根，則，故整數(shù)的最小值為.（3）的定義域?yàn)椋深}意可知，是方